Clasificación de los problemas

Polya (1957) distingue entre problemas de encontrar y problemas de probar; Butts (1980), citado en Puig y Cerdán (1988), desde el punto de vista del nivel de creatividad necesario para resolverlos, los jerarquiza en ejercicios de reconocimiento, ejercicios algorítmicos, problemas de aplicación, problemas de búsqueda y situaciones problemáticas; Labarrere (1987) hace una doble distinción: según los conceptos matemáticos que revelan al alumno (1987:23-25) y según la naturaleza o tipo de la exigencia que plantean al que los resuelve, como por ejemplo, se puede citar los problemas de hallazgo o determinación, de construcción, recreativos, etc...(1987: 26-29); y Puig y Cerdán (1988) clasifican los problemas en problemas de una etapa y problemas de más de una etapa.

El interés reciente por la resolución de los PAEV pone de manifiesto la influencia de tres factores que podrían explicar las diferencias sistemáticas encontradas, en muchas investigaciones con sujetos oyentes, respecto al nivel de ejecución en estos problemas. Estos factores permitirán hacer una nueva clasificación de los PAEV.

Los tres factores anteriormente citados son: la estructura semántica, el lugar que ocupa la incógnita y la formulación verbal del problema. Estos factores inciden en la representación que el niño hace del problema, tal como se pone de manifiesto en los trabajos sobre modelos de simulación (Bermejo y Rodríguez, 1990a). Estos trabajos señalan que los errores en la resolución no son debidos a la ejecución de la operación correspondiente, sino sobre todo a la construcción inadecuada de la representación inicial del problema.

Referente a la estructura semántica, Heller y Greeno (1978) distinguieron tres tipos de problemas: problemas de Cambio, de Combinación y de Comparación.

Carpenter y Moser (1982) identificaron tres dimensiones fundamentales: a) dimensión activa-estática, que determina la relación existente entre los conjuntos u objetos implicados en la tarea, de manera que en ciertos casos resulta patente la

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presencia de una acción- que transforma o cambia la cantidad de un conjunto-;

mientras que en otros, la relación entre las cantidades es más estática; b) la segunda dimensión se refiere a la relación inclusiva, o de parte-todo, en el sentido de que en algunos problemas dos cantidades aparecen como subconjuntos de una tercera; c) en aquellas tareas que implican acción, esta consiste en incrementar o disminuir la cantidad inicial presentada. Según estos tres criterios, los autores proponen 6 categorías de problemas: 1) de unión; 2) de separación; 3) de parte-parte-todo; 4) de comparación; 5) de igualación añadiendo; y 6) de igualación sacando.

Vergnaud (1982) propone una clasificación, basada en tres conceptos principales:

medida, transformación temporal y relación estática, formada por 6 categorías de problemas aditivos y de sustracción: 1) composición de dos cantidades; 2) una transformación une dos cantidades; 3) una relación estática une dos cantidades; 4) composición de dos transformaciones; 5) una transformación une dos relaciones estáticas; y 6) composición une dos relaciones estáticas.

Nesher (1982) dice que la dependencia semántica entre las tres proposiciones del texto, partes informativas y pregunta, pueden venir dadas por siete tipos de palabras si, el contenido semántico de un PAEV se analiza a trozos atendiendo a las diferentes maneras de codificar lingüísticamente las relaciones lógicas entre las tres proposiciones básicas del texto: argumentos (chicos, chicas, niños), adjetivos que califican a los argumentos cuantificados, agentes a los que se hace referencia en el texto (Ana tiene tres caramelos y Juan tiene cinco), localización o relación espacial entre objetos, tiempo o relación temporal entre los acontecimientos a que se hace referencia en el texto, verbos que expresan la dependencia semántica y términos relaciónales (más que). Atendiendo a la dependencia semántica dada por estas 7 palabras se producen tres diferentes categorías contextúales (Greeno, 1978; Moser, 1979; Vergnaud y Durand, 1976; (citados en Puig y Cerdán (1988)): texto dinámico (incluye la categoría verbos expresando una secuencia temporal), texto estático (incluye las categorías argumentos, adjetivos, agentes,

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localization y tiempo) y texto comparación (incluye la categoría términos relaciónales).

En un trabajo posterior, Carpenter y Moser (1983) reorganizan la clasificación propuesta anteriormente presentando los tipos de problemas siguientes: 1) de Cambio; 2) de Combinación; 3) de Comparación; y 4) de Igualación. Esta taxonomía es generalmente aceptada hoy en día por la mayoría de los autores.

Si atendemos al lugar que ocupa la incógnita en el problema, los problemas de la categoría Cambio, Combinación y Comparación, pueden desmenuzarse en distintos tipos de problemas dentro de cada una de las categorías.

Los problemas de Cambio están formados por tres conjuntos o componentes:

- Un estado inicial - Juan tiene 3 canicas.

- La acción que produce un cambio- María le da 2 canicas.

- Un estado final- Ahora Juan tiene 5 canicas.

Algunos de estos componentes pueden ser hallados (i) si los otros dos componentes se dan como datos del problema (d) en la parte informativa, produciendo tres casos diferentes. La acción a la que se somete la cantidad inicial puede hacer aumentarla o disminuirla, por tanto, en total podemos encontrar seis tipos diferentes de problemas de Cambio:

CAMBIO 1 (C1)

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Un similar conjunto de variaciones existe para los problemas de Comparación. En este caso las cantidades presentes en el problema se denominan cantidades de referencia (A), cantidad comparada (C) y diferencia (B):

Cantidad A: Juan tiene 5 canicas.

Cantidad B: María tiene 3 canicas.

Cantidad C: Juan tiene 2 canicas más que María María tiene 2 canicas menos que Juan.

COMPARAR 1 (CP1)

Los problemas de Combinación describen una relación entre conjuntos que responde al esquema parte-parte-todo. Los componentes de estos problemas son dos:

Cantidad A: Juan tiene 5 canicas.

Cantidad B: María tiene 3 canicas.

Cantidad resultante: entre ambos tienen 8 canicas.

Las combinaciones posibles son dos:

;:¡COMBINAR1<CB1)

En cuanto a la cuarta categoría añadida por Carpenter y Moser (1983), problemas de Igualación, su estructura básica es la de los problemas de Comparación. En ellos se encuentra una comparación entre las cantidades presentes, establecida por

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medio del comparativo de igualdad "tantos como" y así encontraríamos, también, seis tipos diferentes de problemas.

En el cuadro siguiente presentamos las tres categorías de problemas utilizadas en la mayoría de trabajos, Cambio, Combinación y Comparación, con las denominaciones utilizadas en previas investigaciones para las mismas categorías (adaptado de Nesher, Greeno y Riley (1982).

1. Cambio

CAMBIO: Greeno (1980a, b)

UNION Y SEPARACIÓN: Carpenter y Moser (1981), Carpenter, Hiebert y Moser (1981).

DINÁMICO: Nesher y Katriel (1978), Nesher (1981).

TRANSFORMACIÓN UNE DOS CANTIDADES: Vergnaud y Durand (1976), Vergnaud( 1981).

2. Combinación

COMBINACIÓN: Greeno (1980a, b), Heller y Greeno (1978); Riley (1979), Riley, Greeno y Heller (1981).

PARTE-PARTE-TODO: Carpenter y Moser (1981), Carpenter, Hiebert y Moser (1981).

ESTÁTICO: Nesher (1978, 1981).

COMPOSICIÓN DE DOS CANTIDADES: Vergnaud y Durand (1976), Vergnaud (1981).

3. Comparación

COMPARACIÓN: Greeno (1980a, b), Carpenter y Moser (1981), Carpenter, Hiebert y Moser (1981), Nesher y katriel (1978), Nesher (1981).

RELACIÓN ESTÁTICA UNE DOS CANTIDADES: Vergnaud y Durand (1976), Vergnaud (1981).