Choix des gains du correcteur PID et des bandes passantes de démodula-

démo-dulation pour un asservissement stable

Pour choisir les gains PID les mieux adaptés à notre système, nous avons dans un premier temps mesuré expérimentalement le facteur G_PDH. En effet, la mesure expérimentale de ce gain permet de s’affranchir de la mesure de paramètres tel que I₀ ou G_tot. Cela permet aussi de rapprocher notre modélisation au mieux de la réalité. Pour mesurer le facteur G_PDH, nous mettons en place le montage de la figure 5.2, qui est dérivé de la figure 5.1 (b) sans fermer l’asservissement.

Comme l’asservissement n’est pas en fonctionnement, on balaye la fréquence du laser et on observe le signal d’erreur PDH en sortie du filtre de démodulation, pour lequel nous fixons une bande passante de 20 kHz, afin que le filtrage ne déforme pas le signal PDH à l’oscilloscope. Un exemple de signal d’erreur observé sur l’oscilloscope est présenté en figure 5.3. Dans cet exemple, la fréquence de modulation du modulateur de phase est de f_Mod = 3, 012 MHz. Son amplitude de modulation est telle que β = 1, 08 rad (voir chapitre 2). La pente du PDH est donnée par l’asymptote de la courbe rouge de la figure 5.3 proche de la résonance, et correspond à une pente de 1800 Volts par secondes. Comme le montre la figure 5.3, un intervalle spectral libre

l l l l e 𝜃

Figure 5.2 – Schéma présentant la mesure du gain GPDH. L’utilité de mettre un second modu-lateur acousto-optique en série ("AO_Step”) sera précisée dans la partie 5.1.3. AO : Modulateur

Acousto-Optique, PD : Photodiode, FPB : Filtre Passe-Bas, PM : Modulateur de Phase.

(16,4 MHz) est balayé en 17,6 ms, ce qui permet de convertir la pente du signal d’erreur en gain PDH : G_PDH= 1, 9 µV/Hz. C’est la valeur du gain que nous prenons dans la modélisation Simulink.

Figure 5.3 – Tracé expérimental du signal d’erreur Vε1 (rouge) et du signal de sortie de la photodiode PD1 (bleu) lorsque le laser est balayé en fréquence. La fréquence de modulation du modulateur de phase est ici de f_Mod = 3, 012 MHz. Le signal en sortie de la photodiode est

déformé par la modulation. Le facteur G_PDH correspond à la pente de l’asymptote du signal d’erreur proche de la résonance.

Ensuite, il faut fixer la fréquence de coupure f₂ du filtre de démodulation. Elle doit être suffisamment faible pour couper la partie du signal d’erreur oscillant à 2f_Mod = 6, 024 MHz et suffisamment importante pour que l’asservissement ait un temps de réponse qui soit le plus court possible. En effet, le temps de réponse de l’asservissement est lié à la bande passante des filtres de démodulation. Nous choisissons une bande passante f₂= 1 kHz.

Une fois la pente de l’asservissement mesurée, et la fréquence du filtre de démodulation fixée, nous utilisons l’outil Simulink pour modéliser la réponse à un échelon de consigne (step response en anglais) de notre système lorsqu’il est asservi. La réponse du système correspond à la sortie du modulateur acousto-optique sur la figure 5.1. Dans notre modélisation, nous avons considéré que l’échelon en fréquence était de 1 Hz. Simulink permet de piloter le temps de réponse du système en modifiant les gains du correcteur PID. La figure 5.4 présente trois modélisations de réponses différentes à une consigne échelon.

Figure 5.4 – Réponse du modulateur acousto optique à un échelon de consigne de 1Hz. Les

gains PID pour la réponse lente sont de : G_P = 1, 2 · 10⁶ Hz/V, G_I = 5, 4 · 10⁹ Hz/V·rad/s, GD = 57 Hz/V·s/rad, et G_N = 1, 2 · 10⁶ rad/s. Les gains PID pour la réponse rapide sont de : G_P = 2, 8 · 10⁷ Hz/V, G_I = 7, 2 · 10¹⁰ Hz/V·rad/s, G_D = 2, 4 · 10³ Hz/V·s/rad, et G_N = 5 · 10⁷ rad/s, et les gains PID pour la réponse oscillante sont de : G_P = 2, 8 · 10⁷ Hz/V, GI= 2, 5 · 10¹¹ Hz/V·rad/s, G_D= 126 Hz/V·s/rad, et G_N= 7, 7 · 10⁴ rad/s.

On considère que les gains sont optimisés si la réponse est rapide et sans oscillations. Nous choisissons donc pour l’asservissement de fixer les gains du correcteur PID aux valeurs de la réponse rapide de la figure 5.4 soit : G_P = 2, 8 · 10⁷ Hz/V, G_I = 7, 2 · 10¹⁰ Hz/V·rad/s, G_D = 2, 4 · 10³Hz/V·s/rad, et G_N= 5 · 10⁷ rad/s, ce qui correspond à un temps de réponse d’environ 10 µs.

Pour vérifier la stabilité de notre système, nous traçons son diagramme de Bode en boucle ouverte (voir la figure 5.5) qui permet de mesurer la marge de gain et la marge de phase de notre système.

𝑴_𝝋

𝑴_𝒈

𝜔_𝑐0 2𝜋 𝜔_−𝜋 2𝜋

Figure 5.5 – Diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) de

notre système. Le gain FTBO en dB est défini par : 10 log |H_BO(ω)|²

et la phase est définie comme l’argument de la fonction H_BO(ω).

Soit ω_−π la pulsation telle que la phase de la fonction de transfert en boucle ouverte soit égale à −π. La marge de gain M_g est définie par l’écart entre 0 dB et le gain à la pulsation ω−π

telle que la phase du diagramme de Bode ϕ_BO soit de −π :

M_g = −10 log^|H_BO(ω_−π)|^2.

Le système est stable si la marge de gain est supérieure à 0. Une bonne stabilité commence à partir de M_g = 10 dB [89].

Soit ω_c0 la pulsation telle que |H_BO(ω_c0)|2 = 1. La marge de phase M_ϕ est définie par la différence entre la phase à la pulsation ω_c0 et −π :

M_ϕ= ϕ_BO(ω_c0) + π.

Le système est stable si la marge de phase est supérieure à 45deg, mais une bonne stabilité commence à partir d’une marge de phase de 60deg [89]. Dans notre cas, la marge de phase est

de M_ϕ = 90 deg et la marge de gain est de M_g = 44 dB ce qui confirme que notre système d’asservissement est stable.

Le tracé du module de la fonction de transfert en boucle fermée de la figure 5.6 permet de mesurer la bande passante à -3 dB du système asservi, qui est de 70 kHz. En première approximation, la bande passante du système est environ égale à l’inverse du temps de réponse du système (à un échelon de consigne). Les 70 kHz de bande passante que nous calculons sont donc en accord avec les 10 µs de temps de réponse donnés par la modélisation.

Figure 5.6 – ^{Tracé du gain de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) de notre}

système. Le gain FTBF en dB est défini par : 10 log |H_BF(ω)|²

.

Notons que nous avons négligé dans la modélisation le temps de calcul (et donc de réponse) de la détection synchrone numérique, que nous avons supposé instantané.