En conclusion, il faudra donc, suivant l’expérience menée, trouver le bon compromis
entre avoir de la puissance acoustique mais un spectre fréquentiel piqué et avoir moins de
puissance acoustique mais un spectre fréquentiel large et continu.
Pour ce qui est de l’étude de la vibration de la bulle confinée, nous chercherons à
accéder à de fortes amplitudes d’excitation. Enfin, pour étudier l’écoulement autour de
la bulle, il nous faudra utiliser le microscope pour voir les billes en épifluorescence. Ainsi,
dans ces deux cas, le dispositif d’excitation in-situ sera privilégié.
Pour ce qui est de l’étude des effets collectifs, le dispositif d’excitation externe sera plus
adapté étant donné qu’il permet a priori d’avoir accès au champ acoustique transmis par
les bulles. Cependant, ce dispositif expérimental est toujours en voie de développement.
Seuls des essais préliminaires ont été réalisés, ce qui explique que nous ne montrions pas
de résultat associé à ce dispositif dans ce manuscrit. Le dispositif d’excitation in-situ nous
permettra cependant de faire une première exploration des paramètres en vue d’effets
collectifs à grand nombre de bulles.
3 Analyse d’images : la bulle sous toutes ses coutures 51
3 Analyse d’images : la bulle sous toutes ses coutures
Dans cette section, nous allons chercher à décrire le contour de la bulle avec le minimum
de paramètres possibles. Pour ce faire, nous allons décomposer ce contour en série de
Fourier et chercher à déterminer l’amplitude, la phase et l’orientation des différents modes
de vibration de la bulle.
Paramètres décrivant le contour d’une bulle à un instant donné
A un instantt
0donné, le contour extérieur d’une bulle peut être repéré par ses
coor-données polaires{ρ(θ, t
0), θ}. Ici, ρ(θ, t
0) désigne la distance entre le centre de la bulle à
l’instantt
0d’une part et la position du contour à l’angle θd’autre part, la référence des
angles étant prise suivant l’axe (Ox), comme indiqué sur la figure II.7a.
y
x
O
0 π 2π
(rad)
b) a)FigureII.7 –
(a) Schéma montrant un contourρ(θ, t0) =R+a5cos(5(θ−θ5)), aveca5= 0,25.R. (b) Dépliage angulaire de ce même contourρ(θ, t0) en fonction de l’angleθ.La bulle étant un contour fermé,ρest par conséquent une fonction 2π-périodique deθ.
De plus,ρ est continûment dérivable sur θ∈[0; 2π]. D’après le théorème de Dirichlet, la
fonctionρ(θ, t
0) est donc décomposable en série de Fourier suivant θ:
ρ(θ, t
0) =R(t
0) +
Xn≥1
a
n(t
0) cos(nθ+ψ
n(t
0)). (II.1)
Dans cette décomposition,R(t
0) désigne le rayon moyen instantané de la bulle à l’instant
t
0. Les termes présents dans la somme sont appelés modes de surface, l’ordre du mode
étant donné par l’entiern. Il s’agit de modes de déformation de la bulle présentant un axe
de symétrie d’ordren. L’amplitude du moden à l’instant t
0est notéea
n(t
0) et sa phase
spatiale, ψ
n(t
0). A partir de la phase spatiale, on peut déduire l’orientation du mode :
θ
n=−ψ
n/n, qui correspond à l’angle du pic du mode le plus proche de l’axe (Ox).
La figure II.7a donne une représentation schématique d’un mode de surfacen= 5 pour
une amplitude de mode égale àR/4 et une orientation du modeθ
5= 10
o. L’ordre du mode
52 Production, excitation et observation de microbulles confinées
la bulle. Ainsi un mode n = 5 donnera une forme d’étoile de mer à 5 branches. Sur la
figure II.7b, on a tracé la fonctionρ(θ, t
0) en fonction deθ. On y retrouve l’amplitude et
la phase spatiale du mode 5.
Paramètres décrivant l’évolution temporelle du contour de la bulle
Nous allons maintenant nous intéresser à l’évolution temporelle de ces différents modes
de vibration. Dans l’équation II.1, trois termes sont susceptibles d’évoluer avec le temps :
le rayon instantané R, l’amplitude a
ndes modes et enfin leur phase spatiale ψ
n. Une
décomposition en série de Fourier du contour à chaque instant t
0permet de récupérer
leur évolution temporelle. Une transformée de Fourier nous permet alors de connaître le
spectre fréquentiel de chaque mode de vibration.
Lorsqu’une bulle est excitée acoustiquement, deux termes vont généralement dominer.
On aura essentiellement une composante continue à laquelle va s’ajouter une composante
à la fréquence fondamentale du mode, la seconde harmonique étant moins marquée. Dans
le cas où seules ces deux termes dominent , on pourra écrire pour le rayon instantané :
R(t) =R
0+A
0cos(ω
0t+φ
0)
Autrement dit, le rayon instantané R peut dans ce cas être décrit comme la somme du
rayon moyen R
0de la bulle et d’un rayon oscillant d’amplitude A
0et de pulsation ω
0,
correspondant à une vibration isotrope, que l’on nommera dans la suitevibration monopole
oumode de respiration.
Dans le cas des modes de surface, on distinguera également la partie continue de la
partie oscillant à la fréquence fondamentale :
ρ(θ, t) =R
0+A
0cos(ω
0t+φ
0) +
Xn≥1
h
A
ncos(nθ+ψ
n) +A
ncos(ω
nt+φ
n) cos(nθ+ψ
n)
i,
oùA
netψ
nsont l’amplitude et la phase spatiale de la composante continue du moden,
etA
netψ
ncelles de la composante oscillant à la pulsation fondamentaleω
ndu mode n.
En conclusion, chaque contour de bulle sera décrit par une série de paramètres qui
sont : le rayon moyenR
0, l’amplitudeA
ndes modes de vibration, les phases temporelleφ
net spatialeψ
ndes différents modes. L’obtention numérique de ces paramètres est détaillée
3 Analyse d’images : la bulle sous toutes ses coutures 53
La particularité du mode de translation
Le mode n= 1 est particulier puisqu’il s’agit d’un mode de translation. Tant que son
amplitude reste petite devant R
0, il se traduit par le déplacement d’un cercle de rayon
R
0de part et d’autre de l’origine (voir figure II.8b).
b) a)
mode 0 mode 1
c)
mode 2
FigureII.8 –
Schéma de la vibration d’un mode (a)n= 0, (b)n= 1 et (c)n= 2. Seul le moden= 1 a son centre qui bouge au cours du temps.
Pour pouvoir le détecter, il faut veiller à prendre comme référentiel le barycentre de
la bulle au cours d’une période de vibration du mode n = 1. L’amplitude du mode de
translation pouvant être très faible (de l’ordre duµm), il est donc nécessaire de prendre
un objectif de microscope plus fort (typiquement un objectif x40) pour pouvoir résoudre
cette vibration et diminuer l’incertitude sur la position de l’origine.
III. Vibration d’une bulle cylindrique
confinée
Avant de parler de couplage, nous allons tout d’abord chercher à comprendre
com-ment une bulle confinée dans un microcanal réagit aux ultrasons. Pour des amplitudes
d’excitation modérées, deux classes de vibration prennent le dessus : la bulle commence
par exhiber une vibration axisymétrique, appelée "vibration monopole" ou "mode
respira-toire", aux faibles amplitudes d’excitation, à laquelle s’ajoutent des vibrations en forme
d’étoiles, appelées "modes de surface", aux plus fortes amplitudes.
Dans un premier temps, nous nous intéresserons à la pulsation monopole de la bulle
confinée. La première partie sera dédiée à l’étude expérimentale de cette vibration. Nous
verrons que la déformation de la bulle se fait principalement dans le plan du canal. Nous
chercherons à expliquer les différences observées par rapport à la pulsation de la bulle
sphérique, et introduirons un modèle de vibration 2D simple. Nous verrons que ce modèle
n’explique pas tout à fait les résultats expérimentaux. Dans une deuxième partie, nous
complèterons donc ce modèle en y ajoutant la déformation des murs du canal en PDMS.
Nous détaillerons alors les différents termes d’amortissement afin de déterminer lesquels
dominent à notre échelle. Enfin, la troisième partie sera consacrée à une étude
expéri-mentale et théorique des modes de surface. Nous chercherons à déterminer le domaine
d’existence de chaque mode et le seuil de pression acoustique externe à partir de laquelle
les différents modes apparaissent.
11 Vibration d’une bulle "cylindrique"
Dans cette partie, nous allons tout d’abord chercher à montrer que la bulle se
dé-forme essentiellement dans le plan du canal. Nous dirons que la bulle est quasi-2D, ou
"cylindrique", du fait de sa symétrie axiale. Nous verrons ensuite comment l’équation de
Rayleigh-Plesset se trouve modifiée dans cette dimension.
Dans le document
Oscillations couplées de microbulles sous champ ultrasonore et conséquences hydrodynamiques
(Page 51-56)