Fi= − ~gradiU, (III.2)
où ~ai est l'accélération de l'atome i.
Pour obtenir la trajectoire de chaque atome en fonction du temps, ces équations du mouvement sont intégrées en général par l'algorithme de Verlet [151], qui consiste à calculer à chaque pas de temps t :
l'accélération instantannée ~ai de chaque atome i à partir des forces ~Fi s'exerçant sur chacun d'entre eux, et de leur masse atomique mi.
la vitesse atomique ~vi à partir de l'accélération instantanée ~ai. la position atomique ~ri à partir de la vitesse atomique ~ai.
L'intégration de ces équations se fait en subdivisant la trajectoire en une série d'états discrets séparés par des intervalles de temps très courts dont la longueur dé nit le pas d'intégration δt. Dans le logiciel AMBER [152] avec lequel une partie des simulations présentées ici a été eectuée, l'équation du mouvement est résolue avec l'algorithme du saut-de-mouton(leap-frog [153]), une variante de l'algorithme de Verlet :
~v(t + 1
2δt) = ~v(t −1
2δt) + δt.~a(t), (III.3)
~r(t + δt) = ~r(t) + δt.~v(t +1
2δt). (III.4)
Les vitesses initiales sont générées de manière aléatoire selon la distribution de Maxwell-Boltzmann. L'intervalle de temps δt doit être plus petit que l'échelle de temps (1 fs) associée aux mouvements de plus haute fréquence du système, c'est-à-dire les vibrations des liaisons chimiques dans lesquelles un hydrogène participe. La stabilité numérique du système est ainsi assurée. Des algorithmes tels que SHAKE [154] ou RATTLE [154; 155] peuvent être appliqués pour utiliser un pas de temps δt plus grand (environ 2 fs). Ces algorithmes consistent à geler les vibrations de haute fréquence des liaisons de type X-H, qui ont, dans le cadre de notre étude, une in uence très limitée sur le comportement global du système.
1.2 Champ de force
Le champ de force en modélisation moléculaire est l'ensemble des formes fonctionnelles et des paramètres utilisés pour calculer l'énergie potentielle du système dans un logiciel donné.
L'énergie totale du système a deux composantes qui sont l'énergie cinétique Ec=PN
i=112miv~2 i
Elle est exprimée comme la somme de cinq types d'interactions : U = X liaisons Kr(r − req)2+ X angles Kθ(θ − θeq)2 + X di`edres X n 1 2Vn[1 + cos(nφ − γ)] +X i<j qiqj 4πε0rij + εij " R∗ ij rij 12 − 2 R∗ ij rij 6# (III.5) Les trois premiers termes sont des termes dits liés, car ils correspondent respectivement aux énergies de compression ou d'élongation de la liaison covalente, de déformation angulaire et de déformation des angles de torsion (dièdres) entre atomes liés de manière covalente. Les deux derniers termes sont dits non-liés car ils correspondent aux contributions électrostatiques et de van der Waals entre atomes séparés de plus de deux liaisons.
Chacun de ces termes comporte des constantes qui sont dé nies par un champ de force empirique adapté en fonction du système étudié (ADN, protéine ...). Ils sont codés dans les programmes standards de modélisation moléculaire, tel que CHARMM [156], AMBER [152], NAMD [157] ou GROMACS [158]. Ces derniers dièrent essentiellement au niveau de la paramétrisation des valeurs Kr, req, θeq et des autres paramètres cités dans l'équation.
Interactions entre atomes liés :
Énergie de compression ou d'élongation des liaisons : elle est exprimée par un potentiel harmonique, où r est la longueur exprimée en Å entre une paire d'atomes liés. Lorsque cette longueur dévie de sa valeur de référence, (ou valeur d'équilibre), req, cette énergie est donc augmentée. req est une constante du champ de force choisi. Kr est une constante de force associée en kcal.mol−1.Å−2.
Énergie de déformation des angles : ce terme est une somme des énergies d'élongation de chaque angle de valence θ de la molécule, exprimées également par un potentiel harmonique par rapport à la valeur de référence θeq. Kθ est une constante de force associée en kcal.mol−1.deg−2. Les angles sont exprimés en ◦.
Énergie de déformation des angles dièdres : elle est exprimée par un potentiel de torsion qui modélise la variation du changement d'énergie selon la liaison rotative autour d'une liaison. Elle est décrite par une série de Fourier et dépend de l'angle dièdre instantané φ en degrés, d'un terme d'énergie Vm en kcal.mol−1, d'un terme de multiplicité n et des facteurs de phase γ pour lesquels l'énergie de torsion est minimale.
Interactions entre atomes non-liés :
iet j est évaluée par la loi de Coulomb : Uelec =X
i<j
qiqj
4πε0rij (III.6)
où qi et qj sont les charges partielles portées par les atomes i et j, rij la distance en Å entre ces atomes, et ε0 la constante diélectrique (ou perméabilité diélectrique du vide) qui est égale à 8,85418782 x 10−12F.m−1. Cette énergie diminue lentement avec l'augmentation de la distance entre atomes (∼ 1/r).
Interactions de van der Waals : elles sont décrites par un potentiel de Lennard-Jones en 6-12 : Uvdw =X i<j εij " R∗ ij rij 12 − 2 R∗ ij rij 6# (III.7) où rij est la distance entre les atomes i et j en Å R∗
ij et εij sont les paramètres de Lennard-Jones. Le paramètre en r−12
ij correspond à la répulsion entre deux atomes dû au principe d'exclusion de Pauli (courbe verte de la gure III.1). Le terme en r−6
ij représente la dis-persion attractive de London (courbe bleue de la gure III.1). εij (notée e sur la gure III.1) correspond à la profondeur du puits de potentiel à la distance R∗ij. Ces deux derniers paramètres sont estimés par la règle de Lorentz-Berthelot :
εij = √εiiεjj (III.8) R*ij = 1 2(R * ii+ R*jj) (III.9)
U
r
R* eFig. III.1: Représentation graphique du potentiel de Lennard-Jones en 6-12. Le paramètre U représente l'énergie associée aux interactions de van der Waals, et r la distance entre deux atomes i et j.
Interactions à longue distance :
Les systèmes sont simulés dans une boîte, qui impose donc des limites spatiales. A n de s'aranchir des eets de bords, on modélise ces derniers dans une boîte à bords périodiques, c'est-à-dire qu'on
modélise des systèmes de taille nie délimités par des boîtes et répliqués (virtuellement) à l'in ni. Ainsi, chaque atome interagit avec les autres atomes de la boîte, mais aussi avec ses images virtuelles. Cependant, les systèmes comportent des milliers d'atomes, ce qui rend le traitement de toutes les interactions très long. Ainsi, des méthodes d'approximation sont utilisées pour évaluer les interactions à longue distance :
image minimale : chaque atome voit au plus une seule image de tous les autres atomes présents dans le système. L'énergie d'interaction est calculée avec l'image de l'atome la plus proche, qu'elle soit à l'intérieur de la boîte ou dans une boîte voisine.
rayon de coupure ou cut-o : il est associé à l'image minimale. Au-delà d'une certaine distance, les interactions entre paires d'atomes sont considérées comme nulle. De manière générale, lors de l'emploi de conditions aux limites périodiques, la valeur du cut-o ne doit pas dépasser la moitié de la taille minimale de la boîte.
Somme d'Ewald : Les interactions de van der Waals diminuent en 1
r6, et peuvent donc être négligées au-delà d'un certain rayon de coupure. À l'inverse, les interactions coulombiennes varient de manière inversement proportionnelle à la distance rij, et ne peuvent donc être omises. Elles sont donc souvent évaluées par le protocole du maillage particulier d'Ewald [159]. Fondé sur la somme d'Ewald, cet algorithme calcule de manière e cace les interactions (électrostatiques) à longue distance entre les atomes et toutes leurs images périodiques. La somme d'Ewald est composée de trois termes :
UEwald= UR+ UI+ U0 (III.10) Le premier terme UR est la somme des interactions à courte distance dans l'espace direct réel, UI est la somme des interactions à longue distance dans l'espace réciproque imaginaire (images de la boîte), et U0 est un terme correctif constant. Dans l'algorithme PME, URest évalué directement dans un rayon de coupure donné et UIest approximé par une transformée de Fourier rapide sur une grille où les charges sont interpolées en chaque point.