Nous n’avons pas encore trait´e le cas de la tresseβ de profondeur non nulle avec dpn(β)6brn(β)−2.
C’est le cas difficile. Dans ce cas, il est impossible de pr´edire directement si la tresse β est
σ-positive ou bienσ-n´egative ou mˆeme triviale, et c’est le point o`u nous allons utiliser la notion d’´echelle et l’algorithme de renversement.
D´efinition 3.12. Supposons que β soit une tresse non triviale de Bn pourn > 3 satisfaisant dpn(β)6= 0etdpn(β)6brn(β)−2. Notonsd−t
1,nwla forme normale tournante deβ, et(wb, ... , w1) leφn-´eclatement dew. Posonswt+2 =w′ t+2ap−1,n−1et v =φb−1−t n (wb)... φn2(wt+3)φn(w′t+2)d−1 1,p, ut+2 =d−1 p−1,n−2.
Cas 1 :w2 6=ε. Alors on pose
NFn(β) =v w′′φn(w′ 2)w1,
o`u w′′ et u3 sont les mots produits par le lemme 2.10 appliqu´e `a la suite (wt+2, ..., w1), le motut+2 et l’entier3, et o`uw′
2 est le mot produit par la proposition 2.8 appliqu´ee aux motsw2
etφn(u3);
Cas 2 :w2=ε,w3=...=wk−1 =an−2,n−1 etwk 6=an−2,n−1 pour un certaink 6t+ 1. Alors, on pose
NFn(β) =v w′′φn(w′k)d−c+2 1,n−1w1,
o`u w′′ et uk+1 sont les mots donn´es par le lemme 2.10 appliqu´e `a la suite (wt+2, ..., w1), au motut+2et `a l’entierk+1, et o`uw′
kan−2,n−1est le mot produit par la proposition 2.8 appliqu´ee aux motswk etφn(uk+1); Cas 3 :w2=ε,w3=...=wt+1=an−2,n−1etv 6=d−1 1,n−1. Alors on pose NFn(β) = v d−t+1 1,n−1w1; Cas 4 :w2=ε,w3=...=wt+1=an−2,n−1etv =d−1 1,n−1. Alors on pose NFn(β) = NFn−1(δ−t n−1w1).
Proposition 3.13. Sous les hypoth`eses de la d´efinition 3.12, le motNFn(β)est un repr´esentant
σ-d´efini (nonσn−1-n´egatif) deβ, et sa longueur est au plus3|β|n. De plus, siβ est sp´ecifi´ee par unΣn-mot de longueurℓ, le motNFn(β)peut ˆetre calcul´e en tempsO(n6ℓ2).
D´emonstration. On utilise les notations de la d´efinition 3.12. Montrons que l’´equivalence
suiv-ante est satisfaite :
d−t
1,nw≡v d−t+1 1,n φt+1
n (ut+2)φt
n(wt+1)... φn(w2)w1. (4.22) En effet, comme la suite(wb, ... , w1)est leφn-´eclatement dew, on a
d−1,nt w=d−1,nt φb−1
3. Expressionσ-d´efinie quasi-g´eod´esique 145
Par construction,wt+2vautw′
t+2ap−1,n−1. La relation (II.2.5) impliqueap−1,n−1 ≡dp−1,n−1ut+2, doncwt+2 ≡w′ t+2dp−1,n−1ut+2. Alors, le motd−t 1,nwest ´equivalent `a d−t 1,nφb−1 n (wb)... φt+1 n (wt+′ 2dp−1,n−1)φt+1 n (ut+2)φt n(wt+1)... φn(w2)w1. (4.24) On pousse les facteursd−1,nt apparaissant dans (4.24) vers la droite, jusqu’`a ce qu’ils arrivent `a gauche du facteurφt+1
n (ut+2). De cette mani`ere, nous obtenons
d−1,nt w≡φnb−t−1(wb)... φn(w′t+2dp−1,n−1)d−1,nt φt+n1(ut+2)φnt(wt+1)... φn(w2)w1.
Les relations (II.2.6) et (1.8.i) impliquentφn(dp−1,n−1)d−t
1,n ≡ d−1
1,p. En substituant la derni`ere valeur dans la relation ci-dessus, nous obtenons (4.22).
Ensuite, par construction, le motv estσn−1-nonn´egatif, et sa longueur satisfait
|v|=|wb|+... +|wt+2|. (4.25) Pour aller plus loin, nous consid´erons les quatre cas de la d´efinition 3.12 s´epar´ement. Dans les trois premiers cas, nous allons montrer que le motNFn(β)estσn−1-positif ; dans le quatri`eme cas, nous allons ´etablir queNFn(β)estσ-d´efini en utilisant une induction surnet en utilisant dans certains sous-cas les propositions 3.9 et 3.11.
Cas 1. D’abord,NFn(β)est ´equivalent `ad−t
1,nw. En effet, le lemme 2.10 implique
d−t
1,nw ≡v w′′φ2
n(u3)φn(w2)w1,
tandis que la proposition 2.8 impliqueφn(u3)w2 ≡w′
2. Nous d´eduisons
d−t
1,nw ≡v w′′φn(w′
2)w1 = NFn(β).
Ensuite, par construction,w′
2est un mur adoss´e `aw#
2, donc, par d´efinition, il estσn−2-positif. Il s’ensuit queφn(w′
2)estσn−1-positif. Comme les motsv,w′′ etw1 sont σn−1-nonn´egatifs, le motNFn(β)estσn−1-positif.
Pour la longueur, le lemme 2.10 et la proposition 2.8 impliquent
|w′′|63|wt+1|+... + 3|w3| − |u3| −t+ 2, |w′
2|63|w2|+|u3| −1.
Regroupant ces valeurs avec (4.25), ett >0, nous obtenons|NFn(β)|63|w|.
Cas 2. D’abord, observons que la derni`ere lettre duA+
n−1-motwkdoit ˆetrean−2,n−1: ceci est une cons´equence du corollaire III.3.7 car, par construction dek, le motwk−1 est soit le mot videε
soit se termine par la lettrean−2,n−1.
Maintenant, v´erifions queNFn(β)est ´equivalent `ad−t
1,nw. Par le lemme 2.10, on a
d−1,nt w ≡v w′′d−1,nk+2φkn(uk+1)φk−1
n (wk)φk−2
n (an−2,n−1)... φn2(an−2,n−1)w1.
La proposition 2.8 garantissant quew′
k est unφn(w# k+1)-mur satisfaisant φn(uk+1)wk≡w′kan−2,n−1, nous obtenons d−1,nt w ≡v w′′d−1,nk+2φk−1 n (w′k)φk−1 n (an−2,n−1)... φn2(an−2,n−1)w1. (4.26)
En poussant les puissances n´egatives de d1,n apparaissant dans (4.26) vers la droite et en les intercalant entre lesφ..
n(an−2,n−1), nous obtenons d−1,nt w ≡v w′′φn(w′k)d−1,nk+2φk−1 n (an−2,n−1)... φn2(an−2,n−1)w1 ≡v w′′φn(w′k)φn(an−2,n−1)d−1 1,nd−k+3 1,n ... φ2n(an−2,n−1)w1 ≡ ... ≡v w′′φn(wk′)φn(an−2,n−1)d−1 1,n... φn(an−2,n−1)d−1 1,nw1. Alors, l’´equivalenceφn(an−2,n−1)d−1 1,n ≡d−1 1,n−1 implique d−1,nt w≡v w′′φn(wk′)d−1,nk+2−1w1 = NFn(β).
Ensuite, par construction, le motw′
k est unφn(w#
k+1)-mur, donc, par d´efinition, il estσn−2 -positif. Ainsiφn(w′
k)estσn−1-positif. Comme les motsv,w′′, etd−k+2
1,n−1w1sontσn−1-nonn´egatifs, le motNFn(β)estσn−1-positif.
Pour le r´esultat sur la longueur, le lemme 2.10 et la proposition 2.8 impliquent
|w′′|6 3|wt+1|+... + 3|w3| − |uk+1| −t+ 2, |w′kan−2,n−1|63|wk|+|uk+1| −1.
En regroupant ces valeurs avec (4.25) et l’hypoth`eset >0, on obtient|NFn(β)|63|w|.
Cas 3. Comme dans le cas2, on observe que la derni`ere lettre dewt+2 est an−2,n−1, ce qui est une cons´equence du corollaire III.3.7, carwt+1est soit le mot videεsoitan−2,n−1.
V´erifions queNFn(β)est ´equivalent `ad−t
1,nw. Comme la derni`ere lettre dewt+2estan−2,n−1, le motut+2est vide. Nous trouvons alors
d−t
1,nw ≡v d−t+1 1,n φt
n(an−2,n−1)... φn2(an−2,n−1)φn(ε)w1. (4.27) En poussant encore les puissances n´egatives ded1,nintervenant dans (4.27) vers la droite et en les distribuant entre lesφ..
n(an−2,n−1), on obtient d−t 1,nw ≡v φn(an−2,n−1)d−1 1,nd−t+2 1,n φt−1 n (an−2,n−1)... φn2(an−2,n−1)w1 ≡ ... ≡v φn(an−2,n−1)d−1 1,n... φn(an−2,n−1)d−1 1,nw1. Alors, la relationφn(an−2,n−1)d−1 1,n ≡d−1 1,n−1implique d−1,nt w≡v d−1,nt+1−1w1 = NFn(β)
Maintenant, v´erifions queNFn(β)estσn−1-positif. La derni`ere lettre dewt+2 ´etantan−2,n−1, on a la relation
v =φb−1−t
n (wb)... φn2(wt+3)φn(w′′t+2)d−1 1,n−1
Par le lemme III.3.2, si le motw′
t+2est non vide, il se termine par une lettre de la formea..,n−1. Le motvest doncσn−1-positif. Supposons quew′
t+2soit le mot vide et qu’on aitt6b−3. Comme le motwt+2 estan−2,n−1, le corollaire III.3.7 implique quewt+3 se termine par an−2,n−1. Ainsi, le motvse termine parφ2
n(an−2,n−1)d−1
1,n−1, qui esta1,nd−1
1,n−1. Le motv est doncσn−1-positif. La relation (4.25) implique directement|NFn(β)|=|w|.
Cas 4. Par construction, on av =d−1
1,n−1. La mˆeme analyse que celle faite dans le cas 3 donne la relationt=b−2et
3. Expressionσ-d´efinie quasi-g´eod´esique 147
L’hypoth`ese d’induction accompagn´ee des propositions 3.9 et 3.11 ´etablit
d−1,nt−1w1 ≡NFn−1(δn−−t1w1),
doncd−t
1,nw≡NFn(β)par d´efinition.
Toujours grˆace `a l’hypoth`ese d’induction et les propositions 3.9 et 3.11, nous obtenons
|NFn(β)|=|NFn−1(δ−t
n−1w1)|63|δ−t
n−1w1|n−1.
Par d´efinition, on a
|β|n=t+|wb|+... +|w1|,
et|δn−−t1w1|n−1 6t+|w1|, donc|δn−−t1w1|n−1 6|β|n. Ainsi nous obtenons|NFn(β)|63|β|n. Tous les cas ont ´et´e consid´er´es et il ne reste plus qu’`a ´etablir la complexit´e en temps. Par la proposition 3.7 et le lemme III.2.21, la forme normale tournante deβ et leφn-´eclatement dew
peuvent ˆetre calcul´es en tempsO(n6ℓ2). Dans les cas1et2, le lemme 2.10 est utilis´e une fois sur(wt+2, ... , w1)etut+2 avec un coˆut enO(log(n)(|ut+2|ℓ+ℓ2)). De plus, la proposition 2.8 est utilis´ee au plus une fois sur φn(uk+1) et wk, avec un coˆut en O(log(n)(|uk+1|ℓ+ 1)). Le lemme 2.10 garantit
|uk+1|6|uk+1|+t+ 1−c,
c’est-`a-dire, |ut+2| 6 t et donc |ut+1| 6 ℓ. Le coˆut de l’appel `a la proposition 2.8 est donc au plusO(log(n)ℓ2). Les autres op´erations des cas 1, 2, et3n´ecessitentO(log(n)ℓ) ´etapes et, donc, le coˆut total du calcul deNFn(β)estO(n6ℓ2)dans ces cas. Le r´esultat est similaire pour le cas4, en utilisant l’hypoth`ese d’induction ainsi que les propositions 3.9 et 3.11 et le fait que le motw1 est d´ej`a sous forme normale.