La d´emonstration donn´ee par S. Burckel repose sur un argument subtil d’induction qui est difficile `a contrˆoler en pratique.
3.3 Applications de l’existence de l’ordre
Dans cette section nous donnons des propri´et´es du groupe de tresses Bn qui peuvent ˆetre d´emontr´ees `a partir de l’existence d’un ordre invariant `a gauche.
La premi`ere montre que Bn est un groupe sans torsion ; c’est-`a-dire qu’il n’existe pas de tresseβ diff´erente de la tresse triviale v´erifiantβk= 1aveck >1.
Proposition 3.18. Le groupe de tressesBnest sans torsion.
D´emonstration. Soit β une tresse non triviale de Bn. Comme < est un ordre total, l’une des deux relations1< βetβ <1est satisfaite. Supposons qu’on ait1< β (l’autre cas se traite de la mˆeme mani`ere). Par invariance `a gauche de<, on aβ < β2. Ainsi, par induction, on obtient
1< β < β2 < ... < βk−1 < βk < ... .
−2 1 −1 1 0 1 1 1 2
FIG. 1.7 :Graphe de Cayley de(Z,+)par rapport `a{1}.
(−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2)
FIG. 1.8 :Graphe de Cayley de(Z2,+)par rapport `a{(0,1),(1,0)}: le g ´en ´erateur(1,0)est repr ´esent ´e par une ar ˆete horizontale tandis que(0,1)est repr ´esent ´e par une ar ˆete verticale.
Une autre application de l’ordre de des tresses repose sur le graphe de Gayley du groupe de tresse.
Le choix d’un syst`eme de g´en´erateursSpour un groupeGdonne une notion de distance sur ce groupe, o`u deux ´el´ements distincts sont `a distance 1si on peut passer de l’un `a l’autre par multiplication ou division `a droite par un ´el´ement deS. En connectant les ´el´ements de Gqui sont `a distance1par une arˆete ´etiquet´ee par le g´en´erateur correspondant, on obtient le graphe
de Cayley deGpar rapport `aS.
Soit G un groupe donn´e par une pr´esentation finie hS,Ri. Notons F(S) le groupe libre engendr´e parS. Alors toutS-motwrepr´esentant l’´el´ement neutre deGadmet une ´ecriture
w= n Y i=1 viri±1v−1 i , (1.8)
avecri ∈ Retvi ∈F(S)pour touti. Dans le graphe de Cayley deGrelativement `aS, l’´ecriture de (1.8) correspond `a la sous-division d’un lacet ´etiquett´e parwpar des lacets ´etiquett´esri, les mots vi correspondent au d´eplacement d’un lacet codant une relation de R `a partir du point base. Pour plus de d´etails, nous r´ef´erons `a [ECH+92].
3. Ordre des tresses 47 1 (1,2) (2,3) (1,2,3) (1,3,2) (1,3) FIG. 1.9 :Graphe de Cayley de(S
3,·)par rapport `a{(1,2),(2,3)}: le g ´en ´erateur(1,2)est repr ´esent ´e par une ar ˆete simple tandis que(2,3)est repr ´esent ´e par une ar ˆete double.
D´efinition 3.19. SoientGun groupe donn´e par une pr´esentation finiehS,Ri.
– PourwunS-mot repr´esentant l’´el´ement neutre deG, on appelle aire dewet on note aire(w) le plus petitnpour lequel l’´ecriture (1.8) existe.
– On appelle fonction isop´erim´etrique dehS,Ri, la fonction d´efinie par
ψ(i) = max{aire(w)|ℓ(w)6i;w≡R 1},
o`u1est l’´el´ement neutre du groupeG.
Bien sˆur, la fonction isop´erim´etrique d´epend de la pr´esentation de groupe donn´e, mais siψ
etψ′ sont deux fonctions isop´erim´etriques associ´ees `a deux pr´esentations diff´erentes du mˆeme groupeG, alors il existe deux constantesk etk′ tel qu’on aitψ(i) 6 kψ′(k′i). Ainsi siψ est major´e par un polynˆome ou une exponentielle, c’est le cas pourψ′. Dans ce cas, on dit que le groupeGadmet une in´egalit´e isop´erim´etrique respectivement polynomiale ou exponentielle.
Une cons´equence indirecte du fait queBnsoit sans torsion est un r´esultat sur la compl´exit´e minimale de l’in´egalit´e isop´erim´etrique dansBn. D’abord donnons une d´efinition des groupes hyperboliques au sens de Gromov.
D´efinition 3.20. Un groupeG finiment pr´esent´e est dit hyperbolique s’il admet une in´egalit´e isop´erim´etrique lin´eaire.
En 1987, M. Gromov a donn´e dans [Gro87] la caract´erisation suivante des groupes hyper-boliques :
Th´eor`eme 3.21. (M. Gromov, [Gro87]) Pour un groupeGfiniment pr´esent´e, il y a ´equivalence entre :
–(i)Gest hyperbolique.
–(ii)Ga une in´egalit´e isop´erim´etrique sous-quadratique.
Le groupe des tresses admettant une pr´esentation finie, on peut se demander s’il est hyper-bolique. Le groupe(B2,·)est isomorphe `a(Z,+), qui est hyperbolique. Pourn >3, la situation est diff´erente. Gromov a montr´e dans [Gro87] qu’un groupe ayantZ×Zcomme sous-groupe ne peut pas ˆetre hyperbolique. Nous utilisons le fait queBnsoit sans torsion pour d´emontrer le r´esultat suivant :
D´emonstration. Pourn >3, le groupeGengendr´e parσ1et∆2
3 est un sous-groupe deBn. Par la proposition 2.24, les tressesσ1 et∆2
3 commutent. Ainsi l’applicationηd´efinie par
η :Z×Z→G
(p, q)7→σ1p∆q3,
est un morphisme de groupe surjectif. Supposons que la tresse β ´egale `a σ1p∆q3 soit triviale. Comme∆3contient au moins une lettreσ2, la tresseβestσ2-positive pourq>1. On doit donc avoirq= 0, puisp= 0. Ainsiηest injective etGest isomorphe `aZ×Z.
Ainsi le groupeBnn’est pas hyperbolique pourn > 3, et donc l’in´egalit´e isop´erim´etrique y est au moins quadratique.
II. Mono¨ıde de tresses dual
Dans ce chapitre, nous pr´esentons un nouveau mono¨ıde de tresses, not´eB+∗n , initialement introduit par J.S. Birman, K.H. Ko et S.J. Lee [BKL98], nomm´e mono¨ıde de Birman–Ko– Lee, ou mono¨ıde de tresses dual : le terme dual a ´et´e introduit par D. Bessis dans [Bes03] et est dˆu `a une sym´etrie d’invariants num´eriques entre le mono¨ıde de tresses positives B+
n et le mono¨ıdeB+∗
n .
1 Une autre pr´esentation de B
n`
A la section I.I.2.2, nous avons donn´e une pr´esentation du groupe de tresses. Par ailleurs la mˆeme pr´esentation vue comme pr´esentation de mono¨ıde nous a permis de d´efinir un sous-mono¨ıde deBn, `a savoir le mono¨ıde de tresses positives. Le but de cette section est de donner une pr´esentation diff´erente du groupe de tressesBn.