Après la transmission quantique, Alice et Bob doivent évaluer les différents para- mètres de la transmission intervenant dans le calcul de sécurité, de façon à déterminer la quantité de secret présent dans leurs données corrélées. Il s’agit de la transmission totale GηT (incluant le gain T du canal et les pertes η du détecteur), du bruit en
excès total ξ ε vel
η (incluant le bruit en excès du canal ε et le bruit électronique
vel), et enfin de la variance de modulation d’Alice à l’entrée du canal, VA.
Pour évaluer ces trois paramètres, Alice et Bob extraient tout d’abord, à partir de l’ensemble de leurs données corrélées, un échantillon choisi de façon aléatoire (dans notre cas, 50 % des données sont utilisées pour l’évaluation des paramètres). Ils com- parent ensuite leurs données en révélant publiquement cet échantillon par un canal authentifié mais espionnable.
6.3.1
Lien avec les moments d’ordre 2
Les distributions gaussiennes corrélées d’Alice et de Bob peuvent être caractérisées par la variance VA des données d’Alice, la variance VB des données de Bob, et la
corrélation ρ2 entre les données d’Alice et de Bob. Rappelons que V
A est une valeur
classique, non affectée par le bruit de photon et parfaitement connue par Alice, alors que VB est la variance de la mesure de ˆXB, qui inclut le bruit de photon.
6.3. Calibration du système 105 En reprenant le modèle du canal gaussien, tel que XB gpXA XNq, nous pouvons
établir quelques relations utiles entre différents paramètres. Exprimons la corrélation ρ2 : ρ2 xXAXBy 2 VAVB xgXApXA XNqy 2 VAVB GVA VB (6.3) VA VA VN VA VN 1 VA VN (6.4) ce qui nous donne les trois équations
G ρ2V B VA ρ2 SNR 1 SNR SNR 1 1ρ 2 (6.5)
Notons qu’assez logiquement, une relation directe existe entre le rapport signal à bruit et la corrélation entre les données d’Alice et de Bob.
Nous pouvons aussi exprimer le bruit en excès ξ, en partant de (4.10) : ξ χtot 1 1 G VN 1 G (6.6) VB G VA 1 G VBVA ρ2V B VA VA ρ2V B (6.7) ξ VA ρ2 VB1 VB ρ 2 (6.8) À un facteur près, l’excès de bruit peut donc s’exprimer comme une différence entre deux termes quasiment identiques : ρ2, la corrélation des données, et VB1
VB , c’est-à-dire
la fraction de la variance de Bob qui n’est pas due au bruit de photon. Dans le cas où ξ0, ces deux valeurs sont identiques.
Finalement, on voit qu’il est possible d’exprimer les paramètres G et ξ en fonction des seuls moments des distributions d’Alice et Bob : VA, VB, ρ2.
6.3.2
Calibration du bruit de photon
Dans les calculs ci-dessus, toutes les valeurs sont normalisées au bruit de photon. Or, en pratique, Alice ne connaît la variance de sa distribution qu’à travers l’amplitude qu’elle mesure sur sa photodiode, et Bob ne connaît de même que la variance de ses données en mV2. Il est donc nécessaire pour Alice et Bob, avant toute communication,
de calibrer le bruit de photon de façon à normaliser leurs distributions. Bob
Le bruit de photon a la particularité d’être une fonction linéaire de la puissance de l’oscillateur local au niveau de la détection homodyne. Bob peut donc tracer la variance du signal principal de détection homodyne VDH (en mV2, voir figure 5.20)
en fonction de la tension UOL de la voie auxiliaire, proportionnelle à la puissance de
l’OL. Grâce à la caractéristique, qui prend la forme VDH αUOL Vel, Bob détermine,
d’une part, le niveau de bruit de photon, N0 αUOL, et d’autre part le niveau de bruit
électronique, vel Vel N0.
106 Chapitre 6 : Intégration et pilotage du système optique V DH UOL V el Pente = α N0
Bob peut alors normaliser sa distribution, en la centrant sur zéro et en divisant toutes les valeurs par ?
N0. Rappelons que N0 est déterminé pour une valeur donnée
de UOL, et que Bob doit donc ajuster sa calibration en fonction du niveau d’oscillateur
local. Alice
Pour Alice, normaliser sa distribution revient à déterminer le nombre moyen de photons par impulsion en sortie de son dispositif. Néanmoins, celui-ci est de l’ordre de 10 photons, et la puissance associée est donc trop faible pour être déterminée avec une photodiode classique. Au contraire, une détection homodyne est parfaitement adaptée pour ce type de calibration ; Alice est donc calibrée avant d’être séparée de Bob.
Tout d’abord, les pertes totales η du détecteur de Bob sont évaluées lors de la conception de Bob. Ensuite, Alice et Bob se placent à distance nulle pour effectuer une transmission quantique garantie sans espion. Bob détermine alors la variance de modulation au niveau de son détecteur VB, normalisée au bruit de photon. VA s’ex-
prime, en fonction de VB : VA 1
ηpVB 1ηξq. Si Alice est en mesure d’évaluer ξ
(sachant qu’il n’y a pas d’espionnage), elle peut donc calculer la variance de modu- lation VA, et la mettre en relation avec la mesure de sa photodiode Uϕ. Elle obtient
ainsi une courbe de la forme VA fpUϕq, qui reste valable une fois qu’Alice et Bob
seront séparés pour une transmission réelle. La variance VAest alors calibrée en unité
de bruit de photon.
6.3.3
Paramètres du mode réaliste
Les calculs ci-dessus ne permettent pas de distinguer η de T , ni vel de ε : puis-
qu’Alice et Bob ne disposent que de trois moments, ils ne pourront de toute façon en extraire plus de trois paramètres. Comme nous l’avons vu dans les calibrations d’Alice et Bob, les paramètres vel et η sont évalués de manière indépendante. Néanmoins, pour
ne pas surestimer la sécurité de la transmission, il faut s’assurer de ne pas attribuer au détecteur de Bob plus de pertes, ou plus de bruit électronique, qu’il n’en a réellement : • Puisque nous soustrayons velde ξ pour obtenir ε, et que nous préférons surestimer
6.4. Résultats expérimentaux 107