Calibration du champ magnétique à la position des atomes

Pour connaître la valeur du champ magnétique au niveau des atomes, nous avons recours à une méthode de résonance magnétique, utilisant le couplage entre les atomes de sodium et un champ oscillant. Nous rappelons brièvement les mécanismes de ce couplage avant de le mettre en pratique pour la mesure du champ.

Rappel sur l’interaction entre un atome et un champ magnétique oscillant Considérons le système constitué par un atome dans un champ magnétique constant B0 comme introduit dans la section 1.3.1. Les trois sous-états Zeeman de la multiplicité F = 1, mF = +1, 0, −1, sont décalés deux à deux d’une éner-gie ~ω0 = hν0 = µBB0/2. On appelle ν0 la fréquence de Larmor, qui caractérise la précession du spin autour du champ B0. Pour des champs inférieurs à 1 G, nous pouvons négliger l’effet Zeeman quadratique. Sous l’effet d’un champ oscillant

B1 = B1cos(ωrft)ex, avec une fréquence ωrf/2π voisine de la fréquence de Larmor

ν0, il est possible d’induire une transition entre ces trois états. Nous représentons dans la figure 4.2 le schéma des niveaux d’énergie de ce système en présence du champ B0.

En écrivant le champ oscillant sous la forme complexe B1(eiω_rft+ e−iωrft)/2, l’ha-miltonien qui couple le moment magnétique m avec le champ radio-fréquence B1e_x

s’écrit, dans la base hyperfine {F, mF}mF=+1,0,−1, d’après 1.32 :

Hrf = −m · B1 = ^gFµBB1 2^√2 ^(e iωrft+ e−iωrft)    0 1 0 1 0 1 0 1 0   . (4.1)

4.1. Contrôle des champs magnétiques 119 z y x i_z

i

di mple

i

i

Figure 4.1 – Représentation schématique de la géométrie des bobines autour des pièges dipolaires. En rectangles noirs, les trois paires de bobines selon x, y et z, traversées respectivement par les courants ix, iy et iz. En orange, la paire de bobines pour le gradient de champ magnétique, parcourue par le courant i_∇. En vert, la bobine pour le champ magnétique radio-fréquence, parcourue par le champ oscillant au courant efficace ieff.

3²S_1/2 F = 1 mF ⁼−1 mF ^{= +1} mF ^{= 0} B0 !ω₀ !ω_RF !ω_RF B1

Figure 4.2 – Schéma des niveaux d’énergie des trois composantes de spin en pré-sence d’un champ magnétique B0, séparés par l’énergie ~ω0. Un champ magnétique

B1 oscillant à la pulsation ωRF permet d’induire des transitions entre ces états. Le couplage décrit par cet hamiltonien conduit à des oscillations de Rabi à trois

120 contrôlée et diagnostic Stern et Gerlach niveaux [129], caractérisées par Ω, la pulsation de Rabi à résonance, proportionnelle à la force du couplage entre le moment magnétique et le champ oscillant :

Ω = ^µBB1

2~ ^{. (4.2)}

Une résolution exacte des oscillations de Rabi à trois niveaux est effectuée dans [129], et conduit à des oscillations de pulsation Ω′/2 pour les populations relatives dans mF = ±1 et Ω′ pour la population dans mF = 0, avec Ω′ la pulsation de Rabi :

Ω′ =^√Ω2+ ∆2, (4.3)

et ∆ = ω0 − ωrf le désaccord entre la radio-fréquence et la transition Zeeman. Les amplitudes des probabilités de transition d’un atome d’un état vers un autre sont proportionnelles à (Ω/Ω′)2. La condition de résonance ω = ω0 maximise la proba-bilité de transition des atomes, et donc le contraste des oscillations de Rabi. Les oscillations de Rabi portent à la fois la signature de l’amplitude du champ radio-fréquences, à travers la fréquences des oscillations, et du champ magnétique constant

B0, à travers leur contraste.

L’amplitude du champ oscillant que nous sommes capable d’atteindre au niveau des atomes est de 1 mG (voir annexe C), ce qui correspond à une fréquence de Rabi à résonance Ω/2π ≃ 1 kHz. Expérimentalement, nous n’avons pas pu observer ces oscillations de Rabi. Les populations relatives ont des fluctuations importantes à des temps d’interaction avec le champ RF inférieurs à 1 ms, caractéristiques d’un brouillage dû à la superposition d’oscillations à des fréquences de Rabi différentes. Ce brouillage est lié aux fluctuations du champ magnétique résiduel, de l’ordre de 10 mG1, et implique que l’échelle de temps caractéristique pour manipuler l’état interne par oscillation de Rabi doit être inférieur à 1 ms, ce qui serait possible avec un champ B1 plus élevé. À titre de comparaison, les auteurs de [130] manipulent l’état interne d’un condensat spinoriel en un temps caractéristique de 50 µs.

Calibration du champ magnétique à la position des atomes

Même si nous ne pouvons pas observer les oscillations de Rabi, nous pouvons utiliser la dépendance de Ω′ avec le désaccord à un champ donné ω − ω0 (voir équation (4.3)) afin de déterminer la valeur du champ magnétique, proportionnelle à ω0. Nous pouvons tirer parti du fait que la probabilité de transition entre les trois états de spin dépend de (Ω/Ω′)2. Pour des temps d’interaction grands devant le temps de brouillage, le mélange des différentes espèces de spin est maximal autour d’une résonance à ωRF= ω0. En pratique, nous nous faisons l’expérience suivante : l’échantillon atomique est plongé dans un champ B0 pendant toute la durée de l’évaporation. À t′ = 300 ms pendant l’évaporation dans le piège composite, nous stoppons la rampe et gardons le piège allumé pendant 300 ms supplémentaires. À ce stade, le nuage n’est pas encore condensé (voir section 3.5.3), de sorte à garantir que les collisions d’échange de spin sont négligeables. Pendant toute cette durée, longue devant la période de Rabi, nous allumons un champ RF que nous balayons entre deux fréquences ν − ∆/2 et ν + ∆/2, avec ∆ν = 2 kHz. Sur la figure 4.3,

4.1. Contrôle des champs magnétiques 121

nous représentons les populations relatives des trois espèces de spin ni ainsi que la magnétisation mz en fonction de la fréquence centrale du champ ν.

60 80 100 120 140 0 0.2 0.4 0.6 0.8 n ⁺¹ n ⁰ n ⁻¹ ν [kHz] (a) 60 80 100 120 140 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ν₀ = 94 kHz m ^z ν [kHz] (b)

Figure 4.3 – (a) Populations relatives des espèces mF = +1 (carrés rouges), mF = 0 (triangles verts) et mF = −1 (ronds bleus) en fonction de la fréquence ν du champ

B1. (b) magnétisation mz en fonction de ν. La courbe rouge représente l’ajustement avec une fonction lorentzienne centrée en ν0.

Nous ajustons la courbe de magnétisation avec une fonction lorentzienne (d’après la forme de la relation 4.3), qui donne ici ν0 = 94 kHz et une demi-largeur à mi-hauteur ∆ν0 = 7 kHz. Nous en déduisons la valeur du champ magnétique

B0 = 2ν0/µB = 135 mG. À la fréquence ν0, l’échantillon est totalement dépola-risé, c’est-à-dire avec une magnétisation nulle. Par ailleurs, puisque le nuage est thermique, nous obtenons un mélange équiréparti : n+1 ≃ n0 ≃ n−1 ≃ 1/3.

En appelant αx, αy et αz les caractéristiques champ/courant associées à chaque paire de bobines et B0,x, B_0,y et B0,z les champs résiduels dans chaque direction de l’espace, nous écrivons la relation suivante entre les courants dans chaque paire de bobines et la fréquence de Larmor attendue :

ν₀ = ^µB 2h

q

(B0,x+ αxi_x)2+ (B0,y+ αyi_y)2+ (B0,z+ αzi_z)2. (4.4) À partir des résonances mesurées à différentes valeurs de B0, c’est-à-dire pour diffé-rents triplets ix, iy et iz, nous calibrons les champs crées par les trois paires de bobines ainsi que le champ résiduel en absence de courant. Les valeurs des fréquences de ré-sonances mesurées sont reportées dans la figure 4.4. L’ajustement avec la relation y est superposé (4.4), et les valeurs extraites sont montrées dans le tableau 4.1.

B0,x αx B0,y αy B0,z αz −0.10 G 1.50 G/A −0.07 G 0.50 G/A −0.35 G 1.80 G/A Table 4.1 – Calibration des champs crées par les trois paires de bobines.

122 contrôlée et diagnostic Stern et Gerlach 0 0.5 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 i [A] ν [kHz] x y z

Figure 4.4 – En symboles, valeurs des fréquences de résonance obtenues pour des triplets (ix, iy, iz). Chaque groupe de points est obtenu en fixant deux des trois courants et en faisant varier le troisième : ix (losanges rouges), iy (ronds bleus), iz (triangles verts). L’ajustement est représenté avec des lignes pleines, avec les mêmes couleurs pour les trois axes.

Dans la relation (4.4), nous supposons que chaque paire de bobine crée un champ dirigé selon son axe, ce qui néglige les défauts géométriques de centrage et d’angles ré-siduels des bobines. On peut estimer l’effet d’un déplacement δr de l’une des bobines de la première paire par rapport à l’axe x, en prenant le rayon typique R = 5 cm, la distance au centre de la chambre x = 15 cm. Le champ perpendiculaire à x crée par la bobine déplacée est donné par [131] :

  B_⊥ Bx   = δr(x2−2R2) 2x(R2+x2) ∼ βδr avec β ≃ 2.3 mm−1. Pour des champs de quelques centaines de mG et un déplacement de quelques mm, nous trouvons que le champ a une composante perpendiculaire de quelques mG. Cela nous fournit un ordre de grandeur de l’incertitude sur la direction du champ lorsque nous allumons un courant dans les bobines sur un axe donné.

D’après les demi-largeurs à mi-hauteur des courbes de résonance mesurées plus haut, nous pouvons également estimer une borne supérieure des fluctuations du champ magnétique. Sur l’ensemble des courbes, les demi-largeurs à mi-hauteur des lorentziennes ajustées valent environ ∆ν ≃ 7 kHz, ce qui correspond à δB ≃ 10 mG.