simulation d’images METHR
A.1 Calculs pr´ eliminaires n´ ecessaires dans le cas de nanoparti- nanoparti-cules
Figure A.1: Aspect du fichier d’entr´ee d’un agr´egat de 2,48 nm de diam`etre dans une boˆıte de cˆot´e 10 nm.
Au vu du num´ero atomique des atomes (surtout le platine) et de l’´epaisseur des objets (≈3 nm pour une nanoparticule) le choix de la m´ethode multislice est ´evident (nous verrons plus tard que la limite dans laquelle un calcul cin´ematique est possible pour du CoPt est tr`es faible en
Figure A.2: Comparaison `a taille d’agr´egat ´equivalente de deux tailles de boˆıte (5 nm et 11 nm) permettant observer les effets de recouvrement de spectres.
termes d’´epaisseur). Pour proc´eder `a une telle simulation, il faut prendre certaines pr´ecautions qui assurent que le r´esultat obtenu a un sens physique.
Les images simul´ees sont issues d’un fichier de positions qui sont fonction de la taille de l’agr´egat, de la taille de la boˆıte dans laquelle il est plac´e, de la structure consid´er´ee (cfc ou t´etragonale) de multiples facteurs comme la prise en compte de l’agitation thermique, de l’ab-sorption des atomes, etc.
Le calcul multislice n´ecessite une transform´ee de Fourier (pr´ecis´ement une FFT) cela entraˆıne un ´echantillonnage de la structure de l’agr´egat. Les param`etres (N× M) de cette FFT impliquent que le calcul des faisceaux ´electroniques s’´etend jusqu’`a une fr´equence spatiale DSmax born´ee par DSmax = max(2aN,M2b), avec a et b taille de la boˆıte qui contient l’agr´egat (voir figure A.1). Afin d’´eviter des probl`emes num´eriques li´es aux recouvrements de spectres (�aliasing�), il est n´ecessaire que le potentiel projet´e soit calcul´e jusqu’`a DSmax = 2νmax � rms2 avec νmax
fr´equence spatiale maximale, d´ependant de la r´esolution de premier ordre du microscope (rms). Ici nous utilisons un JEOL 2010 FEG avec une telle r´esolution de� 0, 5 ˚A, il faut donc calculer le potentiel au minimum jusqu’`a 4 ˚A. Les dimensions de FFT que nous allons choisir seront d´ependantes de la taille de la boˆıte contenant l’agr´egat. Ses dimensions d´efinissent la r´esolution d’´echantillonnage R = max(Na,Mb). Du fait que Z > 40 on prend comme contrainte R � 0, 2 ˚A.
Si on prend garde `a la figure A.2, on se rend compte de l’effet d´evastateur d’une boˆıte trop petite. Il faut donc choisir une taille de boˆıte suffisamment grande ainsi qu’une taille de FFT importante pour sonder correctement les fr´equences spatiales. Pour un agr´egat de ≈ 3 nm de diam`etre, nous prenons typiquement une boˆıte de 10 nm de cˆot´e avec une FFT de 1024× 1024, ceci nous permet de sonder jusqu’`a DSmax= 5 ˚A−1 avec une r´esolution de R � 0, 09 ˚A.
Nous allons maintenant nous pencher sur l’´epaisseur des objets `a simuler. Comme vu dans la th´eorie de la simulation, il est tr`es facile de sortir de l’approximation de phase d`es que l’´epaisseur de la couche devient trop ´epaisse. Le calcul du potentiel projet´e, face `a une couche trop ´epaisse (d’une ´epaisseur ∆t) peut ˆetre men´e de diff´erentes fa¸cons (voir figure A.4) :
– l’´epaisseur de la couche est num´eriquement �compress´ee�, c’est-`a-dire que le programme r´eduit l’´epaisseur de la couche en la divisant d’un facteur n : ∆t/n, en mˆeme temps, les atomes contenus dans cette couche (∆t) voient leur occupation divis´ee par le mˆeme
A.1. Calculs pr´eliminaires n´ecessaires dans le cas de nanoparticules
Figure A.3: Courbes de pendell¨osung d’une s´erie de quatre agr´egats empil´es suivant l’axe d’illumination du microscope (voir encart `a gauche). Ces courbes repr´esentent l’intensit´e du faisceaux (201) le long de l’´epaisseur du cristal.
facteur : ceci implique qu’on divise le potentiel projet´e de la couche par le facteur n. Cette m´ethode robuste en pratique facilite le calcul et donne des r´esultats satisfaisants, mais le cˆot´e physique de l’approche reste discutable. Le logiciel JEMS prendra cette option par d´efaut si on ne prend pas garde `a l’´epaisseur du cristal en entr´ee ;
– la couche peut ˆetre d´ecoup´ee de sorte qu’elle soit divis´e en autant d’´el´ements que de plans atomiques la constituant. Le cristal est donc d´efini comme une succession de sous-couches. Il faut se m´efier de la mani`ere de d´ecouper le cristal initial : toutes les sous mailles doivent produire toutes les ondes g´eom´etriquement permises ; de plus, les sous-potentiels correspondants au sous-couches sont math´ematiquement suppos´es p´eriodiques mais seul le potentiel total l’est. Cette m´ethode plus physique sera celle choisit pour cette ´etude, nous d´ecouperons les fichiers d’entr´ee repr´esentant le cristal en autant de sous-fichiers qu’il y a de plans atomiques suivant l’axe d’illumination.
Sur les courbes de pendell¨osung (figure A.3), qui repr´esentent l’intensit´e d’un faisceau (ici le faisceau (201)) en fonction de l’´epaisseur travers´ee par les ´electrons, nous voyons l’effet d’un calcul de potentiel compress´e (courbe continue noire) ainsi que l’effet d’un fichier d´ecoup´e pro-prement (pointill´es bleus et noirs avec comme diff´erence la taille de la FFT). Sur cette courbe, nous voyons que le potentiel compress´e �lisse� les variations d’intensit´e le long du cristal, on peut remarquer que pour un cristal constitu´e de quatre agr´egats superpos´es il n’y a pas de diff´erence d’intensit´e remarquable entre une FFT de 512× 512 compar´e `a une FFT de 1024 × 1024. Nous prendrons pour les raisons ´evoqu´ees plus haut d’´echantillonnage une FFT de taille 1024× 1024 pour plus de s´ecurit´e.
Une fois la taille de boˆıte et la taille de FFT d´etermin´ee, il nous reste `a tester la validit´e d’un calcul multislice pour un agr´egat. La somme des intensit´es de faisceaux (pour tous les faisceaux g) doit ˆetre sup´erieure `a 0,9 quelle que soit l’´epaisseur empil´ee pour que le nombre de faisceaux utilis´es dans le calcul soit suffisant pour prendre en compte toute l’intensit´e ´electronique
Figure A.4: `A gauche maille (pour la simplicit´e suppos´ee orthorhombique) de dimension ∆t ; au milieu maille compress´ee, on voit que la dimension est maintenant ∆t/n et les occupations des atomes divis´es par n aussi ; `a droite maille d´ecoup´ee avec un plan atomique par tranche.
(transmise et diffract´ee). Pour une nanoparticule de diam`etre 3,4 nm, nous obtenons (calcul effectu´e sans absorption) pour la somme des intensit´es : 0,997 ce qui est largement satisfaisant.