Pour définir le délai d’inflammation, Semenov admet que, lors de l’inflammation, les pertes par convection deviennent négligeables devant l’énergie libérée par l’oxydation : [ ] . Ainsi, l’énergie produite par la réaction d’oxydation sert uniquement à augmenter la température du système. Repartant du bilan thermique : [ ] ⏟ ([ ] ) ⏟ ∫ [ ] ∫ [ ([ ] ) ] [ ] ∫ ([ ] ) (Eq.19) (Eq.20) (Eq.21)
Or de l’instant 0 à l’inflammation, la température varie entre et . Sachant que , est supérieur de 30 K à , l’écart relatif entre et est de 4%. Donc :
(Eq.22)
Donc le système d’équations (Eq.14) et (Eq.15) devient :
{ [ ] ∫ ([ ] ) [ ] ([ ] ) (Eq.23) (Eq.24)
Par ailleurs, Westbrook et al. [11] indiquent que, dans le cas de la combustion d’un hydrocarbure, la valeur de n est de l’ordre de 1 (cas du méthane) ou de 2 (cas des autres hydrocarbures). Par conséquent:
Si n=1 (cas du méthane) : D’après la loi d’Arrhenius :
[ ]
[ ] (Eq.25)
([ ] ) ([ ] ) (Eq.26) [ ] [ ] (Eq.27)
A partir de l’équation (Eq.14) et l’équation (Eq.27), le temps d’inflammation (ou ignition) suivant est alors obtenu :
(
[ ] , (Eq.28)
: Temps d’inflammation (s)
De rapides calculs permettent de montrer que |
[ ] | . Le développement
limité au voisinage de 0 de la fonction logarithme vaut ∑ . La relation suivante est alors obtenue :
Si n=2 (cas le plus fréquent) : D’après la loi d’Arrhenius :
[ ] ([ ] ) (Eq.30) [ ] [ ] (Eq.31) [ ] [ ] [ ] (Eq.32)
En réinjectant ce résultat (équation (Eq.32)) dans l’équation (Eq.14), le temps d’inflammation suivant est obtenu :
[ ]
[ ] [ ]
(Eq.33)
Géométrie, pression et température d’auto-inflammation.
II.1.3.
Le bilan thermique précédent montre que la géométrie du système influe sur la température critique d’inflammation du système.
[ ] (Eq.34)
[ ] (Eq.35)
étant une fonction croissante de la température, une augmentation de ce rapport se traduit par une augmentation de la température d’auto-inflammation.
De plus, à géométrie du système fixée, , , , et sont constants et indépendants de la température, dans ce cas « idéal ». Donc est une constante (noté « cste » dans la suite) et
[ ] également :
[ ] [ ] (Eq.36) D’après la loi d’état des gaz parfaits, [ ]
où est la pression partielle du combustible. Ainsi : ( * (Eq.37) ( ) (Eq.38) [ ] (Eq.39) (Eq.40)
Donc, sachant que n vaut 1 ou 2 dans la plupart des cas [11] est de l’ordre de la dizaine. Cela conduit à et donc une augmentation de la pression se traduit par une diminution de la température critique d’auto-inflammation. Cette équation (Eq.40) implique que :
(Eq.41)
Les essais réalisés par Demidov [13], Kucht [14-15], Fürno [16] et Gödde [17] tendent à montrer que si ce lien pression/température d’auto-inflammation existe, il dépend de la nature du combustible, du mélange, du volume considéré etc. Ainsi la figure 6 ci-dessous récapitule les mesures réalisées par les auteurs susmentionnés ; elle démontre que, comme prévu par la
théorie de Sémenov, la température d’auto-inflammation des gaz (ou vapeurs) décroît bien avec la pression. Néanmoins, la relation mathématique entre ces deux grandeurs ne peut être généralisée par une seule écriture ; cela va dépendre de la nature du gaz.
Figure 6: Effet de la pression sur la température d’auto-inflammation de plusieurs gaz, tiré de [10].
Cependant, cette étude doit être nuancée car plusieurs approximations sont effectuées. La première est de considérer la température uniforme : , où est une moyenne spatiale de la température sur le volume occupé par le mélange considéré. Cela correspond physiquement à un nombre de Biot très petit devant 12. Or, puisqu’il y a des pertes par convection aux frontières et qu’elles sont non négligeables avant la combustion, il y a nécessairement un gradient de température qui s’établit dans le récipient : la température est maximale en son centre et minimale aux parois. C’est la nuance principale avec l’approche de Frank-Kamenetskii. Néanmoins, certains paramètres, tels que l’évaluation du temps d’inflammation par Semenov, peuvent être conservés pour la suite de l’étude.
2 Le nombre de Biot compare les transferts thermiques au sein du gaz par conduction et les transferts d’énergie par convection du gaz vers le milieu extérieur. Donc ⁄ ⁄ . Si , la température du corps est uniforme. Sinon, les transferts convectifs l’emportent sur la conduction et donc il y a un gradient de température dans le gaz étudié.
II.2. Approche de Frank-Kamenetskii
Frank-Kamenetskii [8] considère le problème suivant : un récipient contient un mélange oxygène/combustible et les faces interne et externe de la paroi du récipient sont à la température de l’air extérieur. Les pertes d’énergie aux parois devenant nulles, le système peut être considéré comme adiabatique (en laboratoire ceci correspondrait à un récipient contenant le gaz placé dans un four où la température est homogène et imposée). Il considère que la température est minimale contre ces parois et maximale au centre du récipient. C’est donc au centre de symétrie que se déroule l’oxydation à l’origine de l’auto-inflammation. En considérant que c’est une boule de gaz qui subit une auto-inflammation et qui déclenche un accident thermique, ce modèle devient particulièrement intéressant à étudier.
Ce modèle physique, quoiqu’idéal, est totalement complémentaire du modèle de Semenov pour décrire l’auto-inflammation d’un volume gazeux. En effet dans le cadre de l’approche de Semenov, une sphère de petite taille, immobile, à la paroi infiniment conductrice, contient un mélange gazeux dont la température est uniforme. La température est donc indépendante de l’espace.
Au contraire, dans l’hypothèse de Frank-Kamenetskii, le volume étant parfaitement isolé, les échanges par convection avec l’air extérieur sont nuls. Ceci peut correspondre au fait que la température de flamme est calculée dans le cadre d’un système adiabatique, le temps de la réaction étant supposé petit devant le temps caractéristique des échanges avec l’extérieur. En revanche, la température n’est pas uniforme dans le volume. Donc si l’énergie fournie par l’oxydation n’est pas dissipée par convection avec l’extérieur, elle l’est par conduction au sein-même du mélange. Donc, ces deux modèles permettent, en les « réunissant », de décrire complètement l’auto-inflammation d’un volume gazeux.