II-C2.a. Représentations bidimensionnelles des écoulements:
Les différents modèles existants sont en général basés sur l'utilisation des équations de Barré de Saint Venant exprimées dans l'espace plan à deux dimensions x, y. Ces équations qui peuvent être retrouvées par intégration des équations de Navier Stockes (pochat 1994, Lane 1998) ont sous forme vectorielle, au pointMde coordonnées(x,y), l'expression suivante:
équation de la continuité
équation de la dynamique:
~
+div{h.V) =q
oV of + (VV)· V =
-g.(grad(Z)+ J)
Eg.3
Eg.4
où h est la hauteur d'eau, Z la cote de la surface libre de l'écoulement, q les éventuels apports ou pertes au m2, g la pesanteur, V le vecteur vitesse de composantes Vxet Vy,et où Jest le gradient de charge hydraulique de composantes Jx et Jy. Le vecteur vitesse est supposé ne pas avoir de composante verticale et ses composantes horizontales Vx et Vycorrespondent par ailleurs à la vitesse moyenne sur la verticale de l'écoulement respectivement dans les directionsxety.
Remarque importante: Notations:
Les variables ou les opérateurs dont les caractères sont graissés et droits correspondent à des variables vectorielles et à des opérateurs définissant un champ vectoriel tels que l'opérateur gradient (grad).2 Nous utiliserons cette convention tout au long de cet ouvrage, dans le texte, et dans les équations.
Les tenseurs ou les variables matricielles seront aussi ensurimpression et seront surmontés d'un double surlignement(ex. :K).
2 L'opérateur gradient est un opérateur de dérivation d'un scalaire q>(x,y,z) qui définit le champ vectoriel
(ocp/ox ,ocp/
ây,ocp/oz)
1 .
Les schémas de résolution du système d'équations sont des schémas numériques qui nécessitent une représentation discrétisée dans l'espace et ceci avec un certain pas de temps de chacune des variables décrivant l'écoulement: h, Vx, Vy, ... On distingue les méthodes des différences finies. des méthodes aux éléments finis. Les premières sont majoritairement utilisées. Des méthodes de résolution aux éléments finis telles que la méthode de Galerkin sont parfois mises en oeuvre (Taro 1993, Hervouet1994). Elles sont plus efficaces que celles aux différences finies en terme de précision des calculs mais leur programmation plus délicate en limite l'accessibilité
Indépendamment dutype de résolution numérique du système d'équations obtenu, ilexiste deux types de modèles d'écoulements bidimensionnels se distinguant par leur façon de discrétiser le milieu, par les hypothèses simplificatrices utilisées pour la description du champ vectoriel des vitesses et par les simplifications qui en découlent: ce sont les modèles réellement bidimensionnels et les modèles quasi-bidimensionnels.
JJ-C2.b. Les« vrais» modèles 2D : La discrétisation du milieu.
Les modèles réellement bidimensionnels ne font aucune hypothèse importante sur le champ des vitesses ce qui permet un maillage arbitraire de la zoneàdécrire. Les composantes Vx et Vy du vecteur vitesse sontdéterminées en tout point du maillage par l'une des méthodes de résolution précédentes, les plus fréquemment utilisées étant les méthodes aux éléments finis.
Ces modèles sont souvent équipés de pré-processeur permettant d'optimiser le maillage du milieu en déterminant une densité de maillage différente suivant le degré de variabilité du milieu (topographie, rugosité) (Fig. 11).
Le problème de la modélisation des singularités.
Outre les problèmes classiques liés à la stabilité et à la convergence des schémas numériques de résolutions d'un système d'équations non linéaires, la méthode aux éléments finis de Galerkin généralement utilisée pour résoudre ces systèmes nécessite une refonnulation préalable des différentes équations régissant les écoulements (intégration des équations sur les différentes mailles du domaine discrétisé). Ceci peut s'avérer très lourd, voire ingérable, lorsque le système àmodéliser comporte de nombreuses singularités hydrauliques telles que des déversoirs, des orifices, des ouvrages spéciaux...
nécessitant chacune une modélisation propre, pouvant de surcroît varier en fonction du régime hydraulique. D'autre part, on ne sait pas forcément modéliser le comportement des différentes singularités présentes dans le milieu quand l'orientation des filets liquides au dessus de la singularité est quelconque et a fortiori lorsqu'elle est variable dans le temps. Enfin, le traitement des zones découvrantes ou sèches observées lors de crues ou d'inondations, est souvent source d'instabilité des schémas de résolution numérique (Hervouet 1994, Tchamen 1998).
Dece fait, les modèles «vrais »2D sont essentiellement utilisés en courantologie (estuaires, plans d'eau), pour des simulations de rupture de digue ou de barrage, ou pour des écoulements en rivière ne nécessitant pas la modélisation de singularités particulières.
il-C2.Ce Les modèles quasi
2n :
Principe de découpage du milieu.
Les modèles quasi-bidimensionnels effectuent une discrétisation du système adaptée au milieu permettant de limiter les points de calcul et le nombre de variables à calculer. Le découpage est déterminé en ajustant la taille et la forme des mailles aux ordres de grandeurs relatifs des gradients hydrauliques (cotes et vitesses) et aux orientations principales des écoulements. La prise en compte des axes et obstacles principaux structurant les flux tels que les digues, les ouvrages de franchissement, les déversoirs, les chenaux est indispensable.
L'intérêt d'un tel découpage est qu'il permet d'intégrer sur chacune des interfaces entre mailles contiguës la formulation bidimensionnelle de l'équation dynamique, àla condition que le découpage ait été réalisé de telle sorte que la variation de la charge hydraulique et de l'angle d'écoulement reste faible le long de l'interface (Cappelaere 1985). L'écoulement à travers cette interface est alors considéré homogène. Ces mailles correspondant àune réalité physique du milieu sont fréquemment dénommées casiers et les modèles correspondant«modèlesà casier» (Fig. 12).
A
," >7l~rrrrrr
Fig. 12 : Discrétisation de l'espace dans le cas d'un modèle pseudo-bidimensionneL Les différents casiers sont numérotés (d'après Cappelaere1985)
Simplifications possibles du système d'équations.
Lesystème d'équations de la formulation bidimensionnelle des équations de BSV faisant initialement apparaître 3 équations (continuité +dynamique projetée sur x et sur y) peut alors être simplifié au niveau de chaque interface en projetant l'équation de la dynamique sur la normale à l'interface.
Par ailleurs, dans le cas des écoulements en rivière, le terme de frottement de l'équation dynamique est généralement largement prépondérant par rapport aux termes d'inertie (Bocquillon 1978) ce qui conduit souventà négliger ces derniers.
La formulation du système d'équations est alors simple est permet de n'avoir comme inconnues que les seules hauteurs d'eau au centre des différents casiers. Le système se résume à l'écriture des N équations de continuité (Bq. 5), correspondant aux N casiers (Cunge 1980, Braschi 199Ia), et complétées par les conditions initiales du système et les conditions aux limites appropriées :
Eq.5
oùz,est la cote de l'eau au centre du casier,An la surface au miroir de la nappe d'eau dans le casier, q;(t) les apports par m2au sein du casier (positif quand l'eau rentre, négatif quand l'eau sort) et où le débit Qi~k entre le casier i et le casierk est relié à chaque pas de temps n.S: aux cotes de l'eau dans les casiers z.etZkou aux charges hydrauliques Zi +ai
V/ /
2get Z k +a kV; /
2g .Remarque: Dans le cas où l'on doit retenir tous les termes d'inertie de l'équation de la dynamique, le débit en un point donné dépend alors de la charge hydraulique et du débit lui même. Le débit ne peut donc
pas être éliminé des équations et l'on a un double jeu de variables (h et V ou h et Q). Le système à résoudre est alors beaucoup plus complexe.
Modèles de débits entre casiers utilisés.
Les équations généralement utilisées pour décrire les flux Qi,k entre deux casiers voisins varient suivant le type de liens entre les casiers (Cunge 1980, Riccardi 1997) (Fig. 13).
Fig. 13 : Différents types de liens défmis dans un modèleà casiers(inMarty 1997).
Lien de type rivière: c'est le cas lorsque deux casiers voisins font partie du lit mineur ou majeur du système et qu'ils ne sont pas séparés par une discontinuité topographique ou hydraulique particulière.
Cette situation induit une perte de charge linéaire entre les centres des casiers. L'expression de Q~kest déduite de la discrétisation de l'équation de la dynamique en négligeant les termes d'inertie et en utilisant un modèle de perte de charge de type Manning :
Eq.6
oùz,et Zksont les cotes du niveau de l'eau dans les casiersi et k ,oùD est la débitance de l'interface entre casiers définie parD
=
K.S.R//3avec K le coefficient de rugosité, S la section mouillée, RHle rayon hydraulique de l'interface et L\x la distance entre les centres des casiers.Lien de type seuil hydraulique: c'est le cas des casiers séparés par un ouvrage hydraulique de type déversoir, par une voie en remblais, une digue .... Un modèle souvent utilisé est celui déterminé pour les seuilsàlarge crête.fi distingue les régimes de fonctionnement noyé et dénoyé de l'ouvrage.
seuil noyé:
seuil dénoyé :
Q;,k
=
m.L.(hav - h.).~2g.(ham- hav) Eq.7 Eq.8où mest un coefficient de débit, L la longueur de l'ouvrage, h, la hauteur du seuil, et h"meth"v sont respectivement les hauteursz, et Zk si Z;>Zk ou Zk et Z; dans le cas contraire.
Lien de type perte d'énergie locale: c'est le cas lorsque les casiers sont séparés par des singularités induisant des changements rapides de section en travers. Ledébit dans la contraction est déterminé en considérant que la proportion d'énergie cinétique perdue dans la contraction est k; Ledébit est alors reliéàz.etZkde la façon suivante (Riccardi 1997) :
Eq.9
1 . Lien de type cinématique: ce type de lien est utilisé exclusivement lorsque l'information hydrodynamique se propage vers l'aval. Ce type de relation peut êtredéterminé pour les cellules amont du modèle et permettre de représenter les apports hydrologiques des bassins amont .Ledébit est alors seulement fonction de la cote d'eau dans la cellule amont (Riccardi 1997) :
Eq.l0
Liens entre un casier i et un casier fictif aval (Cunge 1980): ils permettent de déterminer les conditions aux limites du système en définissant un modèle de débit qui peut être par exemple du type:
Eq.ll
Un autre modèle fréquemment utilisé est celui obtenu en considérant que la hauteur d'eau correspondant au débit sortant du système est la hauteur d'eau normale de l'écoulement.
.
.Différents autres types de liens peuventêtredéfinis comme par exemple des liens correspondant à des écoulements à travers un orifice ou en conduite, des liens prenant en compte en partie les termes d'inertie de l'équation de la dynamique (Riccardi 1997)... Les modèles d'échange utilisés peuvent donc être choisis de façons très diverses et rien n'empêche l'utilisateur du logiciel de définir d'autres modèles d'échange correspondant à des phénomènes ou mécanismes particuliers. Cette grande souplesse d'utilisation constitue un des intérêts principaux de ce type de modèle.
II-C.3. Informations requises pour les modèles d'écoulements en milieu naturel:
Les informations nécessaires pour ces modèles concernent la topographie et les paramètres hydrauliques des zones d'écoulement (rugosité) et des ouvrages spéciaux ou singularités hydrauliques.
Les valeurs des différents paramètres hydrauliques après avoir été estimées par un expert en fonction des carnctéristiques du milieu sont fréquemment affinées par calage des résultats de simulations de crues sur des événements observés. Pour ce qui concerne la topographie, les modèles bidimensionnels nécessitent beaucoup de données topographiques (sections en travers pour chaque interface + topographie interne à chaque casier pour la détermination de la loi hauteur volume dans le cas des modèles quasi 2D, topographie de toute la zone modélisée pour les «vrais» modèles 2D).