C.2. Analyse de la diffusion hydrique (Loi de Fick)

La deuxième loi de Fick peut être utilisée pour modéliser la diffusion de l'eau dans le

bois en dessous du point de saturation des fibres (Kawai, 1980). L’étude est ici réalisée sur

les résultats obtenus par la méthode des sels pour laquelle la forme de l'échantillon est

connue.

III.C.2.a. Modélisation

L’échantillon de farine de bois utilisé lors de l’analyse hygroscopique est modélisé par

un cylindre poreux, de rayon et de hauteur , contenu dans une capsule plastique,

elle-même représentée par un cylindre creux fermé sur la face inférieure (Figure III-25).

Figure III-25 - Modélisation de l'échantillon réel (gauche) et sans fond (droite)

La deuxième loi de Fick, en coordonnées cylindriques est exprimée suivant l’équation

III-2 :

^III-2

Où est la concentration en eau dans l’échantillon en un point (r, θ, z) et un instant

(t) donné, et est le coefficient de diffusion, supposé constant pour chaque humidité

étudiée.

Effet de la fluoration sur les propriétés physico-chimiques de la farine de bois

La configuration de l’échantillon étudié pousse à poser les hypothèses de travail

suivantes :

 la diffusion est uniaxiale suivant ,

 l’échange d’eau entre l’air et le bois se fait sur la surface supérieure

uniquement, les bords et le fond étant considérés imperméables,

 la surface supérieure de l’échantillon a une concentration égale à celle de

l’atmosphère pour ,

 la concentration dans le reste de l’échantillon est nulle à , l’échantillon

étant considéré totalement sec au début de l’essai.

Suivant ces hypothèses, la simplification de l’équation III-2 conduit à l’équation III-3 :

^III-3

Avec pour conditions aux limites :

 pour , , ,

 pour , , ,

III.C.2.b. Diffusion uniaxiale

On considère tout d’abord un échantillon sans fond, modélisé par une plaque

cylindrique avec bords latéraux uniquement (Figure III-25). L’équation de diffusion hydrique

unidimensionnelle dans un milieu poreux, en régime isotherme, peut s’écrire comme suit

(Pham, 2006) :

^III-4

Où est la masse d’eau parunité de volume à l’instant t et à la coordonnée spatiale

z.

Nous étudions la diffusion hydrique dans une plaque mince de farine de bois,

d’épaisseur ( ) sur l’intervalle de masse correspondant à un intervalle

d’humidité relative . Les mesures ayant été réalisées à partir de l'état anhydre, la

masse est nulle. La condition initiale, pour , devient :

Et la condition aux limites, c'est-à-dire sur les faces supérieure et inférieure de

l’échantillon, pour :

La phase expérimentale (paragraphe III.C.1.a) a fourni la valeur de la masse d’eau

dans les échantillons de farine de bois en fonction du temps, soit :

III-5

Les masses d’eau initiales et finales des éprouvettes s’écrivent :

et

Avec le volume des échantillons.

On suppose que la variation de masse des échantillons n’est due qu’à l’adsorption

d’eau. La masse d’eau dans l’échantillon est donc égale à la variation de masse, définie

comme suit :

et

Avec : la variation de la masse au cours de l’essai de sorption de 0% à HR, et

la variation totale, une fois l’équilibre hygroscopique de l’échantillon atteint, lors de ce même

essai.

III.C.2.c. Résolution

La résolution de l’équation III-4, en tenant compte des conditions initiales et aux

limites, est obtenue par la méthode de la transformation de Laplace (Crank, 1975) :

III-6

Avec .

En intégrant cette équation dans le volume , on obtient :

Effet de la fluoration sur les propriétés physico-chimiques de la farine de bois

La diffusion hydrique dans la farine de bois peut alors être déterminée en résolvant

l’équation III-7. La solution obtenue peut être écrite sous la forme suivante :

III-8

Où pour un temps considéré.

En ne conservant que les deux premiers termes de l’équation III-7, on obtient la

formule approchée suivante :

III-9

Dans le modèle réel, l’échantillon possède un fond en , modélisé par une

surface imperméable. Cette condition aux limites est équivalente à celle vérifiée pour une

feuille plane avec condition de symétrie en son plan milieu. La solution donnée au

paragraphe précédent pour une plaque mince occupant la région reste donc

valable pour une plaque mince occupant la région avec une surface imperméable

en (Crank, 1975).

III.C.2.d. Résultats

Afin de résoudre l’équation III-7, on définit la fonction suivante :

III-10

Le zéro de cette fonction, c’est-à-dire tel que , est ensuite recherché. La

formule III-9 permet de calculer une valeur approchée de qui est utilisée comme

estimation du zéro de la fonction . La résolution est effectuée sur le logiciel Matlab en

conservant les 200 premiers termes de la somme. On obtient ainsi les valeurs de

desquelles on peut déduire le coefficient de diffusion (équation III-8) pour chaque humidité

relative étudiée. Les valeurs obtenues par calcul théorique sont comparées aux données

expérimentales (Figure III-26 et Figure III-27) pour vérifier l'adéquation du modèle avec la

réalité. Pour la farine de bois non-traitée, le coefficient de diffusion semble surestimé pour

les humidités relatives de 9%, 33%, 59% et 75%, le modèle atteignant l’équilibre

hygroscopique plus rapidement. A 98% d’humidité relative, par contre, le modèle décrit bien

Figure III-26 – Courbe en fonction du temps pour le bois non-traité aux diverses

humidité relatives

Pour la farine de bois fluorée, le modèle semble se superposer parfaitement à

l’expérimental pour une humidité relative de 9%. A 33% et 59%, le modèle correspond à la

réalité aux temps courts (inférieurs à 20 min), puis les variations des courbes expérimentales

créent une différence. Pour les plus hautes humidités relatives (75% et 98%), le modèle

décrit moins bien la réalité, l’évolution étant d’abord plus lente puis plus rapide.

Figure III-27 – Courbe en fonction du temps pour le bois fluoré aux diverses

humidité relatives

Effet de la fluoration sur les propriétés physico-chimiques de la farine de bois

Les coefficients de diffusion hydrique des bois non-traité et fluoré sont donnés dans

le Tableau III-6. L’ordre de grandeur obtenu pour le coefficient de diffusion dans la farine de

bois non-traitée est cohérent avec les valeurs données dans la littérature (Kouchade, 2004).

On remarque qu’après traitement, le coefficient de diffusion du bois est augmenté,

particulièrement pour les faibles humidités relatives (9% et 33%).

Tableau III-6 – Coefficients de diffusion hydrique dans les farines de bois non-traitée et fluorée

pour les différentes conditions d’humidité relative

Humidité relative (%) 9 33 59 75 98

Diffusivité massique

_(m²/s)

Bois non-traité 4,8 3,3 2,0 1,6 0,4

Bois fluoré 87,2 22,4 9,7 3,5 1,3

Pour les deux types de farines, il est constaté une diminution du coefficient de

diffusion du bois avec l’augmentation du taux d’humidité relative de l’air (Figure III-28). Ce

qui est en contradiction avec certaines études réalisées pour du bois massif. En effet, de

précédentes études réalisées sur la diffusion hydrique dans le bois tendent à montrer une

augmentation du coefficient de diffusion avec l'élévation de l'humidité relative (Simpson et

Liu, 1991 ν Stamm, 1960). L’évolution du coefficient dépendrait toutefois de la direction de

diffusion considérée (Mouchot, 2002). Rosen (1976) définissait ainsi une loi de type

, pour décrire l’évolution du coefficient de diffusion hydrique dans le bois en

fonction de l’humidité relative , le coefficient étant positif dans le cas d’une diffusion

radiale ou tangentielle mais négatif dans le sens longitudinal du bois. Dans le cas de la farine

de bois, les particules ne sont pas orientées dans l’échantillon. La réduction du coefficient de

diffusion avec l’augmentation de l’humidité relative semble cohérente avec l’évolution des

courbes d’adsorption relevées (paragraphe III.C.1.a). On peut supposer que la diffusion

s’effectue principalement dans le sens longitudinal des trachéides. Pour la farine de bois

non-traitée, l’évolution du coefficient de diffusion hydrique est linéaire, alors qu’elle apparait

exponentielle pour la farine de bois fluorée.

Figure III-28 – Évolution du coefficient de diffusion dans les bois non-traité et fluoré en

fonction de l'humidité relative

Le coefficient de diffusion hydrique de la farine de bois est augmenté après

traitement. La fluoration directe du bois accélère sa réaction avec l'eau, ce qui est en accord

avec les données expérimentales recueillies.

Dans le document Influence de traitements physico-chimiques des renforts sur le comportement mécanique des composites à base de co-produits de bois (Page 147-153)