CHAPITRE III MODÈLE DE SIMULATION
III.3 Bilan de matière solide
Pour obtenir une bonne estimation du bilan de matière, il faut prendre en compte le maximum de phénomènes influençant le déplacement des particules. Les classificateurs hydrauliques industriels à lit dense sont des appareils qui opèrent généralement à des débits élevés. Ce type d’écoulement engendre forcément une turbulence, une distribution non uniforme de la vitesse de la pulpe sur la surface, ainsi que de grandes variations verticales, de la densité et de la concentration solide. Plusieurs travaux de recherche abordent cette problématique d’écoulement non uniforme de la pulpe [19, 20]. Certaines zones de l’appareil sont soumises à des vitesses d’écoulement plus élevées, comme c’est le cas à proximité des injecteurs d’eau de fluidisation et de l’alimentation. Tandis qu’à certains endroits la vitesse est plus faible comme par exemple, à proximité de la paroi. Ces phénomènes sont donc pris en compte en y ajoutant la notion de dispersion.
Pour résoudre le bilan de matière solide, il faut d’abord connaître le flux de matière circulant dans l’aire transversale de l’appareil. Pour ce faire, on pose l’hypothèse suivante :
Hypothèse 1 : La pulpe est uniformément répartie sur la surface de l’appareil.
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Par conséquent, le solide sera ainsi réparti uniformément sur la surface horizontale, rendant le bilan de matière unidirectionnel en 𝑧. La Figure 26 schématise le flux de matière (𝐽), traversant les deux interfaces d’un élément du classificateur. L’équation 3.5 montre que la différence entre les deux flux de matière permet de déterminer l’évolution de la concentration du solide à l’intérieur de l’élément. Il est possible de calculer en fonction du temps, la variation de la concentration dans les éléments du classificateur, avec l’équation de convection et diffusion 3.6. Cette équation est utilisée, entre autres, dans la simulation des classificateurs hydrauliques [9, 23, 42] et pour celle des lits fluidisés [40, 43 - 46]. Cette relation indique que la variation de la concentration (𝜕𝐶) d’une espèce 𝑘, de la dimension 𝑗, dans l’intervalle 𝜕𝑧, varie dans le temps (𝜕𝑡) en fonction d’un terme de dispersion (diffusion turbulente) et de transport advectif.
− 𝜕𝐽 𝜕𝑧⁄ = 𝜕𝐶 𝜕𝑡⁄ (3.5)
−𝜕𝐽(𝑧, 𝑡)
𝜕𝑧 = 𝜕𝐶𝑗,𝑘(𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡 = 𝐷𝜕2𝐶𝑗,𝑘(𝑧, 𝑡)
𝜕𝑧2 −𝜕 (𝑉𝑗,𝑘(𝑧, 𝑡, 𝜑)𝐶𝑗,𝑘(𝑧, 𝑡))
𝜕𝑧 (3.6)
Dans cette équation, la variable 𝐷 est le coefficient de dispersion axiale alors que 𝑉 représente la vitesse des particules, par rapport à la paroi. Les conditions initiales et limites de l’équation 3.6 sont :
𝐶𝑗,𝑘(𝑧, 0) = 0 ∀ 0 < 𝑧 < 𝐻 (3.7)
∑ 𝐶𝑗,𝑘(𝑧, 𝑡) ≤ 𝜑𝑚𝑎𝑥 ∀ 0 < 𝑧 < 𝐻 & 𝑡 ≥ 0 (3.8) La variable 𝐻 représente la hauteur totale du classificateur, partant de la sousverse jusqu’à la surverse. La condition initiale (éq. 3.7) suppose que le système est exempt de solides au début des calculs. La condition limite 3.8 stipule que la concentration ne peut pas dépasser la concentration maximale qui peut être obtenue expérimentalement ou estimée avec la méthode présentée au chapitre III.5.
Il est possible d’utiliser la méthode des différences finies pour simplifier la résolution de l’équation de mouvement. Cette méthode consiste d’abord à faire la discrétisation des variables, pour ensuite approximer la pente de la courbe tangente en tenant compte de la pente entre deux points à proximité. Les dérivées partielles que l’on
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retrouve dans l’équation 3.6 montrent que les variables à dériver sont dépendantes de plusieurs autres variables, d’où l’intérêt de faire la discrétisation de ces mêmes variables.
Au même titre que la vitesse (𝑉), la concentration (𝐶) est dépendante de la hauteur (𝑧) et du temps (𝑡), mais la vitesse dépend aussi de la concentration totale (𝜑). Pour cette raison, le classificateur hydraulique est séparé en N éléments de hauteurs égales (∆𝑧), comme il est montré à la Figure 26. Par convention, l’élément 1 se situe juste au-dessus de la vanne de sousverse, tandis que l’élément Nf, est l’endroit où l’alimentation est introduite, alors que l’élément N se trouve juste en dessous de la surverse de l’appareil. Il est aussi nécessaire de faire la discrétisation de la variable de temps, en sélectionnant un intervalle approprié.
Figure 26 : Flux de matière traversant un élément du classificateur.
La méthode d’Euler est utilisée sur le premier terme de l’équation de mouvement, pour obtenir l’équation 3.11. Elle consiste à estimer la pente de la droite tangente, au point 𝑎, par la pente de la droite reliant 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑎 + ∆𝑎), si ∆𝑎 tend vers zéro. La précision de cette transformation dépendra entre autres du pas d’incrément choisi (∆𝑎). Il est donc
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essentiel de choisir un pas d’intervalle assez petit pour minimiser cette erreur, tout en considérant que l’augmentation de la finesse de la discrétisation de l’espace augmentera le temps de calcul de l’algorithme de façon non négligeable. La relation entre une fonction et sa dérivée au point 𝑎 est schématisée à la Figure 27, et son approximation à la Figure 28.
𝜕𝐶𝑗,𝑘
𝜕𝑡 |
𝑛
⇒∆𝐶𝑗,𝑘
∆𝑡 |
𝑛
= (𝐶𝑗,𝑘)
𝑛 𝑡𝑖+1
− (𝐶𝑗,𝑘)
𝑛 𝑡𝑖
(𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖) (3.11) L’indice de la variable de temps de cette équation implique que la valeur des variables au temps 𝑖 est connue et qu’on recherche leur valeur au temps 𝑖 + 1.
Figure 27 : Exemple de fonction continue (𝑦 = 𝑓(𝑎)) et sa droite tangente au point (𝑎, 𝑓(𝑎)).
Figure 28 : Exemple d’approximation d’une dérivée (Euler, 1er ordre, avant).
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Le deuxième terme de l’équation de mouvement (dispersion) peut être approximé par une autre méthode des différences finies. La simplification de ce terme implique d’utiliser la méthode de Nyström (saute-mouton) deux fois et de faire à chaque fois des pas équivalents à la moitié d’un élément ce, afin de garder ∆𝑧 au dénominateur. De cette façon, on obtient l’équation 3.12 qui suit:
Le troisième terme de l’équation de mouvement (transport) peut être estimé avec l’équation (3.13). Celle-ci tient compte du fait que la variation de la concentration, durant l’intervalle de temps causé par le transport (sédimentation ou entraînement) des particules, est égale aux débits entrant et sortant de l’élément.
−𝜕(𝑉𝑗,𝑘𝐶𝑗,𝑘)
𝜕𝑧 |
𝑛
⇒(𝑄𝑖𝑛,𝑗,𝑘− 𝑄𝑜𝑢𝑡,𝑗,𝑘)
𝑛 (3.13)
Pour compléter la résolution du terme de transport, il suffit de séparer le terme de vitesse de déplacement des particules, par rapport à la paroi, en deux vecteurs, tel que suggéré aux équations (3.14 & 3.15) et à la Figure 29. Comme exemple, les particules à vitesse négative auront leur vitesse ascensionnelle (𝑉𝑗,𝑘↑ ) égal à leur vitesse (|𝑉𝑗,𝑘|) en valeur absolue, alors que leur vitesse descendante (𝑉𝑗,𝑘↓ ) sera nulle. Par conséquent, il faut ajouter à l’algorithme, une boucle d’analyse des vecteurs de vitesse des particules par rapport à la paroi, pour attribuer la vitesse au bon vecteur.
(𝑄𝑖𝑛,𝑗,𝑘)
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En remplaçant le débit entrant et sortant de l’équation 3.13 par les vecteurs de vitesse précédents, on obtient :
−𝜕(𝑉𝑗,𝑘𝐶𝑗,𝑘)
𝜕𝑧 |
𝑛
⇒
(𝑉𝑗,𝑘↓ 𝐶𝑗,𝑘)
𝑛+1+(𝑉𝑗,𝑘↑ 𝐶𝑗,𝑘)
∆𝑧 𝑛−1 −
(𝑉𝑗,𝑘↓ 𝐶𝑗,𝑘+ 𝑉𝑗,𝑘↑ 𝐶𝑗,𝑘)
∆𝑧 𝑛 (3.16)
Figure 29 : Vecteur de vitesse des particules reliée au transport.
Ce type de résolution du bilan de matière a été utilisé dans les travaux de R.Q Honaker et K. Mondal [23] dans le modèle dynamique, mais sans le terme de dispersion.
Cette méthode a été choisie parce qu’elle offre une meilleure stabilité, lorsque 𝜕𝐶𝑗,𝑘⁄𝜕𝑧 devient élevé ou présente une discontinuité, comparativement à la méthode employée dans la résolution du terme de transport utilisé par Kim [9]. Dans le but d’alléger l’écriture des équations, on pose que :
𝛼 =𝐷Δ𝑡
∆𝑧2 (3.17) Et :
𝛽 = Δ𝑡
∆𝑧 (3.18) L’équation simplifiée du bilan de matière solide, pour les éléments intermédiaires, s’écrit de la façon suivante :
66 L’équation précédente est valide seulement si les éléments de discrétisation (Figure 26) ont des volumes identiques, car les concentrations sont calculées en volume de solide, par volume de l’élément. Lorsque ce n’est pas le cas, comme dans la zone sous les injecteurs d’eau de fluidisation, il faut ajouter des termes de conversion de la concentration volumique (équations 3.20 & 3.21), à l’équation de mouvement.
𝑅ℎ=𝑣𝑛+1 l’hypothèse que tout ce qui sort du classificateur ne peut revenir. Ainsi, les éléments aux limites du classificateur doivent être traités différemment. Les bilans de matière des éléments 1, 𝑁 se calculent avec les équations suivantes :
(𝐶𝑗,𝑘)1𝑡𝑖+1=(𝐶𝑗,𝑘)1𝑡𝑖+ 𝛼((𝐶𝑗,𝑘)2𝑡𝑖𝑅ℎ− 2(𝐶𝑗,𝑘)1𝑡𝑖)
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De la même façon, la concentration volumique des espèces se retrouvant en surverse et en sousverse, pour chaque pas de temps, se calcule avec les équations 3.25 et 3.26. Dans ces équations, les indices 𝑢, 𝑜 représentent la sousverse et la surverse. Le bilan de matière solide sera complet avec l’ajout du débit d’alimentation. La méthode consiste à introduire le volume de solide de l’alimentation qu’il faut ajouter au début de chaque pas de temps, dans l’élément 𝑁𝑓. Cette dernière représente l’élément à la hauteur de
La variable 𝑄𝑎,𝑗,𝑘 représente le débit volumique, à l’alimentation de l’espèce 𝑘 de dimension 𝑗.