L’atome à deux niveaux est un système idéal, permettant de mettre en évidence de nombreux aspects de la physique quantique. Il s’agit d’un atome pouvant se trouver dans deux états : un état fondamental |gê et un état excité |eê. Ces deux niveaux sont couplés par une transition dipolaire électrique. Dans notre expérience, les atomes peuvent être raisonnablement décrits par des atomes à deux niveaux. Dans cette section, nous allons introduire le formalisme permettant de décrire un atome à deux niveaux, ainsi que son interaction avec un champ classique.
I.2.1 Le pseudo-spin atomique
Le traitement de l’atome à deux niveaux est formellement identique à celui d’un spin 1/2 plongé dans un champ magnétique orienté selon Oz. Notons |+zê l’état up du spin et |−zê l’état down. Par analogie avec le cas du spin, on peut écrire |+zê ≡ |eê et |−zê ≡ |gê et on définit pour l’atome un pseudo-spin ˆS = ~ˆσσσ, où ˆσσσ est le vecteur dont les composantes
sont les matrices de Pauli ˆσx, ˆσy et ˆσz, qui s’écrivent dans la base {|eê , |gê} : ˆ σx = A 0 1 1 0 B ˆ σy = A 0 −i i 0 B ˆ σz = A 1 0 0 −1 B (I.2.1)
En choisissant l’origine des énergies à la moyenne des énergies des deux états, le hamiltonien s’écrit :
ˆ
Hat= ~ωat
2 σˆz, (I.2.2)
où ωat est la pulsation de la transition atomique. Un état pur quelconque |ψê du système peut s’écrire, à une phase globale près, sous la forme :
|ψê = cosθ
2|eê + eiφsinθ
2|gê , (I.2.3) où θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π]. Un état peut donc être paramétré par un vecteur unitaire u, de coordonnées sphériques θ et φ. L’ensemble de ces vecteurs forme une sphère appelée
sphère de Bloch, représentée sur la figure I.2. L’état |+uê associé au vecteur de Bloch u est état propre de l’opérateur u · ˆσσσ avec la valeur propre +1.
I.2.2 Évolution temporelle
Le hamiltonien ˆHat a pour états propres |eê et |gê. Un atome préparé à l’instant initial dans l’état |ψê de la formule I.2.3 se trouve donc à l’instant t dans l’état :
|ψ(t)ê = e−iωatt/2cosθ
2|eê + ei(φ+ωatt/2)sinθ
2|gê . (I.2.4) Cette évolution prend une forme très simple sur la sphère de Bloch. Il s’agit d’une pré-cession autour de l’axe Oz, dans le sens direct, à la pulsation ωat.
De manière plus générale, tout hamiltonien ˆH0 de trace nulle peut s’écrire sous la forme ˆH0= ~ω0
Fig. I.2 Sphère de Bloch. Le parallèle passant par |+êu figure l’évolution de l’état. Il s’agit d’une rotation dans le sens direct autour de l’état de plus grande énergie |+êz, à la pulsation de la transition |eê ↔ |gê.
I.2.3 Interaction de l’atome à deux niveaux avec un champ classique
Comme en physique classique, l’atome à deux niveaux peut interagir avec un champ électrique par le biais de son dipôle électrique. L’opérateur dipôle électrique ˆD≡ q ˆR, où
q est la charge de l’électron et ˆR l’opérateur position, est nul dans les états |eê et |gê, de parité définies. Ses seuls éléments non nuls sont donc les termes non diagonaux. On peut définir les opérateurs
ˆ
σ+≡ |eê ég| , σˆ−≡ |gê ée| . (I.2.5) Ces opérateurs correspondent respectivement à la création et à la destruction d’une exci-tation atomique et vont nous servir à écrire l’opérateur dipôle électrique. En effet, celui-ci a des valeurs nulles dans les états |eê et |gê, qui ont des parités bien définies. Le dipôle a donc des valeurs nulles sur la diagonale et peut s’écrire :
ˆ
D= d(ǫǫǫaσˆ−+ ǫǫǫ∗aσˆ+), (I.2.6) où l’on a introduit le dipôle d et la polarisation ǫǫǫa de la transition |gê ↔ |eê.
Considérons un champ électrique classique, prenant à la position de l’atome6 la valeur
Er(t) = iEr 1
ǫǫǫre−i(ωrt+φ)
− ǫǫǫ∗rei(ωrt+φ)2, (I.2.7)
6. On se place ici dans l’approximation dipolaire en considérant que le champ a une amplitude complexe uniforme à l’échelle de l’atome. Comme les champs utilisés dans nos expériences ont des longueurs d’onde voisines de 6 millimètres, cette approximation est parfaitement justifiée.
où la pulsation ωr est proche de celle de la transition atomique. L’interaction de l’atome avec ce champ est décrite par le hamiltonien dipolaire :
ˆ
Hr= − ˆD· Er(t). (I.2.8)
On se place dans le référentiel tournant, en posant -
--ψ˜f = e−iωrtˆσz/2|ψê, où |ψê est le vecteur d’état dans le référentiel initial. Dans ce référentiel, le hamiltonien fait intervenir des termes constants et des termes oscillants à une pulsation de l’ordre de 2ωr. Comme dans le cas de l’interaction d’un mode du champ avec une source classique, nous allons faire l’approximation de l’onde tournante, qui consiste à négliger les termes oscillants. Le hamiltonien s’écrit alors :
˜
Hr = ~∆c
2 σˆz− i~2 1Ωce−iφσˆ+− Ω∗ceiφσˆ−2, (I.2.9a) = ~ 2 A ∆c −iΩce−iφ iΩ∗ceiφ −∆c B (I.2.9b)
où on a introduit le désaccord entre l’atome et le champ ∆c= ωat− ωr et la pulsation de Rabi classique
Ωc≡ |Ωc| eiψ= 2d
~ Erǫǫǫ∗a· ǫǫǫr. (I.2.10) Le hamiltonien peut s’écrire
˜ Hr= ~Ω′c 2 n· ˆσσσ, (I.2.11) avec Ω′c = ñ |Ωc|2+ ∆2 c, (I.2.12a) n= 1 Ω′ c |Ωc| sin(ψ − φ) |Ωc| cos(ψ − φ) ∆c . (I.2.12b)
L’évolution a alors l’interprétation géométrique suivante : le vecteur de Bloch effectue une précession autour du vecteur n, à la pulsation effective Ω′
c. Lorsque le champ est fortement désaccordé, n ≃ ez et Ω′
c ≃ ∆c : on retrouve la précession de Larmor dans le référentiel tournant. Pour ∆c = 0, le champ est résonnant et n est un vecteur du plan équatorial de la sphère de Bloch, dont l’azimut dépend des polarisations relatives de l’atome et du champ et de la phase du champ classique. L’atome effectue des oscillations entre |eê et |gê à la pulsation de Rabi. On les appelle oscillations de Rabi classiques. Lorsque la pulsation de Rabi est comparable au désaccord, les oscillations ont lieu autour d’un axe incliné par rapport au plan équatorial. Si on part de l’état |gê, la probabilité d’atteindre l’état |eê n’atteint jamais l’unité. Par ailleurs les oscillations ont lieu plus rapidement que pour l’oscillation à résonance.
En contrôlant la fréquence et la phase de l’impulsion, on peut donc réaliser une rotation autour d’un axe quelconque de la sphère de Bloch. En contrôlant par ailleurs la durée de l’interaction, on peut donc réaliser n’importe quelle opération unitaire sur l’atome à deux niveaux et donc contrôler son état. Plaçons-nous dans le cas d’un atome soumis à une
impulsion à résonance, avec une pulsation de Rabi réelle (ψ = 0). L’évolution des états atomiques est donnée par :
|gê Ô→ cosΩ2ct|gê − e−iφsinΩct
2 |eê , (I.2.13a) |eê Ô→ eiφsinΩct
2 |gê + cosΩct
2 |eê . (I.2.13b) Pour une durée d’interaction tπ telle que Ωctπ = π, les états atomiques |eê et |gê sont échangés. On parle d’impulsion π. Ces impulsions nous permettent de choisir l’état initial de l’atome pour nos expériences.
Si l’impulsion a une durée tπ/2 telle que Ωctπ/2 = π/2, les états |eê et |gê sont trans-formés en des superpositions à poids égaux :
|gê Ô→ √1
2(|gê − e−iφ|eê), |eê Ô→ √1 2(e
iφ
|gê + |eê). (I.2.14)
Ces impulsions sont appelées impulsions π/2. Elles permettent de réaliser des mesures d’interférométrie de Ramsey, que nous présenterons en détail dans la suite.