Approximations de Kirchhoff et du plan tangent

Nous présentons les approximations de Kirchhoff et du plan tangent dans une même sous-section car ces deux approches, bien que différentes, donnent la même solution au problème de modélisation de la SERN. Un autre terme pour désigner ces deux approches est l’approximation de l’optique

phy-sique. L’approximation de l’optique qui requiert des hypothèses supplémentaires est présentée à la suite.

Approximation de l’Optique Physique

La théorie de Kirchhoff s’appuie sur la détermination du champ diffusé exprimé en fonction de la densité de courant à la surface de l’interface étudié. Or, le calcul exact de la densité de courant en un point de la surface dépend du champ incident en ce point mais également de la contribution des cou-rants des points voisins due à l’action du champ incident en ces points. L’approximation de Kirchhoff au premier ordre se limite au calcul de l’expression de la densité de courant au point considéré (qui dépend uniquement du champ incident en ce point). Les calculs en tenant compte du deuxième ordre pour la densité de courant peuvent être trouvés dans les articles de Holliday [1987] pour le cas de la rétrodiffusion ou de Elfouhaily et al. [2001] qui généralisent les travaux de Holliday au cas bi-statique. L’approximation du plan tangent consiste à utiliser le second théorème de Green (voir annexe 12J.1 du livre d’Ulaby et al. [1982] par exemple) qui permet de décomposer le champ diffusé en tout point d’un volume sans source fermé par une surface en fonction de ses champs tangentiels à la surface. Ulaby et al. [1982] détaille toutes les étapes du calcul dans l’annexe 12J de son livre.

Si nous reprenons la théorie de Kirchhoff en considérant l’expression de la densité de courant jusqu’à l’ordre 2, on peut montrer que ce terme d’ordre 2 est nul si on adopte l’hypothèse du plan tangent qui suppose qu’en tout point de la surface on peut déterminer un plan tangent. On en revient donc au calcul au premier ordre qui est l’approximation de Kirchhoff. D’où l’exacte similitude dans les résultats donnés par ces deux méthodes.

L’approximation de l’optique physique repose sur l’hypothèse qu’en tout point de la surface, on puisse associer un plan tangent. Cela signifie que, d’un point de vue électromagnétique, on a une surface très rugueuse, d’où le critère de Rayleigh :

σ_ζq_k = σ_ζK0cos θ >> 1, (2.9) oùθ désigne l’angle d’incidence.

Avec l’une ou l’autre des approches, pour un milieu parfaitement conducteur, la section efficace radar s’écrit (par exemple [Elfouhaily et al., 2001, Ulaby et al., 1982]) :

σ^pq₀ (θ, φ) = ¹ π     2q0q_kK^pq OP(θ) Q_z     2Z e−iQzζ(~r)e−i ~QH.~rd~r, (2.10)

où K^pq_OP = R^pq_F (K/q)² = R^pq_F/cos²θ désigne les coefficients de Fresnel effectifs pour

l’approxi-mation de Kirchhoff et ζ(~r) la hauteur de la surface de la mer au point repéré par le vecteur ~r. Les

coefficients de Fresnel sont rappelés dans l’annexe B.1 pour les polarisations directes VV et HH. Dans l’équation (2.10), l’intégrale est appelée intégrale de Kirchhoff.

Dans le cas d’une surface aux propriétés non-gaussiennes, Longuet-Higgins [1963] a montré que la moyenne d’ensemble dans l’intégrale de Kirchhoff est équivalent à une somme de séries de Gram-Charlier qui peut s’écrire en fonction des différents moments statistiques d’ordren. En considérant un

développement à l’ordre4, la moyenne d’ensemble s’écrit en fonction de la variance des hauteurs, de

l’expression de l’intégrale se simplifie (voir par exemple [Bourlier, 2004] ou l’annexe 12E de Ulaby et al. [1982]) : σ^pq₀ (θ, φ) = ¹ π     2q₀q_kK^pq OP(θ) Q_z     2Z e^(Qzσζ)2(1−ρ(~r))e−i ~QH.~rd~r, (2.11) oùσ2

ζ est la variance des hauteurs (cf. eq. (1.22)) etρ(~r) est la fonction d’auto-covariance normalisée

(cf. eq. (1.14)) introduites dans le chapitre précédent. Par exemple, les articles de Bourlier [2004], de McDaniel [2003] ou le manuscrit de thèse de Elfouhaily [1997] traitent du calcul de l’intégrale pour le cas non-gaussien qui impose de considérer les moments d’ordre supérieurs. Ces moments, encore très mal connus pour la surface de la mer, ne sont pas utilisés dans notre étude.

D’autre part, l’équation (2.11) peut être ré-écrite dans le cas de la rétrodiffusion où on a l’égalité

~ K = − ~K₀i.e.k = −k0etq_k= q₀. D’où : σ^pq₀ (θ, φ) = ¹ π     q0^Kpq_OP(θ)     2Z e−4(q0σζ)2(1−ρ(~r))e−2i~k0.~rd~r. (2.12) Dans notre étude, nous ne considérons que des mesures de rétrodiffusion. Par conséquent, nous nous plaçons uniquement dans ce cas dans le reste du manuscrit.

Approximation de l’Optique Géométrique

Pour simplifier encore l’équation (2.12), on peut supposer qu’en chaque point de la surface le plan tangent se comporte comme un miroir. Dans ce cas, la surface peut être vue comme une succession de miroirs plans sur lesquels il y a seulement un phénomène de réflexion spéculaire. On appelle cette approximation l’hypothèse de la face stationnaire. Cette condition impose que la courbure moyenne de la surface soit faible. Le pouvoir réflecteur dépend alors exclusivement du nombre de facette orientées perpendiculairement à la direction d’illumination. La condition de validité de cette approximation s’exprime telle que :

q_kr_ccos²θ = K₀r_ccos³θ >> 1. (2.13) Dans le cas de la surface de mer dont la statistique des pentes et des hauteurs est gaussienne, on a r_c ∼ l²/σ_ζ ∼ l/ση, où σ_ζ,σ_η etl sont respectivement l’écart-type des hauteurs, l’écart-type des

pentes et la longueur de corrélation. L’équation (2.13) signifie que soit la longueur de corrélation est grande devant la longueur d’onde effective (λ/ cos θ), soit σ_ζ ou σ_η sont petits devant la longueur d’onde effective.

La condition de l’équation (2.13) signifie que la surface est très rugueuse. Dans ce cas, la fonction d’autocovariance des hauteursρ(~r) ne prend des valeurs non négligeables que pour les petites valeurs

de r. On peut donc faire un développement limité de la fonction d’autocovariance au voisinage de

zéro tel que.

σ²_h(1 − ρ(~r)) → ¹₂(s²_Lupx²+ s²_Lcry²) + o(~r⁴), (2.14) oùs²_Lupets²_Lcr sont les variances des pentes dans les directions face et perpendiculaire au vent limités aux grandes vagues - pour être en accord avec l’hypothèse de faible courbure.

Cependant, la question de la limite entre petites et grandes vagues reste encore ouverte. De fait, elle est souvent choisie par ajustement sur des données radar. On note qu’une bonne description du spectre de mer dans le domaine correspondant aux vagues longues est donc importante pour décrire la réflexion

spéculaire. En utilisant ce développement limité et après quelques développements mathématiques2, on obtient (voir par exemple le chapitre 12-4.4 dans le livre d’Ulaby et al. [1982]) :

σ₀^pq(θ, φ) = |RF(0)|²sec⁴θ 2s_Lups_Lcr ^exp  −^tan 2θ