Chapitre 4 Essais de traction
4.5 Approximation de la vraie relation contrainte-déformation
Une autre raison pour l’utilisation de cette technique d’analyse d’images est la détermination d’une relation pouvant représenter la courbe contrainte-déformation vraie dans le matériau, car il est difficile de prévoir l’endroit où la striction se produira et donc de pouvoir mesurer la véritable aire de section où celle-ci se produit pour en déterminer la contrainte vraie. Il est aussi difficile de pouvoir mesurer les déformations réelles à l’endroit où la striction se produit plutôt que sur la totalité de la section réduite d’une éprouvette. À l’aide de l’analyse d’image et des marques dessinées sur l’éprouvette, on peut savoir dans quelle section la striction va se produire et d’ainsi mesurer les contraintes et les déformations sur une distance initiale de 2mm plutôt que celle de 50mm de l’extensomètre, ce qui s’approche beaucoup plus de la vraie valeur de déformation à l’endroit où la striction se produit. Pour ce faire, la même méthode de transformation des images que celle illustrée sur la figure 4.4 est utilisée. Ensuite, la section où se produit la striction, montrée sur la figure 4.8a) est repérée et la distance représentant les limites de cette section, montrée sur la figure 4.8b) est mesurée en pixels pour chacune des images représentant un moment précis de l’essai. Une bonne approximation de la valeur de la vraie déformation dans cette section peut être obtenue à l’aide de l’équation 4.5.
Pour obtenir la contrainte à l’endroit le plus critique, le diamètre en pixels doit être mesuré à l’endroit où il est le plus petit, tel que montré sur la figure 4.8c). L’équation 4.7 représente la formule pour calculer la contrainte vraie en MPa, où F est la charge, en N, et As est l’aire minimale de la section en millimètres carrés. Pour l’aire
de la section, il est encore une fois admis que celle-ci reste de forme circulaire lorsqu’elle se déforme, menant ainsi à l’équation 4.2 qui décrit son aire en fonction de son diamètre. Comme le diamètre réel n’est pas mesuré en millimètres, une conversion doit être faite, avec la mesure obtenue en pixels, représentée par l’équation 4.8 où Dini est le diamètre initial de la section réduite de l’éprouvette.
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Figure 4.8 – Section où se produit la striction a) Ciblage de la section où se produit la striction, b) Distance mesurée pour obtenir la vraie déformation, c) Distance mesurée pour obtenir la vraie contrainte
En assemblant les équations 4.2, 4.7 et 4.8, on peut obtenir l’équation 4.9 qui donne la valeur de la contrainte vraie en fonction de la valeur de la charge obtenue expérimentalement et des distances mesurées avec l’analyse d’image. 𝜎𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒=𝐴𝐹 𝑠 (4.7) 𝐷(𝑚𝑚) =𝐷(𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑠)𝐷𝑖𝑛𝑖(𝑚𝑚) 𝐷𝑖𝑛𝑖(𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑠) (4.8) 𝜎𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒= 4𝐹 𝜋 (𝐷𝐷(𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑠) 𝑖𝑛𝑖(𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑠) 𝐷𝑖𝑛𝑖(𝑚𝑚)) 2 (4.9)
Avec les contraintes et déformations vraies obtenues à partir de chaque image tout au long de l’essai, il est possible d’obtenir le graphique contrainte-déformation vraie à la section où se produit la striction pour l’acier inoxydable 304L, tel que montré à la figure 4.9.
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Figure 4.9 – Graphique contrainte-déformation vraie, pour la section où se produit la striction, obtenu par l’analyse d’image
Comme il est possible de voir sur la figure 4.9, les données sont séparées en 3 groupes distincts pour permettre aux résultats d’être le plus près possible de la réalité. Le premier groupe, défini par les points en rouge, représente les données obtenues pendant que l’extensomètre est en place et la figure 4.10a) représente un exemple d’image convertie pour permettre de mesurer les distances lors de cette partie où les résultats sont obtenus à l’aide de la fonction marks_heightcenterstrictionmean.m, fournie à l’annexe E. Pour ces données, la valeur de la distance entre les deux marques est obtenue en faisant la moyenne des distances entre les deux marques pour chaque colonne de pixels. Comme le code utilisé repère les marques comme étant les 13 plus grands espaces en blanc sur l’image, les pinces de l’extensomètre et les reflets sur l’éprouvette causent des problèmes à obtenir cette distance. C’est pourquoi, tant que l’extensomètre est présent, seulement 15 colonnes de pixels situées dans la région centrale de l’éprouvette sont utilisées pour faire la moyenne des distances. Pour mesurer le diamètre de la marque, la moyenne des diamètres, situés entre les lignes moyennes de délimitation de la marque la plus près d’où se produit la striction, est utilisée. Le diamètre moyen de cette marque peut être utilisé car avant la striction, le diamètre reste constant sur la hauteur d’une marque. Lorsque l’extensomètre est retiré, ses pinces ne causent plus de problème pour la mesure des distances, mais les reflets continuent à être un problème sur le côté droit de l’éprouvette, comme le montre la figure 4.10b). De plus, un nouveau problème commence à apparaitre. Il consiste en la dégradation de la couleur noire des marques dans la partie centrale de l’éprouvette ce qui est une bonne
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source d’erreur dans le cas présent car les mesures sont prises à petite échelle. Pour pallier à ce problème, les données représentées par les points bleus sur la figure 4.9, utilisent seulement 7 colonnes de pixels situées dans la partie gauche de l’éprouvette, pour faire la moyenne des distances servant à obtenir la déformation, où les distances sont obtenues avec la fonction marks_heightleftstrictionmean.m fournie à
l’annexe E. Pour la mesure du diamètre, la même méthode que celle utilisée pour les images obtenues avant
de retirer l’extensomètre est utilisée. Ces techniques peuvent être utilisées jusqu’à l’apparition de la striction. La figure 4.10c) montre une image type utilisée pour mesurer les distances pendant la striction. On remarque que le diamètre de la marque varie sur sa hauteur et que la dégradation de la couleur noire de la marque est devenue très importante en son milieu. Les données représentées par les points orange sur la figure 4.9 représentent cette étape. Comme la dégradation est rendue trop importante, le code ne fonctionne plus; il est alors nécessaire de calculer les distances en pixels manuellement sur chacune des matrices représentant une image. Il est à noter que les 3 étapes utilisées ne servent qu’à obtenir une meilleure précision des données.
Figure 4.10 – Images types utilisées pour mesurer les distances en pixels, a) pendant que l’extensomètre est présent, b) après avoir retiré l’extensomètre, c) pendant la striction
Il est possible de remarquer, sur la figure 4.9, qu’il y a une assez bonne corrélation des résultats jusqu’à la rupture en traction de l’éprouvette. Il est certain que cette corrélation n’est pas aussi bonne que pour les résultats obtenus lors de la validation de la méthode avec les contraintes et déformations de l’ingénieur, du fait que la distance utilisée pour mesurer les déformations est de 50mm pour les déformations de l’ingénieur et de 2mm pour l’approximation des déformations vraies. Ceci implique que pour une erreur d’un pixel sur la distance mesurée, l’impact est beaucoup plus significatif sur la déformation vraie. De plus, la tendance des données semble se rapprocher d’une fonction de puissance, représentée par l’équation 4.10, où σest
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représente la contrainte estimée, ε, la déformation obtenue par l’analyse d’image et A et b, l’ordonnée lorsque la droite croise l’abscisse égale à 1 et la pente de cette droite sur un graphique à échelle logarithmique.
𝜎𝑒𝑠𝑡= 𝐴𝜀𝑏 (4.10)
Les paramètres A et b sont obtenus en effectuant une régression basée sur la méthode des moindres carrés sur les données de contrainte et de déformation obtenues avec la méthode d’analyse d’images. La valeur de Er, fournie dans l’équation 4.11, doit être minimisée pour obtenir les paramètres A et b donnant la meilleure corrélation possible des résultats, où e représente le résidu et σ, la valeur de la contrainte obtenue par l’analyse d’image. 𝐸𝑟 = ∑ 𝑒𝑖2 = 𝑛 𝑖=1 ∑(𝜎𝑒𝑠𝑡𝑖− 𝜎𝑖)2 𝑛 𝑖=1 (4.11)
Suite à plusieurs itérations pour minimiser la valeur de Er, des valeurs de 1289,33 et de 0,4417 sont obtenues pour les paramètres A et b. La courbe représentant la fonction puissance obtenue est présentée sur la figure 4.11 avec les données de l’analyse d’image.
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Pour avoir une idée de la qualité de l’ajustement obtenu par la régression, un coefficient de corrélation doit être calculé. Comme la fonction puissance est linéaire dans une échelle logarithmique, un coefficient de corrélation linéaire peut être utilisé en transformant les données en leur logarithme naturel pour arriver à nos fins. La figure 4.12 présente les données obtenues par l’analyse d’image, ainsi que la fonction de puissance associée, dans un graphique à échelle logarithmique.
Figure 4.12 – Représentation des données d’analyse d’images par une fonction puissance (échelle logarithmique)
Le fait que la tendance des données sur le graphique soit relativement linéaire confirme que le choix d’une fonction de puissance était une bonne idée pour représenter ces données. La plupart des données sont alignées sauf pour celles obtenues lors de faibles déformations où la tendance est moins présente. Parmi ces données obtenues à faibles déformations, quelques-unes sont aberrantes (celles représentant les plus faibles contraintes). Il avait été remarqué auparavant, que la méthode d’analyse d’images n’était pas très précise dans la phase élastique car, étant donné que l’essai était contrôlé en déplacement, trop peu d’images ont pu être prises dans cette phase. Pour les valeurs de déformation sous les 3-4%, il y a une tendance où les données dévient de la linéarité. Ceci s’explique simplement du fait que la fonction de puissance n’approche pas bien le comportement du matériau pour cette plage de déformations.
1 10 100 1000 10000 0,001 0,01 0,1 1 10 C on tr ai nt e vr ai e (M Pa ) Déformation vraie (mm/mm)
Données (Avec extensomètre) Données (Sans extensomètre) Données (Pendant la striction) Fonction puissance
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Le coefficient de corrélation se situe entre les valeurs de 0 et de 1, avec 1 étant une corrélation parfaite des données, et 0, aucune corrélation entre les données. Avec les données de contrainte et de déformation transformées en leur logarithme naturel, le coefficient de corrélation linéiaire, r, peut être obtenu à partir de l’équation 4.12 : où εi est la déformation obtenue pour chaque image avec l’analyse d’image, ln(ε)m la
moyenne des logarithmes naturels des déformations pour toutes les images composant l’essai, σi la contrainte
obtenue pour chaque image avec l’analyse d’image et ln(σ)m la moyenne des logarithmes naturels des
contraintes pour toutes les images composant l’essai.
𝑟 = ∑𝑛𝑖=1(𝑙𝑛( 𝜀𝑖) − 𝑙𝑛(𝜀)𝑚)(𝑙𝑛(𝜎𝑖) − 𝑙𝑛(𝜎)𝑚)
√∑ (𝑙𝑛( 𝜀𝑖𝑛𝑖=1 ) − 𝑙𝑛(𝜀)𝑚)2√∑ (𝑙𝑛(𝜎𝑖𝑛𝑖=1 ) − 𝑙𝑛(𝜎)𝑚)2 (4.12)
Le résultat obtenu pour la valeur du coefficient de corrélation linéaire est de 0.979, ce qui indique une très forte corrélation linéaire entre les données, nous permettant de valider l’utilisation de la fonction de puissance pour représenter le comportement de traction en contraintes-déformations vraies pour l’acier inoxydable 304L. Les valeurs obtenues pour les contraintes et déformations vraies à la rupture peuvent aussi être comparées avec celles obtenues à l’aide de la correction de Bridgman par Colin et al. (2011) pour le même type d’acier. Pour les valeurs de la contrainte ultime vraie, la valeur obtenue avec l’analyse d’image est de 1740 MPa, ce qui est très près de la valeur obtenue par Colin et al. (2011) qui est de 1763 MPa. Ceci s’explique par le fait que les contraintes ultimes et les pourcentages de réduction de l’aire de la section de chacun des matériaux sont aussi très rapprochés et que la contrainte vraie est fonction de ces deux paramètres. Pour les valeurs de la déformation ultime vraie, la valeur obtenue avec l’analyse d’image est de 197%, ce qui n’est pas très près de la valeur obtenue par Colin et al. (2011) qui est de 178%. Cette différence pourrait être due au fait que la composition de l’acier 304L testé par Colin et al. (2011), ainsi que la méthode de détermination de la déformation ultime sont différentes de celles de la présente recherche.
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