Approche basée sur la probabilité de prolongation

On exploitera ici la structure particulière des contraintes d’arrêts intra-sites et entre unités couplées, que nous appellerons contraintes intra-sites couplantes. Les contraintes intra-sites couplantes et intra-sites des sites quatre unités sont des contraintes de cliques (i.e. leur capacité est limitée à un pour toute semaine w) permettant de définir des variables égales à 1 lorsque deux arrêts sont placés de telle sorte que la prolongation de l’un d’eux de σ semaines (σ étant un paramètre de l’instance) entraîne la violation d’une contrainte. L’utilisation de ces variables nous permet de linéariser les contraintes probabilistes associées à la probabilité de violation de l’une des contraintes du planning. Des résultats numériques sur ce type d’approche seront présentés dans la section 4.5.4. Les contraintes des sites six unités et, par extension, des contraintes inter-sites, s’avèrent bien plus complexes car celles-ci ne sont pas des contraintes de clique et leur probabilité de violation comprend un terme correspondant à des événements aléatoire joints. Nous présentons néanmoins en fin de section une méthode permettant de linéariser la probabilité de non-violation de ces contraintes en définissant des classes de variables correspondant à la combinaison de prolongation d’arrêts nécessaire pour entraîner une violation. Compte tenu de la complexité de cette méthode nous ne présentons pas dans cette thèse de résultats numériques pour le site comportant six unités nucléaires.

Cas des sites à deux unités Nous introduisons, pour la clarté de l’exposé la fonction I₂, qui à une unité i associe son unité couplée I₂(i). Soit alors un planning réalisable pour un site comportant deux unités nucléaires i et I₂(i). Soit l’arrêt k⁰ de l’unité I₂(i) (noté (I₂(i), k⁰)) le premier arrêt débutant après l’arrêt (i, k). Nous rappelons qu’à tout arrêt (i, k) est associé w₁(i, k) sa date de début et OD_(i,k) sa durée planifiée (en l’absence de prolongation). d₂ désignera le nombre minimal de semaines entre deux arrêts imposé par les contraintes intra-sites couplantes. Le planning étant réalisable nous avons la relation suivante :

w1(I2(i), k⁰) ≥ w1(i, k) + OD_(i,k)+ d2

Puisque les prolongations d’arrêts suivent une loi exponentielle tronquée nous pouvons en déduire pour un nombre de semaines donné σ la probabilité P(σ) que l’arrêt (i, k) soit prolongé de σ semaines. Cette prolongation entraînera une violation de la contrainte intra-site couplante si et seulement si :

w1(i⁰, k⁰) ≤ w1(i, k) + OD_ik+ d2+ σ .

Définition 1 (Fonctions wr). Nous introduisons ici afin de simplifier les notations les fonctions wr_ik, tels que : wr_ik(w, d) = w + OD_ik+ d + σ

OD_I2(i)k0 production Unité I₂(i) Unité i production ODik σ d2 Violation de la contrainte wrik(w, d2) w1(i, k)

Figure 4.11: Contrainte intra-site couplante

Définition 2 (Variables r_ik). Nous introduisons pour chaque unité i et cycle k une variable r_i,k telles que r_i,k ≥ 1 si les décisions d’arrêts actuelles entraînent une violation de la contrainte couplante intra-site en cas d’une prolongation on de σ semaines de l’arrêt k de l’unité i

Définition 3 (Ensemble d’indices S_ikw). Afin de simplifier les notations nous introduisons également un nouvel ensemble d’indices d’arcs que nous utiliserons dans la suite de cette section : soit S_ikw l’ensemble des indices des arcs d’arrêts correspondant à la décision de débuter l’arrêt du cycle k de l’unité i au début de la semaine w i.e. S_ikw = {(u, v) ∈ O_ik|w₁((u, v)) = w}.

La propriété suivante découle de la définition et sera utilisée par la suite :

Proposition 3.

X

(u,v)∈S_ikw

δ_(u,v)≤ 1 ∀i, k, w

Démonstration. Elle correspond simplement au fait qu’un arrêt ne peut être planifié qu’une fois.

Proposition 4. La variable r_i,k être définie par l’égalité suivante : r_ik= max w    X (u,v)∈Sikw δ_(u,v)− 1 + ^X (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v)    ∀i, k

Démonstration. La contrainte intra-site couplante impose qu’il n’y ait pas plus d’un arrêt en cours à chaque semaine d’où :

X (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v)≤ 1 ∀i, k, σ Alors : • ∀w, w 6= w₁(i, k), ⇒ P (u,v)∈S_ikw δ_(u,v) = 0 ⇒ P (u,v)∈S_ikw δ_(u,v)− 1 + P (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v) ≤ 0 • Pour w = w₁(i, k), il y a risque de violation lorsqu’un arrêt (I₂(i), k⁰) débute dans la zone de

prolongation possible de l’arrêt (i, k) i.e. w₁(I2(i), k⁰) ≤ wrik(w, d2), or : w₁(I₂(i), k⁰) ≤ wr_ik(w, d₂)) ⇔ P

(u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)}

δ_(u,v)= 1 ⇔ r_ik = 1

Soit C_i^k la variable aléatoire égale à 1 si l’arrêt k de l’unité i est prolongé d’au moins σ semaines et égale à 0 sinon. Puisque nous avons supposé la prolongation des arrêts indépendants les Ck

i sont indépendants. Soit B_i^k la variable aléatoire égale à 1 si la prolongation de l’arrêt k de l’unité i a

entraîné une violation de la contrainte couplante du cycle.

Par définition : C_i^k= 

1 avec une probabilité de p 0 avec une probabilité de 1 − p Et par définition de r_ik : B_i^k=



C_i^k si r_ik= 1 0 si r_ik = 0

Proposition 5 (Probabilité qu’aucune contrainte intra-site couplante ne soit violée). La probabilité qu’aucune contrainte intra-site couplante ne soit violée est donnée par :

P(Bi^k= 0 ∀i, k) = (1 − p)^Pikrik

Démonstration. Soit (i, k) un arrêt donné et (I₂, k⁰) un arrêt de l’unité couplée à i : P(B^ki ∩ B^k_I⁰ 2(i)) = ( P(C^ki ∩ C^k_I⁰ 2(i)) si r_ik= r_I2(i)k0 = 1 0 si r_ik= 0 ou r_I2(i)k0 = 0 = P(Bik)P(Bi0k0)

Donc B_ik et B_i0k0 sont indépendants. Ainsi : P(Bi^k= 0 ∀i, k) =^Y ik P(B^ki = 0) =   Y ik|rik=0 1     Y ik|rik=1 P(Cik)   = (1 − p)^Pikr_ik

Proposition 6 (Contrainte assurant une probabilité maximale de violation). On peut alors borner par une valeur P_min la probabilité qu’une contrainte intra-site couplante soit violée, en ajoutant la contrainte suivante à notre modèle :

X

ik

r_ik ≤ ^{ln(1 − Pmin)}

ln(1 − p) ^(4.46)

Démonstration.

P(∃(i, k)|Bi^k = 1) ≤ P_min⇔ 1 − P(Bi^k= 0 ∀i, k) ≤ P_min ⇔ (1 − p)^Pikrik ≥ 1 − P_min ⇔ e^Pikrikln(1−p)≥ 1 − P_min ⇔^X ik r_ik≤ ^{ln(1 − Pmin)} ln(1 − p)

Contraintes intra-sites additionnelles pour les sites à quatre unités Pour un site com-prenant quatre unités nucléaires, une contrainte additionnelle s’ajoute aux contraintes intra-sites couplantes, imposées à chaque couple d’unités. Cette contrainte impose un espacement minimum de d4 semaines entre la fin de l’arrêt d’une unité nucléaire et le début de l’arrêt d’une des deux unités du site n’étant pas couplées à celle-ci. Il est possible d’appliquer la même méthodologie que pour les sites à deux unités sous la condition :

Hypothèse 6. 0 ≤ d₂− d₄ ≤ σ + d₂− d₄ ≤ min

ik (OD_ik)

Cette hypothèse est cohérente avec les données actuelles du parc nucléaire pour une prolongation σ de une semaine que nous considérerons dans nos tests numériques. Nous introduisons l’ensemble I4(i) des indices des unités appartenant au même site que l’unité i, mais non couplées à i i.e. I₂(i) /∈ I₄(i).

Proposition 7. Soit un arrêt (i, k) du cycle k de l’unité nucléaire i, au plus un arrêt d’une des unités de I₄(i) ∪ I₂(i) est en cours entre la semaine w₁(i, k) + OD_ik et la semaine wr_ik(w, d₂) Démonstration. Le planning étant réalisable les contraintes intra-sites et intra-sites couplantes doivent être vérifiées donc il n’y a pas d’arrêt de I₄(i) en cours entre w₁(i, k) et wr_ik(w, d₄). Si un arrêt de I₄(i) démarre entre wrik(w, d4) et wr(i, k, d2, σ) alors il est toujours en cours durant la semaine wr_ik(w, d₂) donc aucun arrêt de I₂(i) ne peut démarrer durant cette période.

Corollaire 1. La prolongation d’un arrêt de σ semaines ne peut entraîner la violation simultanée d’une contrainte intra-site couplante et intra-site.

Le corollaire précédent nous permet d’appliquer la même méthodologie que pour les sites ne compre-nant que deux unités nucléaires en ajoutant un terme à la définition des variables r_ik correspondant à la violation de la contrainte intra-site d’une unité :

r_ik = max w   X (u,v)∈Sikw δ_(u,v)− 1 + ^X (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v)+ ^X (u,v)∈O_{I4(i),wrik(w,d4)} δ_(u,v)  

Ici aussi le premier terme n’est égale à 1 que pour la semaine correspondant au début de l’arrêt (i, k) et les deux autres termes ne sont égaux à 1 que si un arrêt se trouve planifié à une date entraînant la violation d’une contrainte en cas de prolongation de l’arrêt (i, k) de σ semaines. Le corollaire précédent assure que les deux derniers termes ne peuvent être égaux à 1 simultanément.

De nouveau, la probabilité qu’aucune violation ne produise pour le site est donnée par :

P(Bik = 0 ∀i, k) = (1 − p)^Pikrik

et nous pouvons définir le même type de contraintes (4.46) bornant le nombre de r_ik non nulles en fonction du pourcentage de violation maximal autorisé.

Nous pouvons écrire le modèle probabiliste ne comprenant que des sites à 2 ou 4 unités nucléaires. Introduisons S₂ (resp. S₄) l’ensemble des indices des unités appartenant à un site comprenant deux (resp. quatre) unités nucléaires. De manière classique nous remplaçons les maxima dans la définition

des r_ik par un ensemble d’inégalités : min^X w C_w^ωp^ω_w (4.47) s.t (4.28) − (4.37) r_ik ≥ ^X (u,v)∈O_ikw1 δ_(u,v)− 1 + ^X (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v) ∀i ∈ S₂, w₁ (4.48) r_ik ≥ ^X (u,v)∈O_ikw1 δ_(u,v)− 1 + ^X (u,v)∈O_{I2(i),wrik(w,d2)} δ_(u,v)+ ^X (u,v)∈O_{I4(i),wrik(w,d4)} δ_(u,v) ∀i ∈ S₄, w₁ (4.49) X ik r_ik≤ ^{ln(1 − Pmin)} ln(1 − p) ^(4.50)

Cas du site à six unités Les contraintes de ce site ont un nombre de ressources égal à deux, ce qui complique fortement la linéarisation des contraintes probabilistes correspondantes. Cependant, ces contraintes représentent une version simplifiée des contraintes inter-sites dont la capacité est supérieure à deux en règle générale. Nous ne présentons pas de résultats numériques pour ce site. Toutefois, une preuve de la linéarisation des contraintes probabilistes associées est présentée en Annexe B. Celle-ci fait intervenir deux types de variables r_ik afin de tenir compte des probabilités de prolongation liées.