Application à la poursuite de code du système GPS

Les expérimentations sont réalisées sur des signaux GPS synthétiques ayant les mêmes caractéristiques que ceux du chapitre 3. C’est-à-dire que nous simulons l’évolution d’un

retard entre le satellite numéro 29 et l’antenne positionnée sur le toit du Laboratoire d’Analyse des Systèmes du Littoral, au jour 3 de la semaine GPS 1291 à 12 heures, 00 minute et 00 seconde. Les signaux L1 et L2 sont supposés de puissances identiques avec 51 dB.Hz pour L1 et pour L2. Les codes contenus dans chacun d’eux sont les mêmes et de fréquence 1.023 MHz. La fréquence d’échantillonnage du signal est fixée à 20 MHz. La durée de la fenêtre de travail est fixée à 1s soit 1000 échantillons. Le taux d’électrons libres dans l’atmosphère est fixé de manière à obtenir un décalage de 61 échantillons entre les ruptures des deux discriminants. Les positions des ruptures sont t∗

1 = {284,568,852} pour le signal L1 et t∗

2 = {223,507,791} pour le signal L2.

Dans le cas du signal GPS, on souhaite comparer la segmentation indépendante des discriminants sur les porteuses L1 et L2 avec la fusion des segmentations quand on a un a priori faible ou fort sur la valeur du décalage entre les ruptures. Les paramètres de la pénalisation, pour ces trois cas traités dans les paragraphes 4.6.4.1-4.6.4.3, sont donnés dans le tableau 4.9 suivant :

β d^a₂ σ₂^a Paragraphe 4.6.4.1 500 - -Paragraphe 4.6.4.2 500 -60 6.25 Paragraphe 4.6.4.3 500 -61 0.25

Tab. 4.9 – Valeurs des paramètres pour les différentes expérimentations

Dans ces expérimentations, les valeurs de β sont fixées pour que la distribution du nombre de segments détectés soit le nombre réel de segments présents (3 segments). 4.6.4.1 Segmentation indépendante des discriminants de L1 et L2

Nous réalisons dans un premier temps la segmentation des signaux L1 et L2 séparé-ment. Nous présentons sur la figure 4.12 la distribution empirique des ruptures détectées. Le tableau 4.10 indique les valeurs des critères utilisés précédemment. A partir des dis-criminants segmentés, il est possible de déterminer l’évolution du retard. En effet, les segments mis bout à bout permettent de reconstruire l’évolution linéaire du discrimi-nant. Connaissant la valeur du discriminant en fonction du retard et du rapport signal à bruit, on détermine l’évolution de ce retard. On peut alors calculer l’évolution de la valeur de la pseudo-distance satellite-récepteur. On reporte dans le tableau 4.10, en plus des critères habituels, l’erreur quadratique moyenne entre la pseudo-distance estimée et la pseudo-distance réelle. Nous y inscrivons également la moyenne ainsi que la variance de l’écartement que l’on peut mesurer entre les deux signaux.

Nous constatons sur les distributions que les localisations sont centrées sur la position réelle des ruptures des signaux. Les probabilités et les valeurs obtenues pour chacun des critères permettront de comparer les résultats obtenus avec la fusion.

Le critère le plus important pour la localisation par un système GPS est l’estimation du retard et donc de la distance séparant un récepteur d’un satellite. Plus cette estimation est précise, meilleure est la détermination de la position du récepteur. L’avant-dernière colonne du tableau 4.10 indique l’erreur quadratique moyenne en mètres entre la pseudo-distance simulée et la pseudo-pseudo-distance estimée avec notre méthode. A titre d’information,

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L2 ms ms

Fig. 4.12 – Distributions de la position des ruptures pour la segmentation indépendante du signal GPS multi-porteuses Pt∗ j,1 Pt∗ j,1±3 Pt∗ j,2 Pt∗ j,2±3 σr MTD MDL PM EQM Décalage : distance mc(σ2 c) L1 0.14 0.78 0.16 0.74 0 2.82 558.22 0.06 2.49 0 L2 0.23 0.82 0.16 0.75 0 2.74 498.14 0.06 2.44 -60.17(28.05) Tab. 4.10 – Mesures des critères de performances pour la segmentation indépendante du signal GPS multi-porteuses

dans les récepteurs classiques l’écart-type de l’erreur sur la mesure de la pseudo-distance à la ms est de l’ordre de 40 m [DFF92].

4.6.4.2 Fusion-segmentation avec un a priori Gaussien "faible" sur le déca-lage des ruptures

Dans la méthode de fusion-segmentation développée, il est possible d’intégrer de l’in-formation a priori sur la valeur du décalage entre les positions des ruptures des différents signaux. Ce décalage, dans le cas des signaux discriminants GPS est fonction de l’état de l’ionosphère. Le message de navigation fournit des informations sur l’état de l’iono-sphère au moment de la réception des signaux. Une fois ce message acquis, on peut alors calculer la valeur du décalage induit par la traversée ionosphérique du signal GPS. Ces informations, approximatives, ne permettent pas de connaître précisément la valeur des décalages. On suppose donc que l’on a une distribution a priori Gaussienne, des déca-lages possibles, centrée sur la valeur d_e = 60. La variance de cette distribution est fixée à 6.25. On représente sur la figure 4.13, la distribution empirique des ruptures détectées.

On reporte dans le tableau 4.11 les résultats obtenus pour les différents critères. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L2 ms ms

Fig.4.13 – Distributions de la position des ruptures pour la fusion avec a priori faible du signal GPS multi-porteuses

On peut remarquer sur la figure 4.13 que l’amplitude des pics est plus grande et plus resserrée que lors de la segmentation indépendante. Les valeurs des probabilités inscrites dans le tableau 4.11 nous indiquent que la localisation est toujours meilleure sur la position théorique des ruptures, et autour de ces positions théoriques. Les temps moyens de détection MTD, ainsi que les MDL ont tous deux diminué. Finalement, on obtient une meilleure estimation de la pseudo-distance puisque l’erreur quadratique moyenne est plus faible. Dans la dernière colonne du tableau 4.11, on reporte le décalage estimé moyen. Le décalage réel étant de -61 échantillons, l’estimation est plus proche de la valeur réelle que dans le cas de la segmentation indépendante, et la dispersion autour de cette valeur moyenne est également moins importante.

P_t∗ j,1 P_t∗ j,1±3 P_t∗ j,2 P_t∗ j,2±3 σ_r MTD MDL PM EQM Décalage : distance mc(σ2 c) L1 0.78 1 0.34 1 0 1.18 350 0.06 2.33 0 L₂ 0.15 0.8 0.54 1 0 1.34 358 0.06 2.38 -60.35(2.25) Tab. 4.11 – Mesures des critères de performances pour la fusion avec a priori faible du signal GPS multi-porteuses

Les mesures réalisées ici montrent que la fusion des segmentations réalisée sur les discriminants de L₁ et L₂ permet d’améliorer les performances en terme de détection et localisation des ruptures sur chacun d’eux. On obtient donc une meilleure estimation

de la pseudo-distance et du décalage des codes qui permet de déterminer le retard de propagation ionosphérique.

4.6.4.3 Fusion-segmentation avec un a priori Gaussien "fort" sur le décalage des ruptures

On considère dans cette expérimentation que l’on a une "forte" confiance dans l’in-formation a priori dont on dispose. Dans ce cas, la distribution a priori Gaussienne est centrée sur la valeur du décalage réel, soit de = −61 avec un écart-type de 0.25. On repré-sente sur la figure 4.14 la distribution empirique des ruptures détectées. Le tableau 4.12 fournit les valeurs des critères obtenus pour cette expérimentation

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Probabilités Signal L2 ms ms

Fig. 4.14 – Distributions de la position des ruptures pour la fusion avec a priori fort du signal GPS multi-porteuses

Comparativement aux mesures où l’on a un a priori plus faible, on vient dans ce cas améliorer chacune des mesures de performances. Les distributions sont mieux centrées autour des positions théoriques des ruptures. Nous constatons alors que le fait d’avoir une bonne connaissance au préalable du décalage permet non seulement de mieux estimer ce décalage (meilleure moyenne et meilleure variance de l’estimation du décalage), mais également d’effectuer moins d’erreurs sur l’estimation de la pseudo-distance.

Les techniques de fusion-segmentation hors-ligne appliquées à la segmentation des dis-criminants de code du système GPS, permettent d’améliorer les performances par rapport à une segmentation indépendante des signaux. Cette conclusion reste vraie avec ou sans a priori sur les décalages entre les signaux. Enfin, par rapport à la méthode de segmen-tation présentée dans le chapitre 3, nous constatons une amélioration de l’estimation du retard. En revanche, la méthode d’optimisation implique des temps de calculs plus longs

Pt∗ j,1 Pt∗ j,1±3 Pt∗ j,2 Pt∗ j,2±3 σr MTD MDL PM EQM Décalage : distance mc(σ2 c) L₁ 0.76 0.99 0.48 1 0 0.84 332.3 0.06 2.31 0 L2 0.45 0.94 0.56 1 0 0.92 327.6 0.05 2.3 -60.89(0.56) Tab. 4.12 – Mesures des critères de performances pour la fusion avec a priori fort du signal GPS multi-porteuses

qu’un système de décision simple. Nous verrons dans le chapitre suivant l’application de ces différentes méthodes de segmentation au calcul de la position.

4.7 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre l’étude et la mise en œuvre d’une méthode de segmentation hors-ligne appliquée à la segmentation des discriminants de signaux GPS multi-porteuses. La méthode proposée repose sur l’approche bayésienne de la sélection de modèles qui consiste à construire une fonction de contraste pénalisée pour estimer les séquences de ruptures sur les signaux. Cette fonction est composée d’un terme d’attache aux données qui mesure la vraisemblance des mesures avec le modèle, et d’un terme de pénalisation construit à partir de l’information a priori dont on dispose sur les paramètres du modèle. Dans ce travail on trouve deux apports, d’une part l’utilisation de la segmen-tation hors-ligne multi-ruptures pour la poursuite du code GPS et d’autre part, l’étude et la mise en œuvre d’une fonction de contraste pénalisée pour la fusion d’informations présentes sur le signal GPS multi-porteuses.

En effet, la méthode est appliquée à la segmentation hors-ligne des discriminants d’un signal GPS multi-porteuses. Le discriminant d’un signal GPS est une mesure du retard entre un code généré localement et le code reçu. Elle permet de calculer la pseudo-distance satellite-récepteur. Pour cette application, on montre que l’on peut considérer l’évolution des discriminants linéaires par morceaux et que les ruptures des signaux discriminants de chaque porteuse, sont décalées d’une valeur constante. Le décalage des discriminants est provoqué par la traversée de l’ionosphère par le signal GPS. La valeur précise de ce paramètre est une information importante pour l’estimation du délai ionosphérique qui permet de corriger les mesures de pseudo-distances satellite-récepteur.

La fonction d’attache aux données est construite à partir du modèle statistique de l’évolution linéaire par morceaux du discriminant. La pénalisation est fonction de la connaissance a priori de la probabilité d’avoir une rupture à une certaine position du signal et de la probabilité d’avoir une certaine valeur de décalage. Finalement, la minimi-sation de la fonction de contraste pénalisée, déduite de l’estimateur MAP des séquences de ruptures et du décalage, nous fournit une estimation de ces deux grandeurs.

L’expérimentation présentée dans ce chapitre a été réalisée sur signaux synthétiques dans un cas idéal et dans un contexte réel pour des signaux GPS simulés. Quand les paramètres du modèle statistique sont connus, on montre que la fusion-segmentation par la méthode proposée permet d’estimer la séquence de rupture et le décalage avec plus de précision. On vérifie aussi que plus on dispose d’une information a priori précise sur la

valeur du décalage, plus les performances de la méthode augmentent.

En pratique, les paramètres statistiques du modèle peuvent être considérés connus dans certains cas particuliers, comme l’estimation de la position statique. Quand les paramètres sont inconnus, ils sont estimés sur le discriminant bruité et la segmentation est moins précise. On montre cependant que la fusion-segmentation offre de meilleures performances c’est-à-dire une estimation de la séquence de rupture et de décalage plus précise. On montre aussi que les performances de la méthode augmentent quand l’information a priori est plus fiable.

L’application de la méthode à un signal GPS synthétique simulé dans un contexte réel, a pour but de montrer la robustesse de la méthode. En effet, dans ce cas il existe des erreurs sur le modèle car le signal discriminant est faiblement non-linéaire et l’échantillonnage introduit une évolution du discriminant en escalier. On montre dans cette expérimentation que la fusion permet d’estimer la séquence de rupture et le décalage avec plus de précision. On montre aussi que l’erreur sur la pseudo-distance estimée diminue quand les signaux sont fusionnés. Finalement, la comparaison des résultats obtenus par la méthode proposée avec les résultats obtenus au chapitre 3 et par la technique classique, montre que la pseudo-distance et le décalage estimé sont plus précis. En revanche la méthode proposée a un coût calculatoire beaucoup plus important. Les travaux réalisés dans ce chapitre sont actuellement soumis à publication.

Applications au positionnement