Algorithme de positionnement des zones

Notre module pour le positionnement des zones propose à l’utilisateur deux modes de fonctionnement. Dans le premier mode, qualifié de mode automatique, nous déterminons un arbre de Steiner approché. Les zones intermédiaires ou Hubs susceptibles d’être implantées géographiquement dans la CLGC appartiennent à des surfaces de la forme de cercles, de

Algorithm : MST-STEINER

Input : A graph G = (V,E,w) and a terminal set L ⊂ V.

Output: A Steiner tree T.

1: Construct the metric closure G_L on the terminal set L. 2: Find an MST TL on GL.

3: T ←∅.

4: For each edge e= (u,v) ∈ E(T_L) do

4.1: Find a shortest path P from u to v on G. 4.2: If P contains less than two vertices in T then

Add P to T; Else

Let pi and pj be the first and the last vertices already in T; Add subpaths from u to p_i and from p_j to v to T.

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centres les points de Steiner, et de rayons réglables par le logisticien. A l’intérieur de ces surfaces, tout placement de zone est considéré optimisé. Nous appellerons cette surface : surface de Steiner. Le rayon du cercle est une valeur qui correspond à une relaxation que nous autorisons et qui permet de contourner des contraintes qui rendent impossible l’implantation de la zone exactement sur le point de Steiner trouvé (sans pour autant trop dégrader la solution).

Dans le deuxième mode, nous proposons à l’utilisateur un outil d’aide à la décision pour choisir, parmi un ensemble de zones d’appuis stratégiques préexistantes, la zone géographique et plus particulièrement la ville au niveau de laquelle il serait préférable d’installer la zone logistique. Cette étape va permettre de prendre en considération différents paramètres supplémentaires fixés par les experts logisticiens, dans le choix de la localisation de la zone. Nous montrons que cette approche permet la prise en compte de l’expertise humaine et de facteurs géographiques, politiques et économiques.

IV.2.3.1 Algorithme de Steiner : vers la création dynamique de la CLGC

Nous travaillons sur un ensemble donné P constitué de N points. P = {P1, P2, …, PN}

Chaque point est entièrement caractérisé par ses coordonnées. Ces coordonnées représentent respectivement la latitude et la longitude du point.

P_i = (u_i, v_i)

Le problème consiste à relier les points de P en utilisant si nécessaires des points extérieurs à P. Ces points sont ce qu’on appelle des points de Steiner et ils appartiennent à l’ensemble S. La théorie de Steiner montre que l’ensemble S est de cardinalité maximale N-2.

S = {S₁, S₂, …, S_N-2}

La difficulté du problème réside dans le nombre et la position des points de S, et donc dans la recherche des coordonnées de chacun des points de S. La construction de ces points de S nécessite l’utilisation de points intermédiaires Xi.

Si = (ui, vi), Xi = (xi, yi)

L’algorithme de Steiner retourne une zone surfacique sous forme d’un cercle, et de rayon R réglable, au cours de la crise, pour agrandir ou diminuer la surface optimisée selon la situation sur le terrain. Ce paramètre est contrôlé par le logisticien en se basant sur les historiques des opérations de déploiement en cas de crise.

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On commence de la même façon que pour Kruskal : on initialise une forêt et une matrice des distances. On sélectionne ensuite la représentation des deux arbres les plus proches et on les réunifie avec la méthode de Zelikovsky. On recommence ensuite sur la nouvelle forêt jusqu’à unification totale.

Vu qu’on recherche à contraindre la complexité à O(N²) on va se limiter dans le choix des représentations. Ces dernières seront :

- Les points S construits lors de la dernière réunification,

- Les extrémités du chemin utilisé si la réunification n’a pas construit de points S, - Le point P s’il est isolé,

De cette façon à chaque instant chaque arbre de la forêt est représenté par 2 points au maximum. Ainsi on ne va construire que des arbres de Steiner à 4, 3 ou 2 points.

Figure IV. 6 Algorithme général

- Actualiser les distances pour la matrice

Le calcul ne se fait pas comme dans l’algorithme de Kruskal par la méthode du plus court chemin. Il se fait comme dans l’algorithme de Zelikovski. C'est-à-dire qu’on considère la distance entre deux arbres comme la somme des longueurs de l’arbre de Steiner qui permettrait sa réunification, à laquelle on retire la longueur des boucles. Finalement pour calculer la distance qui sépare l’arbre nouvellement créé des anciens arbres de la forêt, nous construisons l’arbre de Steiner qui nous servira lors de la prochaine phase de réunification. Ce qui explique pourquoi cette phase de réunification n’est qu’une initialisation des représentations pour les prochaines itérations.

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Figure IV. 7 Algorithme pour Actualiser les distances

Figure IV. 8 Algorithme pour Réunifier les arbres

- Construction de l’arbre 1-S

Géométriquement, cet arbre de Steiner est le plus simple. Il suffit alors de placer correctement le point S. Pour cela on distingue différents cas, et on appelle les sommets du triangle formé par des représentations A, B et C. On utilise ensuite la réduction de Melzak (Melzak, 1961) pour placer le point S.

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Figure IV. 9 Algorithme de construction de l’arbre 1-S

- Construction de l’arbre 2-S

On utilise encore une fois la réduction de Melzak. Nous partons d’un ensemble de 4 points A, B, C et D. Nous construisons 2 couples de points X, soit 4 points. Nous mesurons ensuite les distances entre ces deux couples et on ne gardera que le cas le plus favorable.

Figure IV. 10 Algorithme de construction de l’arbre 2-S

IV.2.3.2 Aide au positionnement : le mode discret

L’objectif de ce mode de fonctionnement est d’améliorer le soutien logistique des forces déployées à l’étranger, en facilitant la gestion des transports et la distribution des équipements aux endroits stratégiques du globe, et en favorisant le placement des bases logistiques intermédiaires à des lieux stratégiques.

Une brève étude sur le problème de l'emplacement des installations et leurs domaines d'application (le transport commercial, les télécommunications et les applications militaires) est donnée dans (Ghanmi et al., 2008). Une revue de la littérature sur les modèles discrets pour l’emplacement des installations, décrivant certaines contraintes telles que la capacité des installations, l’emplacement statique/dynamique des installations, peuvent être trouvés dans (Sibel et al., 2008).

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L'approche repose sur la mise en place d'une série de plates-formes permanentes et temporaires de soutien opérationnel à des endroits clés partout dans le monde.

Le choix de l’emplacement d’un Hub doit répondre aux conditions suivantes : - Proximité géographique aux zones de déploiement ;

- Un climat similaire à celui des zones de déploiement ;

- Infrastructure préexistantes disposant de véhicules de soutien et des installations de réparation de l’équipement ;

- Zone politiquement stable à l’appui de la distribution commerciale.

En se basant sur les critères précédents et en utilisant un ensemble d’indicateurs politico-éco-militaires, les forces armées ont pu identifier des régions d’appui stratégique dans le monde, qui seront favorisées lors de l’implantation des zones logistiques.

Disposant de n zones d’appuis stratégiques et d’une liste m de destinations de déploiement possibles, le modèle d’optimisation du placement des bases logistiques proposé doit donner: - L’emplacement (discret) des installations parmi les régions d’appuis stratégiques existantes ; - Le nombre d’installations.

Les régions d’appuis stratégiques sont évaluées selon les valeurs des variables de décision suivantes :

• h_i = nombre de personnel disponible / BL_i (Base Logistique);

• dij = distance de la BL i (et de la Métropole (i=0)) à la zone j ;

• N_ij = réseau routier, nombre de routes disponibles pour aller de la BL i vers la zone j ;

• Pij = nombre de ports disponibles ;

• Aij = nombre d’aéroports ;

• C_ij = réseau de communication ;

Ces variables sont soumises à certaines contraintes :

- Contrainte de distance : d_ij! K (K : distance en km fixée par EADS) ; - Contrainte de transport : Nij !0 (présence de liaison terrestre) ;

L’algorithme proposé calcule un indice de pertinence de chacune des zones d’appuis, à partir des valeurs des variables ci-dessus. L’indice de pertinence est le résultat d’une pondération entre toutes ces variables. Le logisticien aura la possibilité de donner plus d’importance à un critère donné, en augmentant sa pondération.