Algèbre générale

L'algèbre est une branche des mathématiques qui étudie :

• les opérations algébriques sur les nombres, constituant la branche de l'algèbre classique ; • les structures algébriques, sous le nom d'algèbre générale.

Dans cette section, nous nous concentrerons sur des concepts d'algèbre générale, principa- lement nécessaires à la compréhension du Chapitre 6. Néanmoins, nous commençons par introduire quelques notions d'algèbre classique permettant d'aborder plus facilement les concepts suivants.

2.2.1 Quelques rappels d'algèbre classique

Une motivation majeure de l'algèbre classique est la résolution d'équations polynomiales, c'est à dire des équations de la forme a0+ a1x + ... + an−1xn−1+ anxn = 0 où l'addition

(marquée par un signe +) et la multiplication (marquée par un signe ×) sont caractérisées par des propriétés fondamentales et des éléments particuliers, présentés dans la Table 2.1.

Propriété Addition Multiplication

Commutativité a + b = b + a a × b = b × a

Associativité (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c)

Distributivité* NON (a + b) × c = (a × c) + (b × c)

Élément neutre 0 car a + 0 = 0 + a = a 1 car a × 1 = 1 × a = a

Élément absorbant NON a × 0 = 0

Opération réciproque Soustraction, car (a + b) − b = a Division**, car (a × b) ÷ b = a

Table 2.1  Propriétés fondamentales de l'addition et de la multiplication. * La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. ** La division est l'opération réciproque de la multiplication pour les nombres diérents de son élément absorbant.

Plus généralement :

• une opération est commutative si l'ordre des termes peut être modié, sans changer le

résultat de l'opération (ligne 1, Table2.1) ;

• une opération est associative si l'ordre des calculs peut être modié en regroupant des

termes (entre parenthèses), sans changer le résultat de l'opération (ligne 2, Table2.1) ;

• une opération est distributive par rapport à une autre opération si elle peut être dis-

tribuée sur les autres termes liés par la seconde opération (ligne 3, Table2.1) ;

• l'élément neutre d'une opération est un nombre qui ne modie pas son résultat (ligne

4, Table2.1) ;

• l'élément absorbant d'une opération est un nombre qui est toujours le résultat de celle-

ci lorsqu'il est présent (ligne 5, Table2.1) ;

De nombreuses autres propriétés, telles que les identités remarquables par exemple, découlent de ces propriétés fondamentales et viennent enrichir les techniques opératoires.

2.2.2 Structures algébriques

L'algèbre générale permet d'étendre les propriétés de l'algèbre classique pour les appliquer à d'autres structures qu'aux nombres. Une structure algébrique est formée d'un ensemble, muni d'au moins une loi de composition et satisfaisant des axiomes propres à la structure. Une loi de composition peut être soit interne soit externe. Une loi de composition interne associe à deux éléments d'un unique ensemble, un élément du même ensemble. Une loi de composition externe associe à des éléments d'ensembles diérents, un élément de l'un des ensembles.

Exemple: L'addition et la multiplication (dans l'ensemble IN) sont des lois de composition internes, car le résultat de l'addition ou de la multiplication de deux entiers naturels est également un entier naturel. En revanche, la multiplication d'un vecteur par un nombre réel est une loi de composition externe ayant pour résultat un vecteur (le réel est alors appelé scalaire).

Monoïde

Un monoïde (X, ?) est un ensemble X muni d'une loi de composition interne associative ? et d'un élément neutre x. On appelle abélien (ou commutatif) un monoïde dont la loi de composition interne ? est également commutative, c'est-à-dire qu'elle satisfait a ? b = b ? a pour tous éléments a et b de X.

Groupe

Un groupe (G, ?) est un ensemble G muni d'une loi de composition interne associative ?, d'un élément neutre x et admettant un élément symétrique pour chaque élément de l'ensemble. Autrement dit, un groupe est un monoïde (G, ?) tel que pour tout élément a de G il existe un élément b de G tel que a ? b = b ? a = x où b est appelé le symétrique de a. Le symétrique est appelé opposé dans le cas où ? est l'addition, et inverse dans le cas où ? est la multiplication. On appelle abélien (ou commutatif) un groupe dont la loi de composition interne ? est également commutative.

Anneau

Un anneau (A, +, ×) est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + et ×, d'un élément neutre pour chacune des deux lois et tel que :

• (A, ×)est un monoïde ;

• la loi × est distributive par rapport à +.

On appelle abélien (ou commutatif) un anneau dont la loi de composition interne × est également commutative.

Exemple: L'ensemble Z, muni des opérations d'addition et de multiplication usuelles, est un anneau commutatif.

Corps

Un corps (K, +, ×) est un anneau commutatif pour lequel l'ensemble des éléments non nuls forme un groupe muni de la loi de composition interne ×. Tout élément non nul d'un corps a donc un inverse (en plus d'avoir un opposé de par la structure d'anneau). On appelle abélien (ou commutatif) un corps dont l'ensemble des éléments non nuls forme un groupe commutatif muni de la loi de composition interne ×.

Exemple: L'ensemble IR, muni des opérations d'addition et de multiplication usuelles, est un corps commutatif.

Espace vectoriel

Soient un corps (K, +, ×) et un ensemble non vide E muni d'une loi de composition interne +(appelée somme vectorielle) et d'une loi de composition externe · (appelée multiplication par un scalaire).

L'ensemble E est un espace vectoriel sur K si :

• (E, +)est un groupe abélien dont l'élément neutre est appelé vecteur nul ;

• la loi · est distributive à gauche par rapport à la loi + de E : pour tout λ ∈ K et pour

tous x, y ∈ E, λ · (x + y) = (λ · x) + (λ · y) ;

• la loi · est distributive à droite par rapport à la loi + de K : pour tous λ, µ ∈ K et

pour tout x ∈ E, (λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x)

• la loi · est associative par rapport à la loi × de K : pour tous λ, µ ∈ K et pour tout

x ∈ E, (λ × µ) · x = λ · (µ · x) ;

• l'élément neutre de K pour × (noté 1_K) est neutre à gauche pour · : pour tout x ∈ E,

1K· x = x.

On appelle les éléments de E des vecteurs et les éléments de K des scalaires.

Exemple: Pour tout n ∈ IN∗+_{, l'ensemble des n-uplets éléments de K forme un espace}

vectoriel de dimension n sur K (noté Kn_{). Ainsi, chaque élément de K}n _{est de la forme}

Module

La notion de module généralise la dénition des espaces vectoriels : pour un module, l'en- semble des scalaires forme simplement un anneau. Ainsi, soient un ensemble non vide M et un anneau (A, +, ×). On note (M, +, ·) l'ensemble M muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe ·. On distingue un module à gauche, d'un module à droite. L'ensemble M est un module à gauche sur A si :

• (M, +)est un groupe abélien ;

• la loi · est distributive à gauche par rapport à la loi + de M : pour tout a ∈ A et pour

tous x, y ∈ M, a · (x + y) = (a · x) + (a · y) ;

• la loi · est distributive à droite par rapport à la loi + de A : pour tous a, b ∈ A et pour

tout x ∈ M, (a + b) · x = (a · x) + (b · x) ;

• la loi · est associative de gauche à droite par rapport à la loi × de A : pour tous a, b ∈ A

et pour tout x ∈ M, (a × b) · x = a · (b · x) ;

• l'élément neutre de A pour × (noté 1_A) est neutre à gauche pour · : pour tout x ∈ M,

1A· x = x.

Ce qui distingue un module à droite sur A d'un module à gauche est uniquement que la loi · est associative de droite à gauche par rapport à la loi × de A : pour tous a, b ∈ A et pour tout x ∈ M, (a × b) · x = b · (a · x). Si l'anneau A est commutatif, pour tous a, b ∈ A, a × b = b × a et donc les modules à gauche et à droite sur A sont égaux. Dans ce cas, on parle alors simplement de module sur A.

Exemple: L'ensemble des vecteurs du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs forme un module sur Z.