a. Agent Vache

i. Détermination du nombre d’oocystes viables infectieux initial

Cet agent est définit, tout d’abord, par son Etat d’ImmunoCompétence (EIC) qui représente l’état de santé du bovin. L’EIC varie entre 0 et 1.

Le nombre maximum d’oocystes pouvant se trouver dans l’organisme de la vache

( ) et le nombre d’oocystes viables infectieux portés ( ) sont

également des variables caractérisant l’état du bovin.

Dans un premier temps, le seuil est fixé aléatoirement en

fonction de l’EIC. Nous considérons que la vache peut porter un maximum de 10⁸ oocystes (AFSSA 2: Derouin, Beaudeau, Pouillot, & Roze, 2002).

Équation II.11

représente la quantité minimale d’oocystes présents dans l’organisme pouvant constituer le seuil.

est une loi binomiale de paramètre n, quantité maximale d'oocystes pouvant être portés par une vache (ici 10⁸), et de paramètre p, nombre d’oocystes infectieux en fonction de l'EIC (1-EIC).

1 2 4 | P a g e Une seconde étape consiste à attribuer à l’organisme du bovin un nombre initial de parasites viables ( ) évaluée en fonction du nombre d’oocystes défini par l’expérimentateur au temps t0 ( ).

Équation II.12

Puis, nous déterminons le nombre d’oocystes viables infectieux ( ) par la soustraction de la quantité d’oocystes viables non infectieux à la quantité totale d’oocystes viables . La part d’oocystes non infectieux est calculée par le rapport avec p, valeur aléatoire comprise entre 0 et 1, et r, la probabilité qu’un oocyste provoque une infection qui est fonction de l’EIC (AFSSA 2: Derouin, Beaudeau, Pouillot, & Roze, 2002).

Soit p Є [0,1] valeur aléatoire, alors :

r étant définit par l’Équation II.4.

Puis il nécessaire de déterminer si la maladie se déclenche ou non et si la dose ingérée est mortelle ou non.

ii. Détermination du déclenchement de la maladie

Nous cherchons à savoir si l'individu parasité déclenche ou non une cryptosporidiose après ingestion d'oocystes.

Soit p, une valeur aléatoire, si p est inférieur à la probabilité de développer la maladie pour un EIC donné (Équation II.5) et que l'individu n'a jamais été malade, alors la maladie se déclenche.

1 2 5 | P a g e

iii. Détermination si la dose ingérée est létale

La dose ingérée est définie comme mortelle aléatoirement en fonction de l’EIC de la vache (plus l’EIC est faible, plus la probabilité que la dose soit mortelle est grande).

Soit p, une valeur aléatoire, si p est inférieur ou égal à l'EIC majoré ((0,2-EIC)*5≥°p) alors la dose ingérée est considérée comme mortelle.

iv. Evolution du nombre d’oocystes présent dans l’organisme des bovins

Une fois la dose ingérée, la quantité d’oocystes évolue différemment selon l’EIC de l’hôte. Une vache malade peut guérir si nous supposons que la dose ingérée n’est pas létale même si elle atteint le nombre maximum d’oocystes portés. Par contre, une vache meurt si la dose ingérée est létale et qu’elle atteint le nombre maximum d’oocystes pouvant être portés. Nous considérons qu’une vache ne peut plus être malade si elle l’a déjà été.

Pour calculer l’évolution de la quantité d’oocystes viables infectieux dans l’organisme des bovins, nous faisons appel à une loi d’évolution classique de population énoncée par Thomas Malthus (Essai sur le principe de population, 1798). Le principe est de considérer que la vitesse de croissance est, à tout moment, proportionnelle à son effectif présent. Nous introduisons la constante k qui exprime le pourcentage d’augmentation de l’effectif, pendant la période considérée (si l’augmentation à été de 25%, alors k=1,25). Un tel processus peut être formalisé (équation logistique) en comparant l’effectif à ce qu’il deviendra ( ) au bout d’un temps donné (défini comme unitaire) :

Nous pourrons connaître l’effectif de la population à l’échéance de la période suivante, de même durée , en repartant de la nouvelle valeur :

1 2 6 | P a g e Et ainsi, nous en déduisons l’effectif n au temps t ( ) en fonction de celui au

temps t-1 ( ) :

L’accroissement de la population pendant le temps est donc :

Ces accroissements de population sont observés pendant une période de temps unitaire . Si celle-ci avait une durée deux fois plus élevée, les valeurs obtenues pour , , etc. seraient elles mêmes deux fois plus élevées. De sorte que nous pouvons écrire :

Soit, en considérant n’importe quelle population initiale :

En passant des différences finies aux différentielles :

D’où :

1 2 7 | P a g e Nous obtenons donc une croissance exponentielle aussi connue sous le nom de croissance malthusienne.

Dans notre cas, nous voulons calculer l’évolution de la population d’oocystes viables infectieux à un instant t, . De la même manière, nous avons :

Équation II.13

Il faut alors définir afin d’obtenir une augmentation en accord avec la croissance du parasite dans l’organisme. Nous avons vu dans le schéma du comportement du système à partir de l’évolution des bovins lors d’une simulation (Figure II.4) que nous considérons deux cas d’évolution du nombre de parasites. Si le bovin est « malade » alors le parasite se développe, par contre, si le bovin entre en « rémission », son organisme élimine les oocystes et le nombre de parasites diminue. Nous avons donc :

Si le bovin est malade, alors et nous définissons Si le bovin est en rémission, alors et nous définissons est d’abord défini en fonction du :

Le bovin est malade : plus le laps de temps est long (i.e. est grand), plus la population est grande (i.e. est supérieur à 1).

Le bovin est en rémission : plus le laps de temps est long (i.e. est grand), plus la population diminue (i.e. tend vers 0).

 D’où plus est grand plus est grand également indépendamment du cas

considéré, malade ou en rémission.

De plus, la croissance du parasite est fonction de l’état immunitaire de l’individu concerné. doit donc également dépendre de l’EIC :

Le bovin est malade : plus l’état de santé d’un bovin est considéré comme bon (i.e. l’EIC est grand), plus la croissance du parasite est ralentie (i.e. tend vers 1 → est petit).

1 2 8 | P a g e Le bovin est en rémission : plus l’état de santé d’un bovin est considéré comme bon (i.e. l’EIC est grand), plus l’élimination du parasite est rapide (i.e. tend vers 0 → est grand).

 Deux cas sont donc à prendre en compte. Selon que l’animal soit malade ou en

rémission, doit évoluer de façon opposée.

Nous avons défini afin qu’il évolue selon ces critères :

Ainsi, pour un constant, augmente si augmente. Pour un constant, nous définissons tel que :

Le bovin est malade : alors plus l’EIC est grand plus est

petit.

Le bovin est en rémission: alors plus l’EIC est grand plus est grand.

D’une manière générale, nous avons donc :

 Si l’animal est malade, le nombre d’oocystes augmente :

Équation II.14

 Sinon, il diminue :

Équation II.15 v. Détermination de la mort de la vache

Si l'animal est malade, si le nombre d'oocystes portés par l'animal est supérieur au nombre maximum d'oocystes pouvant être portés et si la dose est considérée comme létale, alors l'animal meurt.

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vi. Détermination de la guérison de la vache

Si l'animal est malade, si le nombre d'oocystes portés par l'animal a atteint le nombre maximum d'oocystes pouvant être portés et si la dose n'est pas considérée comme létale, alors l'animal guérit.