Des travaux de recherche se sont intéressés à l’affectation multi-périodes sans prendre en compte la dynamique de la compétence. La modélisation des tâches et l’ordonnancement des tâches peuvent être considérées.
3.3.1 Minimisation des coûts d'affectation sur de multiples périodes
[Miller et Franz, 1996] proposent une formulation du problème multi-périodes considérant l’affectation m tâches à n acteurs pendant K périodes. Ce problème nous permet de constater l’apparition de l’indice k représentant la période et permettant d’affecter des tâches aux ressources sur plusieurs périodes.
La fonction objectif proposée est la suivante :
1 1 1 Minimiser ( ou Maximiser)= K n m ijk ijk k j i c x = = =
¦¦¦
1 1, 1,..., , 1,..., (1) m ijk i x j n k K = = ∀ = ∀ =¦
1 , 1,..., , 1,..., (2) n ijk ik j x ≤r i m k K ≥ = = ∀ = ∀ =¦
1 , 1,..., , 1,..., (3) K ijk ij k x s i m j n = = ∀ = ∀ =¦
La fonction objectif de ce problème de programmation linéaire a pour but de maximiser les bénéfices ou de minimiser les coûts de l’affectation, où le coefficient d’affectation est défini par la valeurc . Les variables de décision binaires ijk x sont dépendantes de la période. Si ijk
l’acteur i est affecté à la tâche j durant la période k, alors x vaut 1, 0 sinon. La première ijk
contrainte (1), liée à la charge du personnel, assure que chaque acteur est affecté à une tâche pendant la période considérée. La deuxième contrainte (2), liée à la tâche, assure que chaque tâche i est réalisée par un certain nombre d’acteurs demandés pendant la période k considérée. La variable r est le nombre d’acteurs nécessaire pour assurer la réalisation de la tâche iik
durant la période k. La troisième contrainte (3), liée également à la tâche, assure que le nombre de périodes que l’acteur j travaille sur la tâche i ne dépasse pas le nombre de périodes demandé. La variable s représente le nombre de périodes demandé pour réaliser la tâche iij
par l’acteur j.
Même si ce travail permet d’affecter des tâches aux ressources sur plusieurs périodes (K), il ne modélise pas les compétences. La modélisation dynamique des compétences n’a donc pas été étudiée.
Chapitre 3. Etat de l’art sur le problème d'affectation
3.3.2 Minimisation de la durée totale du projet
Les périodes d’affectation des tâches étant multiples, la deuxième catégorie de travaux traite le problème d’allocation des ressources et le problème d’ordonnancement des tâches.
L’ordonnancement des activités a été reconnu comme un élément clé dans la gestion de projet. On parle encore de planification opérationnelle [Giard, 1991]. La définition de l’ordonnancement est une programmation des tâches et des ressources nécessaires à leur exécution. La formulation du problème d’ordonnancement est différente selon les contraintes utilisées. Les contraintes classiques de l’ordonnancement de projet peuvent être liées au temps (la date d’achèvement du projet, les différents retards) ou / et liées aux ressources (la quantité totale de ressources nécessaires pour réaliser un ensemble de tâches, la capacité de chaque ressource). Simultanément à l’ordonnancement des tâches, il faut considérer la disponibilité des ressources humaines, afin d’éviter une situation où l’ordonnancement des tâches est optimal, mais avec des ressources inadéquates [Coates et al., 2004].
[Grabot, 2008] recense les contraintes principales découlant d'une gestion des compétences pour l'ordonnancement. L'auteur constate qu'une meilleure formalisation des compétences des individus est une condition à une modélisation plus précise des contraintes permettant la prise en compte des personnes dans l'atelier.
Tout d’abord, nous présentons le problème de gestion de projet à contraintes de ressources (Resource Constrained Project Scheduling Problem-RCPSP). Ce problème est largement étudié dans la littérature [Lopez et Roubellat, 2001], [Baptiste et al., 2005], [Chen et Askin, 2009] . Ce problème consiste en l’ordonnancement de tâches, également appelées activités ou opérations, sur des ressources renouvelables en quantité limitée. Ce problème ne prend pas en compte la compétence. Les tâches sont liées entre elles par des relations de précédence, ce qui signifie que la tâche i ne peut pas commencer tant que la tâche j n’est pas finie. Il s’agit de trouver une solution qui minimise la date de fin du projet, en respectant à la fois les contraintes de précédence et les contraintes de ressources, ce qui signifie qu'à tout instant, la somme des besoins des tâches en cours d’exécution ne doit pas dépasser la capacité de la ressource. Une extension possible du problème est de le formuler en multi-projets. Il s’agit ici de considérer un environnement constitué de plusieurs projets devant s’effectuer au moins partiellement en parallèle. Le problème revient à affecter tout ou partie des ressources nécessaires à chaque projet, puis à minimiser le coût d’exécution des projets.
Chapitre 3. Etat de l’art sur le problème d'affectation
Certains travaux se basant sur le problème RCPSP tiennent compte de la compétence. [Bellenguez-Morineau, 2006], [Drezet et Baillaut, 2008] se sont intéressés aux problèmes d'ordonnancement de projets avec des ressources multi-compétences (En Anglais, MSPSP, Multi-skill Project Scheduling Problem). Le modèle de Bellenguez est inspiré par le problème de gestion de projet à contrainte de ressources classique (RCPSP), ce travail se situe dans la phase d’ordonnancement. Chacune des personnes affectées maîtrise une ou plusieurs compétences parmi celles nécessaires aux tâches du projet. Le but de ce modèle est de
minimiser la durée totale ou la date d’achèvement global du projet (Cmax). L’évaluation
obtenue à l’aide de ce critère sert en particulier dans les phases d’avant-vente, c'est-à-dire au cours des négociations avec le client.
Modélisation des compétences dans le problème MSPSP :
- Le projet se compose d’un ensemble d’activitésA ii, ∈
{
0,...,n}
, liées par des contraintes de précédence de type fin-début.- Les ressources considérées pour l’exécution de ce projet sont des personnesPm,
{
0,...,}
m∈ M .
- Chaque personne P peut posséder une ou plusieurs compétencesm S kk, ∈
{
0,...,K}
, la valeurMSm k, est une variable binaire de compétence (ou qualification) de la personnem pour la tâche i. SiMSm k, = , la personne1 P maîtrise la compétencem S , et 0 sinon. k
- Pour chaque activité A et chaque compétencei S , il existe une donnée k b qui est i k,
égale au nombre de personnes qui devront exercer la compétence S lors de k
l’exécution de l’activitéA . La valeur i b est nulle si la compétence i k, S n’est pas k
nécessaire pour l’activitéA . i
FIG. 3.2 : Exemple d’un graphe de précédence et une solution optimale de l’ordonnancement [Bellenguez-Morineau, 2006]
Ce travail traite deux types de problèmes en même temps : le problème d’ordonnancement des tâches et le problème d’affectation des tâches à des ressources. Pour ce qui nous intéresse les affectations réalisées prennent en compte les compétences acquises par les acteurs.
Chapitre 3. Etat de l’art sur le problème d'affectation
du projet). Même si le problème d’affectation est formulé de manière multi-périodes, l'utilisation des compétences des ressources et l’évolution de leurs compétences n’ont pas été prises en considération. Selon [Grabot, 2008], dans la plupart des travaux de recherche comme dans les logiciels de simulation et d'ordonnancement, on fait l'hypothèse que les compétences/qualifications sont statiques. En effet, les variables de compétence sont binaires (qualification ou non) par analogie avec une ressource matérielle qui peut, ou non, réaliser une opération. Cette modélisation n'est pas suffisante. Une "ressource humaine" a la capacité d'apprendre. Une compétence peut être évaluée sur une échelle de valeur, autre que 0 et 1. Un acteur peut apprendre pour devenir compétent.
3.3.3 Minimisation de l’écart des références
[Corominas et al., 2006] proposent un modèle d’affectation multi-périodes dans un centre de fabrication, qui a pour but d’alterner des tâches pour les employés. Le modèle cherche à affecter des tâches aux ressources en respectant la valeur de référence du temps de travail pour chaque tâche (minimiser l’écart par rapport à la valeur de référence du temps de travail).
On suppose que le nombre de périodes consécutives d’affectation de chaque personne pour chaque type de tâche appartient à un intervalle entre un nombre de périodes consécutives minimum et un nombre maximum. Les nombres de périodes minimum et maximum sont définis pour que le personnel ne travaille pas toujours sur la même tâche. Un des avantages de l’alternance des tâches est qu’elle permet aux employés de se former sur différentes tâches.
Deux valeurs sont ajoutées au calcul du coût selon les conditions de l’affectation : valeur positive et valeur négative.
- une valeur positive (bonus) sera ajoutée dans la fonction de coût pour promouvoir une affectation afin que l’acteur i puisse atteindre le nombre de périodes consécutives minimum.
- une valeur négative (pénalité) sera ajoutée dans la fonction de coût pour pénaliser l’affectation où le nombre de périodes effectuées a déjà dépassé le nombre de périodes consécutives maximum.
Ce travail traite le problème d’alternance des tâches dans le but d'inciter les acteurs à réaliser différentes tâches et à pénaliser le coût du projet si ces affectations sont faites de manière trop répétitive. Le modèle d’affectation prend bien en compte les compétences mais les variables de compétence restent binaires. Le modèle vise à minimiser plutôt la déviation par rapport à la valeur de référence définissant un nombre de répétitions dans la réalisation des tâches. On peut constater que ce travail ne traite pas l’évolution des compétences même si le problème est formulé en multi-périodes.
3.3.4 Conclusion
Les travaux présentés dans cette partie concernent essentiellement l’affectation multi- périodes des tâches aux ressources sans évolution des compétences. Certains travaux présentés traitent aussi l’ordonnancement des tâches.
Dans tous les cas, les indices de la période modélisés dans cette partie servent uniquement pour l’affectation des tâches mais pas pour la modélisation dynamique des compétences. Autrement dit, à la fin de chaque affectation, les ressources humaines possèdent le même niveau de compétence qu’au début. Le niveau de compétence est souvent représenté
Chapitre 3. Etat de l’art sur le problème d'affectation
pauvrement par une variable binaire, par une analogie réductrice avec la modélisation des ressources matérielles.