États de polarisation

La valeur de DOP est égale à 0 lorsque le signal est complétement non polarisé et est égale à 1 lorsque le signal est complétement polarisé selon l’équation (1.2).

1.2 États de polarisation

Cette section de chapitre présente de façon détaillée la représentation mathématique et la représentation géométrique des états de polarisation (State of polarization, SOP).

1.2.1 Le vecteur Stokes

En raison des nombreux paramètres qui représentent mathématiquement les états de polarisation d’une onde lumineuse (p. ex. les amplitudes maximales EX0 et EY0, etc.),

l’interprétation et l’analyse de la nature et du comportement des états de polarisation d’un signal optique sont souvent sources de confusion d’après Hui et al. (2006, p.190). Le vecteur Stokes est l’outil mathématique le plus populaire qui permet de décrire efficacement la nature et le comportement des états de polarisation d’un signal optique et est déterminé par quatre paramètres indépendants désignés par les variables S0, S1, S2, S3. Chaque paramètre de

Stokes est égal à la puissance optique d’un état de polarisation particulier, ce qui signifie qu’il dépend des valeurs maximales de puissance Ex0 et EY0 des polarisations orthogonales et

de la valeur du retard de phase φ entre les modes de polarisation orthogonaux d’après Hui et al. (2006). Les équations (1.3 – 1.6) formulent le calcul de chacun des paramètres de Stokes à partir de l’équation (1.1).

= = | | + (1.3)

= | | − (1.4)

= 2| | cos (1.5)

= 2| | sin

Tirées de Hui et al. (2006, p.190)

(1.6)

Le paramètre S0 du vecteur Stokes est la puissance totale de l’onde lumineuse désignée par la

variable P composée de la puissance de la partie polarisée Ppolarisé et de la partie non

polarisée Pnon polarisé du signal optique. L’équation (1.7) décrit le calcul de la puissance

optique de la partie polarisée d’un signal optique à partir des paramètres de Stokes d’après Hui et al. (2006, p.190).

é = + + (1.7)

Le vecteur Stokes est normalisé en divisant les paramètres S1, S2, S3 par la puissance totale S0

pour caractériser correctement la nature et le comportement des états de polarisation du signal optique. L’équation (1.8) formule le calcul de normalisation des vecteurs Stokes selon Hui et al. (2006).

= = = (1.8)

L’équation (1.9) formule le calcul du degré de polarisation à partir des valeurs des paramètres de Stokes S1, S2, S3 d’après Hui et al. (2006).

De cette manière, les états de polarisation de la partie polarisée d’un signal optique sont toujours représentés par le vecteurs Stokes normalisé (s1, s2, s3) et par le degré de polarisation

DOP d’après Hui et al. (2006, p.191).

1.2.2 Représentation du vecteur Stokes sur la sphère de Poincaré

Les valeurs des paramètres s1, s2 et s3 du vecteur Stokes normalisé sont réelles et comprises

entre -1 et +1. Le vecteur Stokes normalisé s’insère dans un espace à trois dimensions appelée la sphère de Poincaré dont la norme est égale au degré de polarisation du signal optique et les unités des axes (s1, s2, s3) s’expriment en radian. L’extrémité du vecteur Stokes

se situe toujours sur la surface de la sphère lorsque le signal est complètement polarisé et se situe toujours à l’intérieure de la sphère lorsque le signal optique est partiellement polarisé. La figure 1.2 montre la représentation géométrique d’états de polarisation particuliers sur la sphère de Poincaré et illustrés préalablement à la figure 1.1.

Figure 1.2 États de polarisation représentés sur la sphère de Poincaré Adaptée de Cantrell (2004, p.33)

La polarisation est dite linéaire lorsque seul le paramètre S1 du vecteur Stokes est différent de

0. La polarisation est orientée de 45° lorsque seule la composante S2 n’est pas nulle. Enfin, la

polarisation du signal est dite circulaire lorsque seule la composante S3 est différente de 0.

Les valeurs des paramètres Stokes informent sur le sens de la rotation (vers la gauche ou vers la droite) ou sur la nature de polarisation (horizontale ou verticale). Si les valeurs des paramètres S1, S2 et S3 sont différents de 0, alors la polarisation est de nature elliptique (Voir

Figure 1.2). Les coordonnées polaires sphériques des états de polarisation sur la sphère de Poincaré sont constituées de la norme du vecteur Stokes, c’est-à-dire du degré de polarisation DOP, de l’angle azimutal ϕ et de l’angle polaire ε qui indiquent la direction de la polarisation du signal optique dans l’espace. Plus précisément, l’angle ϕ définit l’angle du vecteur Stokes dans le plan horizontal et l’angle polaire ε indique l’orientation elliptique de l’état de polarisation du signal optique (Voir Figure 1.2). Les équations (1.10 – 1.11) formulent le calcul de l’angle azimutal ϕ et le calcul de l’angle polaire ε. L’angle azimutal ϕ est compris entre 0 et 2π, alors que l’angle polaire ε s’étend entre –π/2 et π/2 selon Cantrell (2004).

2Φ = tan (1.10)

2ε = tan

+

(1.11)

1.2.3 Fluctuation des états de polarisation

Les fluctuations des états de polarisation sont des effets de polarisation pouvant dégrader la qualité de transmission d’un signal optique multiplexé en polarisation. Les valeurs des paramètres de Stokes (S1, S2, S3) correspondant aux états de polarisation peuvent fluctuer très

rapidement lors de la propagation du signal dans les liaisons optiques, spécialement celles déployées sur des installations aériennes d’après Chan (2010, p. 36). Les limites des systèmes de transmission à fibre optique dans le tracking des fluctuations rapides des états de polarisation du signal peuvent générer d’importantes erreurs de transmission d’après Chan (2010, p.30).

Bao et al. (2004) mentionne que les fluctuations des états de polarisation se manifestent par le déplacement angulaire entre deux vecteurs Stokes normalisées ( ) et ( ) enregistrés aux temps t1 et t2. Le déplacement par unité de temps définit la vitesse de rotation angulaire

de deux vecteurs Stokes exprimés en rad/ms et représenté par un arc sous-tendu sur la sphère de Poincaré. La figure 1.3 décrit l’arc sous-tendu entre deux vecteurs Stokes enregistrés aux temps t1 et t2 désignant la vitesse de rotation angulaire des états de polarisation du signal

optique transmis.

Figure 1.3 Représentation de la vitesse de rotation angulaire des états de polarisation sur la sphère de Poincaré

La vitesse de rotation angulaire des états de polarisation est représentée par un arc qui relie deux points sur la trajectoire des vecteurs Stokes sur la sphère de Poincaré (Voir Figure 1.3). L’équation (1.12) formalise le calcul de la vitesse de rotation angulaire des états de polarisation désignée par la variable adaptée de Bao et al. (2004).

= acos( ( ) . ( ) ) −

(1.12)

L’équation (1.12) est un outil mathématique très efficace pour la caractérisation des fluctuations des états de polarisation selon Bao et al. (2004) car celle-ci calcule précisément à la fois les fluctuations de l’angle azimut φ et de l’angle polaire ε sur la sphère de Poincaré.