Étape 2 : filtrage super gaussien des valeurs

<PDL> pour chaque seconde de mesure

Maurice O’sullivan (2012) a proposé trois méthodes de filtrage pour la réduction du bruit généré par le système de transmission optique. La première méthode de filtrage porte sur le lissage des mesures qui désigne une technique de filtrage temporel. Une moyenne glissante est appliquée sur les valeurs de <DGD> et de <PDL> pour réaliser cette première méthode de filtrage. La seconde méthode proposée est le filtrage super gaussien du spectre des valeurs de DGD et de PDL. La méthode de Welch définit la troisième méthode de filtrage proposée. Les résultats les plus concluants ont été obtenus par l’application du filtre super gaussien d’ordre 4. La méthode de filtrage sélectionnée définit ainsi le calcul de la convolution du filtre super gaussien d’ordre 4 appliqué sur la transformée de Fourier, c’est-à-dire le spectre, des valeurs de <DGD> et de <PDL>.

La figure 3.12 décrit la séquence de calcul du filtrage super gaussien appliqué sur les moyennes des valeurs de DGD et des valeurs de PDL mesurées avec le transpondeur cohérent sur le lien du réseau CANARIE et sur le lien du réseau Verizon pour chaque seconde de mesure.

Figure 3.12 Séquence de calcul du filtrage super gaussien de la transformée de Fourier des valeurs de <DGD> et de <PDL>

Des fonctions offertes par le module Signal Processing Toolbox ont été configurées pour chacune des étapes 2.1 à 2.4 décrites par la figure 3.12 dans le script Matlab (Voir ANNEXE XIX, p. 167).

La transformée de Fourier rapide a tout d’abord été calculée sur les valeurs de <DGD> et de <PDL> lors de l’étape 2.1 par l’application de la fonction fft dans Matlab. Soit la variable désignant la valeur de DGD ou de PDL à l’indice n et le nombre total N de valeurs mesurées, alors l’équation (3.4) décrit la formule de transformée de Fourier rapide selon Kreyszig et al. (2011, p.529).

( ) = × ( )( ) = × 1 ≤ ≤ (3.4)

L’équation (3.4) formule la somme de la multiplication d’une série de valeurs numériques par leurs coefficients respectifs à l’indice n selon l’équation (3.4). Les valeurs ( ) sont

les valeurs du spectre des valeurs de <DGD> et de <PDL> résultant du calcul de la transformée de Fourier et sont enregistrées dans une matrice complexe de N valeurs lors de l’étape de calcul 2.1 (Voir Figure 3.12).

La méthode de filtrage réalisée dans l’étape 2.2 consiste à sélectionner seulement les fréquences du spectre des valeurs de <DGD> et de <PDL> pour lesquelles leurs amplitudes sont les plus élevées. Les fréquences harmoniques les plus éloignées de la fréquence fondamentale ont été supprimées lors du filtrage super gaussien appliqué sur le spectre des valeurs de <DGD> et de <PDL>. La figure 3.13 présente la partie imaginaire du spectre des valeurs de <DGD> sur le lien du réseau Verizon après l’étape de calcul 2.1 (Voir Figure 3.12).

Figure 3.13 Partie imaginaire des valeurs de <DGD> sur le lien optique cohérent du réseau Verizon

La figure 3.13 montre que la limite à 500 Hz permet de sélectionner plus de 90 % des fréquences caractéristiques du spectre des valeurs de <DGD>. La largeur du filtre doit être suffisamment grande pour permettre la sélection de toutes les fréquences jusqu’à 500 Hz. Le filtre super gaussien d’ordre 4 permet aisément de réaliser cette technique de filtrage sur le spectre ( ) des valeurs de <DGD> et de <PDL> mesurées par le transpondeur cohérent. L’équation (3.5) présente la formule mathématique du filtre super gaussien d’ordre k.

( ) = × = 2 Tirée de Hui et al. (1991)

(3.5)

σ définit la bande passante du filtre super gaussien. Celle-ci définit la plage de sélection des fréquences du spectre ( ) des valeurs de <DGD> et de <PDL>. Afin que le bruit associé aux fréquences harmoniques puisse être quasi supprimé, un filtre super gaussien d’ordre 4 a été choisi. En effet, le filtre super gaussien d’ordre 4 sélectionne toutes les fréquences situées entre la fréquence fondamentale indiquée par la valeur (0) jusqu’à la fréquence de coupure correspondant à la valeur du spectre ( ). Ce filtre définit donc le moyen de cibler avec précision les basses fréquences du spectre ( ) des valeurs de <DGD> et de <PDL> mesurées par le transpondeur cohérent. L’équation (3.6) formule l’équation du filtre super gaussien d’ordre 4 déduite de l’équation (3.5).

La valeur caractéristique α est égale à la valeur de la bande passante σ du filtre super gaussien d’ordre 4 selon l’équation (3.6). Pour cette raison, il est facile de configurer avec précision la fréquence de coupure du filtre H(n) super gaussien d’ordre 4. Le choix de la valeur de l’écart type σ du filtre super gaussien est une décision importante en vue de la réalisation d’un filtrage de qualité. Plus la valeur α est faible, plus la bande passante du filtre dans le domaine spectrale est étroit (Voir Équation 3.5). Ce filtre doit lisser correctement les mesures tout en ne supprimant aucune des fluctuations caractéristiques des valeurs de <DGD> et de <PDL>. La valeur du paramètre est égale à 500 pour l’application d’un filtrage adapté du spectre des valeurs de <DGD> et du spectre des valeurs de <PDL> d’après l’équation 3.6. La figure 3.14 décrit le filtre super gaussien H(n) d’ordre 4 appliqué au spectre des valeurs de <DGD> et au spectre des valeurs de <PDL>.

Figure 3.14 Réponse spectrale du filtre super gaussien d’ordre 4

La convolution du filtre super gaussien d’ordre 4 et des valeurs du spectre des valeurs de <DGD> ou du spectre des valeurs de <PDL> est calculée en vue de la réduction du bruit des mesures selon Smith (1999) et telle qu’indiquée sur la figure 3.15. L’équation (3.7) formule le calcul de convolution ( ) des valeurs du spectre ( ) de <DGD> et de <PDL> et du filtre super gaussien ( ) d’ordre 4.

( ) = ( ) ∗ ( ) (3.7)

Les valeurs ( ) sont les valeurs du spectre filtré de <DGD> et de <PDL>. Le résultat de cette étape de calcul se présente sous la forme d’une matrice constituée des valeurs du spectre filtré ( ) de <DGD> et de <PDL>, désignées par la variable FFTh(<DGD>) et

par la variable FFTh(<PDL>) respectivement (Voir Figure 3.12).

L’inverse de la transformée de Fourier rapide est ensuite calculé sur les valeurs filtrées du spectre ( ) lors de l’étape de calcul 2.3. L’équation (3.8) formule le calcul de l’inverse de la transformé de Fourier rapide sur le spectre ( ) des valeurs de <DGD> et des valeurs de <PDL> filtrées adaptée de Kreyszig et al. (2011, p.530).

( ) = 1 ( ) ( )( ) = 1 ( ) (3.8)

Les valeurs ( ) sont les valeurs de <DGD> filtrées et les valeurs de <PDL> filtrées et sont enregistrées dans une matrice complexe lors de l’étape de calcul 2.3 (Voir figure 3.12). La dernière étape de calcul consiste à extraire la partie réelle des valeurs de <DGD> et de <PDL> filtrées et à sauvegarder ces valeurs à présent réelles et filtrées dans le domaine temporel (Voir figure 3.12).

3.5.1.3 Étape 3 : calcul de la fonction d’autocorrélation des valeurs de <DGD> filtrées