5.3.1 Algorithmes à tonalité simple : ATS
Les algorithmes à tonalité simple [34], [35] reposent sur des séquences à priori contenant un unique signal de transmission précédé et suivi de détections d’énergie. Une telle séquence d’action est décrite en Figure 5.5. La réalisation des détections suivant le signal peut être omise afin de diminuer la consommation d’énergie liée à la contention. La Figure 5.6 en apporte la justification et illustre la compétition de nœuds selon un algorithme à tonalité simple.
Dans cet exemple, le nœud 1 réalise tire la séquence à priori : seqpriori(1) = (D, D, D, T, D, D) Le nœud 2 tire :
seqpriori(2) = (D, T, D, D, D, D)
Le nœud 1 interrompt sa participation à partir de l’intervalle 2 de la fenêtre de contention. Il détecte en effet le signal de transmission émis par le nœud 2 dans l’intervalle 1. Tout
Figure 5.5 – Exemple de séquence à priori pour un algorithme à tonalité simple
Figure 5.6 – Compétition entre deux nœuds pour un algorithme à tonalité simple
autre nœud ayant détecté l’émission émanant du nœud 2 fait de même. Ainsi, à la suite de l’émission du premier signal de transmission, ici par le nœud 2, l’ensemble des nœuds en compétition dans un voisinage radio interrompent leur participation à la fenêtre de contention. Les détections de transmission suivant l’émission du signal de transmission par le nœud 2 sont donc superflues.
On constate que les algorithmes à tonalité simple ne permettent de tirer que K séquences à priori différentes pour une taille de fenêtre de contention de taille K, i.e. |S| = K.
5.3.2 Algorithmes à longue tonalité : ALT
Les algorithmes à longue tonalité [109] reposent quant à eux sur des séquences à priori constituées d’une détection d’énergie précédée de l’émission d’un long signal de transmis-sion, tel qu’illustré par la Figure 5.7. Dans cet exemple, le nœud considéré réalise un signal de transmission s’étendant sur les 3 premiers intervalles, représenté par un signal de trans-mission répété pour chacun de ces intervalles. Suite à ce signal de transtrans-mission, le nœud réalise une détection dans le 4emeintervalle. La Figure 5.8 illustre la compétition entre deux nœuds selon un algorithme de contention à longue tonalité. Dans cet exemple, le nœud 1 réalise un signal de transmission sur les intervalles 0, 1 et 2 puis une détection d’énergie D dans le slot 3 :
seqpriori(1) = (T, T, T, D, D, D) Le nœud 2 réalise tire quant à lui la séquence à priori :
Figure 5.7 – Exemple de séquence à priori pour un algorithme à longue tonalité
Figure 5.8 – Compétition entre deux nœuds pour un algorithme à longue tonalité
Le nœud 2 interrompt le premier l’émission du signal de transmission et détecte le signal de transmission du nœud 1 à l’intervalle 2. Le nœud 2 reporte donc l’émission de la trame de données à un instant de transmission ultérieur et le nœud 1 émet sa trame de données à la suite de la fenêtre de contention. On constate qu’il est possible d’omettre la réalisation des détections de transmissions suivant la première pour des raisons similaires à celles exposées précédemment. Par ailleurs, on note que les algorithmes à longue tonalité ne permettent de tirer que K séquences à priori différentes pour une taille de fenêtre de contention de taille K, i.e. |S| = K.
5.3.3 Algorithmes à décompte binaire : ADB
La dernière classe d’algorithmes de contention, les algorithmes de contention à décompte binaire, proposent de considérer chaque intervalle de la fenêtre comme une épreuve à l’issue de laquelle un nœud peut se retirer de la compétition, i.e. le nœud a réalisé une détection et identifié un signal de transmission, ou participer à l’épreuve suivante, i.e. tous les autres scénarios. Un nœud émet sa trame de données à la suite de la fenêtre de contention s’il ne retire à aucun moment de la compétition. Les séquences à priori autorisées sont au nombre de 2K pour une fenêtre de taille K, i.e. |S| = 2K. La Figure 5.9 donne un exemple d’une telle séquence. Le nœud considéré dans cet exemple réalise successivement une détection de signal de transmission, puis émet deux signaux de transmissions, réalise une détection, une transmission et à nouveau une détection.
La Figure 5.10 illustre une compétition entre deux nœuds capteurs selon un algorithme à décompte binaire. Le nœud 1 tire une séquence à priori identique à celle décrite sur la
Figure5.9 – Exemple de séquence à priori pour un algorithme à décompte binaire
Figure 5.10 – Compétition entre deux nœuds pour un algorithme à décompte binaire
Figure 5.9 :
seqpriori(1) = (D, T, T, D, T, D) Le nœud 2 tire quant à lui :
seqpriori(2) = (D, T, T, D, T, D)
Dans cet exemple, les nœuds 1 et 2 exécutent une détection d’énergie dans le premier intervalle. En l’absence de signal de transmission, ils décident de participer au deuxième intervalle. Dans l’intervalle 1, les nœuds 1 et 2 émettent un signal de transmission. Dans l’intervalle 2, le nœud 1 émet à nouveau un signal de transmission alors que le nœud 2 réalise une détection. Le nœud 2 détecte le signal émis par le nœud 1, se retire de la compétition et reporte la transmission de sa trame de donnée à un instant de transmission ultérieur. Le nœud 1 continue sa participation à la fenêtre de contention jusqu’à la fin de celle-ci et transmet ensuite sa trame de données.
Nous venons de présenter les algorithmes de contention de la littérature en exposant à chaque fois l’ensemble des séquences à priori utilisées dans chaque cas, c’est à dire que nous avons défini S pour chaque algorithme. Nous présentons maintenant les mesures de probabilités couramment utilisées dans la littérature afin de compléter cet état de l’art.
5.3.4 Mesure de probabilité à distribution uniforme
La distribution uniforme consiste à affecter la même probabilité de tirage à chacune des séquences à priori de S. On note U la mesure de probabilité sur les entiers équivalents
à chaque séquence à priori :
8s 2 [1, |S|] , P(s) = U(s) = 1 |S|
Afin de simplifier les notations dans la suite de cette étude, nous introduisons la fonction de répartition sur les ordres des séquences à priori : C. Pour une loi uniforme, on a :
8s 2 [1, |S|] , C(s) = s |S|
5.3.5 Mesure de probabilité à distribution géométrique croissante tron-quée
La distribution géométrique croissante tronquée vise à minimiser la probabilité de col-lision sur les séquences à priori les plus "fortes", i.e. c’est à dire celles qui, lorsqu’elles sont tirées par un nœud, lui procure plus de chance de transmettre à la suite de la fenêtre de contention. Pour cela, cette distribution affecte des probabilités de tirage plus faible aux séquences à priori d’ordre faible qu’aux séquences à priori d’ordre élevé. Cette loi, notée Gs’exprime sous la forme :
8s 2 [1, |S|] , P(s) = G(s) = (1 − ↵)↵|S| 1 − ↵|S| ↵−s
↵ est ici un scalaire compris entre 0 et 1 exclus. Dans cette étude, nous retenons la formu-lation de la référence [34] :
↵ = n|S|−1−1
On constate que cette formulation prend en compte le nombre de nœuds en compétition ainsi que la taille de l’ensemble des séquences à priori. La fonction de répartition s’exprime quant à elle sous la forme :
8s 2 [1, |S|] , C(s) = ↵|S|−s− ↵|S| 1 − a|S|
5.4 Calcul de la probabilité de collision
Nous venons de modéliser les mécanismes de contention de la littérature par un triplet (Ω, S, P) et nous avons défini la notion de collision pour un tel mécanisme. Nous proposons maintenant une méthode générique de calcul du taux de collision.
Nous avons défini en Section 5.2.4, les caractéristiques des évènements qualifiés de collision : deux nœuds ou plus tirent la même séquence à priori et son ordre est le plus petit parmi l’ensemble des séquences à priori tirées par les n nœuds. Nous utilisons cette définition pour dériver la formule en forme close de la probabilité de collision. Pour cela nous nous intéressons à l’évènement contraire : l’absence de collision. Cet évènement peut être traduit ainsi : parmi les n tirages, la séquence à priori d’ordre le plus petit n’est tirée qu’une seule et unique fois. La probabilité associée est égale à :
1 − Pcol(Ω, S, P, n) = |S| X s=1 " (1 − C(s − 1))n.✓n 1 ◆ . P(s) 1 − C(s − 1). ✓ 1 − P(s) 1 − C(s − 1) ◆n−1#
Dans cette expression, s est un itérateur sur les ordres des éléments de S. Sa valeur est donc comprise entre 1, l’ordre le plus petit et |S|, l’ordre le plus grand. (1 − C(s − 1))ntraduit la
condition qu’aucune séquence d’ordre inférieur à s n’a été tirée parmi les n tirages. 1−C(s−1)P(s) est la probabilité pour un nœud de tirer la séquence à priori d’ordre s sachant qu’il n’a pas tiré de séquence d’ordre inférieur à s. Enfin, l’expression *n
1+. P(s)
1−C(s−1).⇣1 −1−C(s−1)P(s) ⌘n−1 traduit le fait qu’un unique nœud parmi les n a tiré la séquence à priori d’ordre s.
Cette expression peut être simplifiée et réécrite comme suit et on obtient aisément la probabilité de collision : Pcol(Ω, S, P, n) = 1 − n |S| X s=1 h P(s). (1 − C(s))n−1i (5.2)
À partir de cette équation on retrouve maintenant la probabilité de collision pour un mécanisme de contention utilisant une mesure de probabilité suivant une loi uniforme et géométrique croissante tronquée :
Loi uniforme Pcol(Ω, S, U, n) = 1 − |S| X s=1 ✓ 1 |S|n(|S| − s)n−1 ◆
En simplifiant l’expression, on obtient :
Pcol(Ω, S, U, n) = 1 − n. |S|−1 X s=0 [s n−1 |S|n] (5.3)
Loi géométrique croissante tronquée Pcol(Ω, S, G, n) = 1 − n 1 − ↵ (1 − ↵|S|)n |S| X i=1 ✓ ↵|S|−i⇣1 − ↵|S|−i⌘n−1 ◆
En simplifiant l’expression, on obtient : Pcol(Ω, S, G, n) = 1 − n 1 − ↵ (1 − ↵|S|)n |S|−1 X s=0 ⇥↵s(1 − ↵s)n−1⇤ (5.4) Nous calculons la probabilité de collision selon ces deux lois de distribution pour un nombre n de compétiteurs compris entre 2 et 100 et pour un nombre de séquences à priori utilisables |S| compris entre 2 et 256. Les résultats sont reportés sur la Figure 5.11. Les isolignes de probabilité de collision ont été tracées pour des taux de probabilités de 0,5%, 10%, 20%, etc., les vertes correspondent à la distribution uniforme et les rouges à la distribution géométrique croissante tronquée. La comparaison entre les deux lois de distribution montre que la distribution géométrique tronquée permet alternativement de diminuer le nombre de séquences à priori nécessaires (et donc la taille de la fenêtre de contention) pour une probabilité de collision cible ou de diminuer la probabilité de collision pour un nombre de séquences à priori fixe. Il est cependant à noter que de telles optimisations nécessitent une connaissance à priori du nombre de compétiteurs et donc d’utiliser des mécanismes d’estimation de trafic. À cette condition, nous constatons qu’une centaine de séquences à priori (|S| ⇡ 100) suffit à supporter jusqu’à une centaine de compétiteurs simultanés pour un taux de collision inférieur au pour-cent. Une telle valeur peut être atteinte pour des fenêtres de contention d’une centaine d’intervalles dans le cas des algorithmes ATS et ALT
et de 6 − 7 intervalles pour des algorithmes ADB. Néanmoins, comme nous le montrons dans le Chapitre 6, le nombre de compétiteurs attendus par fenêtre de contention est inférieur à la dizaine. Dans ces conditions, le nombre d’intervalles nécessaires pour borner la probabilité de collision à 1% est peu influencé par la loi de distribution (10% d’écart maximum). Pour cette raison, nous continuons à étudier les deux distributions dans la suite de l’étude.
Figure 5.11 – Probabilité de collision : loi uniforme (vert) et loi géométrique croissante tronquée (rouge)