Systèmes d'équations différentielles

point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes impli- cites et les champs liouvilliens. La classication par transformation de contact des équations implicites provient de la classication symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l'on adapte pour les champs liouviliens avec des transfor- mations symplectiques. On établit alors des résultats de classication des équa- tions implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d'existence de solutions locales via les formes normales.

Les théories des équations différentielles, intégrales et intégro-différentielles et des fonc- tions spéciales de la physique mathématique, ainsi que leurs extensions et généralisa- tions dans une où plusieurs variables, voici quelques exemples d’applications actuelles du calcul fractionnel : circulation des fluides, rhéologie, processus dynamiques dans les structures auto-similaires et poreuses, transport par diffusion s’apparentant à la diffu- sion, réseaux électriques, probabilités et statistiques, théorie du contrôle des systèmes dynamiques, viscoélasticité, électrochimie de la corrosion, physique chimique, optique et traitement du signal, etc.

Dans cette thèse nous avons utilisé l’une des plus importantes méthodes perturba- tives pour étudier l’existence des solutions périodiques de certains systèmes di¤érentiels polynômiaux de dimension deux, trois et quatre. Nous avons perturbé un système non homogène et nous avons illustré notre étude par des exemples.

Notre thèse a pour objet l’étude de deux classes d’équations différentielles ordinaires et son organisation se présente comme suit : Le premier chapitre, qui est plutôt un glossaire, regroupe quelques connaissances de base nécessaires à la compréhension de l’ensemble de la thèse. On commence par définir les sys- tèmes dynamiques, la notion de flot, portrait de phase, les points d’équilibre, la linéarisation des systèmes différentiels non linéaires au voisinage des points d’équilibre, les systèmes dif- férentiels linéaires non-homogènes, la théorie de Floquet et en dernier on donne les deux théorèmes importants de la méthode de la moyennisation. Le premier théorème concerne la forme standard de Lagrange, le second est une nouvelle version de cette méthode. Cette der- nière version est appliquée pour la recherche des solutions périodiques pour les deux classes d’équations différentielles étudiées aux chapitres deux, trois et quatre.

(i) Journal of Fractional Calculus (ii) Fractional Calculus and Applied Analysis. Récemment, la théorie de stabilité des équations di¤érentielles fractionnaires (EDF) est d’un intérêt principal dans le système physique. En plus quelques résultats de stabilité sont apparus [2 9]. Ces résultats de stabilité concernant essentiellement les systèmes di¤érentiels fractionnaires linéaires avec un ordre proportionnel[3].

Remarque. Tout comme pour les systèmes linéaires, nous ne donnerons pas de méthode générale de résolution de l’équation homogène, mais il est possible, connaissant une solution particulière de cette équation, d’en déduire les autres en appliquant la méthode suivante, dite méthode de Lagrange (hors programme) : Supposons connue une solution x 0 de l’équation homogène ne s’annulant pas. On peut e ffectuer le changement de fonction inconnue x = x 0 y. On calcule :

Titre Fonctions Presque-Périodiques et Équations Différentielles Résumé Cette thèse porte sur les équations d’évolution et s’articule au- tour de trois parties. Dans la première partie, on se propose de se concen- trer sur le critère oscillatoire de certaines équations différentielles. Des résultats classiques sur les fonctions presque-périodiques sont rassemblés dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre de cette thèse a pour ob- jectif de prouver l’existence d’une solution presque-périodique de Besi- covitch d’une équation différentielle de second ordre sur un espace de Hilbert. L’approche utilisée se base sur un formalisme variationnel. La deuxième partie de cette thèse traite le comportement asymptotique des problèmes de Cauchy dans le cas non autonome. Les semi-groupes et les familles d’évolution étant les outils principaux utilisés dans cette partie, le troisième chapitre introduit des résultats importants de cette théorie, notamment ceux permettant de caractériser la stabilité des semigroupes et des familles d’évolution périodiques. Dans le quatrième chapitre de cette contribution, on prouve, en utilisant une approche basée sur les semi- groupes, un résultat liant la bornitude de solutions de problèmes de Cau- chy périodiques et la stabilité exponentielle uniforme des familles d’évo- lution issues de ces problèmes. Dans une troisième partie, on focalise l’at- tention sur quelques résultats sur la dichotomie exponentielle comme une propriété liée au comportement asymptotique des systèmes différentiels. Quelques résultats connus sont, par suite, réunis au cinquième chapitre qui introduit brièvement la notion de dichotomie exponentielle. Dans un dernier chapitre, une caractérisation de la dichotomie exponentielle d’une famille d’évolution en termes de bornitude des solutions de problèmes de Cauchy opératoriels correspondants sera démontrée.

Préface 3 qu’à coté de la théorie des semi-groupes existent des approches alterna- tives dans tous ces champs. L’objectif du troisième chapitre de cette thèse est d’exposer quelques résultats concernant la théorie de semi-groupes et de familles d’évolution. De célèbres résultats existants seront mis en relief. Ce chapitre vise à intro- duire au chapitre suivant qui sera basé sur les semi-groupes et les familles d’évolution. La stabilité exponentielle sera en particulier l’une des pro- priétes fondamentales étudiée. En effet, divers types de stabilité peuvent être discutés pour les solutions d’équations différentielles décrivant les systèmes dynamiques. Le type le plus important est celui concernant la stabilité de solutions au voisinage d’un point d’équilibre. Ceci peut être interpreté selon la théorie de Lyapunov. En termes simples, si toutes les solutions du système dynamique qui partent près d’un point d’équilibre restent proches de ce point, elles sont alors stables au sens de Lyapunov. D’une manière plus forte, si x e est Lyapunov-stable et si toutes les solu- tions qui partent d’un voisinage de la valeur initiale x e convergent vers x e , alors x e est asymptotiquement stable. La notion de stabilité exponentielle garantit un taux minimal de “décrépitude", c’est-à-dire une évaluation de la vitesse de convergence des solutions. Dans la théorie du contrôle, un système linéaire ne dépendant pas du temps est exponentiellement stable si et seulement si les valeurs propres du système sont à partie réelle stric- tement négative (i.e. dans le demi-plan gauche). Un système exponentiel- lement stable est alors un système qui n’explose pas (i.e. ne donne pas de sorties infinies au temps infini) lorsqu’on lui infère une entrée finie ou une condition initiale non nulle. Quelques caractérisations de le stabilité exponentielle de systèmes linéaires sont données dans ce chapitre.

Résumé Les équations différentielles stochastiques jouent un rôle important dans les applica- tions mathématiques, principalement,dans la modélisation des phénomènes réels phy- siques, biologiques,... dont l’aspect aléatoire est un élément essentiel dirigeant.Autant de livres, d’articles et de monographies ont étudié cette option de mathématiques,i.e. la théorie des équations différentielles stochastiques connues (abréviation EDS), en fai- sant le lien avec les connaissances et notions connues sur les équations différentielles ordinaires qui ont été développés depuis plusieurs années. Les équations différentielles stochastiques servent de modèles mathématique à des systèmes faisant intervenir deux types de forces, l’une déterministe et l’autre aléatoire ou stochastique.

Dans ce chapitre nous étudions premièrement les conditions su¢ santes pour l’existence des orbites périodiques des systèmes di¤érentiels dans R 3 de la forme x 0 = y; y 0 = z; z 0 = y "F (t; x; y; z); (4.1.1) où F est une fonction 2 -périodique et " est un petit paramètre. Ces systèmes di¤érentiels peuvent s’écrire sous la forme d’une équation di¤érentielle du troisième ordre suivante

– Dans Le deuxième chapitre, Nous avons introduit la théorie de la moyennisation pour chercher les cycles limites des systèmes di¤érentiels. Nous avons illustré les théorèmes par plusieurs exemples. – Dans Le troisième chapitre, nous avons donné les conditions su¢ - santes pour l’existence des solutions périodiques d’une classe des équa- tions di¤érentielles du troisième ordre contenant un petit paramètre " en appliquant le deuxième théorème de la moyennisation du premier ordre. Ce chapitre a été publié dans le journal "Annals of di¤erential equations". A. Makhlouf and M. Hamamda. Limit cycles of a third order di¤ erential equation. Ann. of Di¤. Eqs. 30 :4(2014) ; 416-423.

Chapitre 2 : Étude des Systèmes Non Linéaires d’Ordre Fractionnaire Ce chapitre est consacré à l’étude des systèmes non linéaires aux dérivées d’ordres frac- tionnaires. L’accent est mis sur la spéci…cité de ces systèmes qui permet de prendre en compte une grande classe de non linéarités. On présente donc nos résultats obtenus dans [86] qui consistent à étudier l’existence et l’unicité de solution pour un système non linéaire aux déri- vées d’ordres fractionnaires. Dans ce même chapitre, on présente d’autres résultats assurant l’existence d’une solution au moins du problème fractionnaire traité. La démonstration des nouveaux résultats est basée sur le Théorème du point …xe de Banach et le Théorème du point …xe de Schaefer. Quelques exemples sont aussi construits pour illustrer nos résultats.

Sur la théorie des équations différentielles fractionnaires Résumé Cette thèse a pour objet d’étude de certains systèmes différentiels non linéaires fractionnaires à retards. Nous considérons deux classes de ce type de systèmes. Dans la première, nous étudions un système à retards constants. En utilisant certains théorèmes de point fixe, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution positive et globale. Dans la deuxième, nous considérons un système avec des arguments déviés (avancés et retardés). Nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité de la solution. Notre analyse s’appuie sur le théorème du point fixe de Banach. Pour cette dernière classe, nous étudions également la stabilité uniforme de la solution. Les résultats établis, pour chaque classe, sont illustrés par des exemples concrêts.

C ette thèse est constituée de deux parties, le tout étant réparti en cinq chapitre : • La première partie concerne certaines équations différentielles impul- sives qui sont devenues un domaine de recherche important au cours des dernières années, stimulées par leurs applications aux systèmes dynamiques ayant un comportement dynamique impulsif en raison de changements brusques à certains instants au cours de l’évolution du processus.

tout d’abord, deux approches qui relèvent du calcul par le trait : lorsqu’on pratique des constructions à la règle et au compas, il est assez naturel de discrétiser le phénomène étudié et de remplacer la courbe intégrale inconnue par une suite de petits segments de tangentes (cf. § 7.1) ou par une suite de petits arcs de cercles osculateurs (cf. § 7.2). Ensuite, il y a une idée qui vient de Leibniz : puisque la règle, le compas et, plus généralement, les systèmes articulés ne permettent d’atteindre que des courbes algébriques, il est indis- pensable de faire intervenir un élément physique dans la construction si l’on veut accéder aux courbes transcendantes définies par des équations différen- tielles. Cet élément physique, c’est le mouvement tractionnel, qui a donné lieu à une longue lignée de travaux conduisant aux intégraphes modernes (cf. § 7.3). Enfin, on peut regrouper dans une dernière catégorie les méthodes qui, sans chercher à mettre au point des techniques particulières pour les équations différentielles, visent à ramener l’intégration de ces dernières à des quadratures, en nombre fini ou infini, et à exploiter des procédés déjà connus de quadrature graphique (cf. § 7.4).

Certains de ces résultats ont été plus tard générlisés pour les équations di¤érentielles linéaires d’ordre supérieur ([11] ; [20]; [21]) : D’autres résultats ([2] ; [5] ; [22]) ont été réalisés conçernant les équations di¤érentielles linéaires avec des coe¢ cients méromorphes. Dans cette thèse, on a démontré quelques résultats concernant les équations di¤érentielles linéaires d’ordre supérieur dont les coe¢ cients sont des fonctions méromorphes. On a étudié l’hyper-ordre des solutions méromorphes d’ordre in…ni de ces équations.

Introduction La théorie de la distribution des valeurs des fonctions méromorphes fondée par le mathé- maticien Rolf Nevanlinna ([32] ; [7]) est devenue un outil très indispensable dans l’étude des propriétés des solutions des équations di¤érentielles linéaires dans le domaine complexe. En particulier, la croissance et l’oscillation des solutions de ces équations.

La recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle soit réductible à une équation à coefficients constants et la recherche de cette équation lorsq[r]

D ans cette thèse, nous avons étudié l’existence et l’unicité de la solu- tion d’un système de deux équations différentielles stochastiques gouvernées par un G−mouvement Brownien, conditionnées par des coefficients de Lipschitz et de croissance linéaire dépendants du temps par la méthode de schéma d’approximation de Caractheodory. En rappelant que cette méthode est moins utilisée chez les chercheurs malgré ses avantages par rapport aux autres qui sont plus utilisables. Pour réaliser ce travail, on a commencé par rappeler les définitions et les théorèmes usuels sur le calcul

(3) Si l'on ne considère que les petites oscillations du pendule (i.e.2[r]