Contribution a l’etude dynamique des robots paralleles hybrides

UNIVERSITE FRERES MENTOURI CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre : 96 / 05 / 2016

N° de série : 03 / GM / 2016

THÈSE

Présentée pour l’obtention du diplôme de

DOCTORAT EN SCIENCES

SPECIALITE CONSTRUCTION MECANIQUE

PAR

Chibani Abdelhakim

CONTRIBUTION A L’ETUDE DYNAMIQUE DES ROBOTS

PARALLELES HYBRIDES

Soutenue le 27 / 10 / 2016

Devant le jury :

Président : A. Bouchoucha Professeur, Université Frères Mentouri, Constantine 1

Rapporteurs : C. Mahfoudi Professeur, Université Larbi Ben M’Hidi, Oum El Bouaghi

A. Zaatri Professeur, Université Frères Mentouri, Constantine 1

R. Merzouki

Professeur, Université Polytech’Lille, Lille 1, France

Examinateurs :

S. Benissaad Professeur, Université Frères Mentouri, Constantine 1

B. Barkat Professeur, Université Batna 2

ميحرلا نمحرلا للها مسب

ًلايِلَد ِهْيَلَع َسْمَّشلا اَنْلَعَج َّمُث ًانِكاَس ُهَلَعَجَل َءاَش ْوَلَو َّلِّظلا َّدَم َفْيَك َكِّبَر ىَلِإ َرَت ْمَلَأ

(

54

)

ًاريِسَي ًاضْبَق اَنْيَلِإ ُهاَنْضَبَق َّمُث

(

54

)

A la mémoire de mon père A ma mère, ma femme et mes filles A mes frères et sœurs

Je me permets dans ces quelques lignes du manuscrit qui sont de loin les plus agréables à écrire, d'adresser mes remerciements sincères à l'ensemble des personnes qui ont contribué à la réalisation de ce travail.

Je souhaite en premier lieu remercier mon directeur de thèse, M. Chawki MAHFOUDI, qui m'a aidé et m'a fait conance tout au long de cette thèse. C'est grâce à ses conseils et aux connaissances qu'il m'a transmis que j'ai pu au l de ces longues années évoluer dans mon sujet de thèse. Je salue en lui son attitude digne et son dévouement.

Une grande partie de ce travail a été eectuée au Laboratoire d'Automatique, Génie Infor-matique et Signal CRIStAL (ex LAGIS) de Polytech'Lille dirigé par M. Rochdi MERZOUKI, je le remercie sincèrement de m'avoir accueilli au sein du laboratoire. Je tiens à le remercier pour son orientation, sa conance ainsi que sa patience. Je dois dire que j'ai également eu plaisir à travailler au sein du LAGIS, lieu de convivialité possédant une agréable ambiance de travail.

Mes particuliers remerciements vont, à mon co-directeur de thèse le professeur Abdeloua-heb ZAATRI pour sa patience et ses encouragements. Je tiens surtout à saluer sa rigueur et sa bravoure.

Je tiens à saluer ici les personnes qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation de cette thèse de doctorat. Je remercie toutes les personnes que j'ai côtoyés dans le cadre de ce travail. Je remercie inniment M. Taha CHETTIBI Professeur à l'EMP pour son aide, ses en-couragements et ses suggestions. Mes remerciements vont également à l'endroit de M. Athman

LAKHAL et Mlle _{Coralie ESCANDE du laboratoire CRIStAL pour leurs contribution dans la}

partie expérimentale. Je remercie M. Abdelhakim HADJAB, qui a contribué à l'élaboration du modèle CAO, ainsi que M. Ammar AMMOURI pour son aide à la réalisation du simulateur virtuel, ce qui a permis d'éclaircir quelques aspects des problèmes liés à la modélisation et l'in-terprétation physique. J'exprime mes sincères remerciements à M. Omar KHADRAOUI dont la contribution été très très utile dans la phase importante de la rédaction.

Je tiens ensuite à remercier M. Ali BOUCHOUCHA professeur à l'Université des Frères Man-touri de Constantine pour avoir accepté d'être le président de mon jury de thèse. Je remercie également, M. Smail BENIASAAD professeur à l'Université des Frères Mantouri de Constan-tine, M. Belkacem BARKAT professeur à l'Université de Batna et M. Ridha KELAIAIA maître de conférence à l'Université de Skikda, pour avoir accepté de faire partie de mon jury de sou-tenance.

Un grand merci à ma famille qui m'a appuyé et soutenu moralement durant les bons et mau-vais moments. Par ce mémoire, je souhaite leur témoigner ma reconnaissance la plus profonde pour la conance qu'ils ont placé en moi.

Ce travail contribue à résoudre l'un des problèmes réels de la recherche sur les robots parallèles hybrides qui est de trouver un compromis entre une dynamique élevée une grande redondance. A travers cet objectif, on présente une méthodologie générale pour l'analyse et la modélisation des robots manipulateurs parallèles hy-brides modulaires en suivant des procédures et des techniques développés pour les robots : série, arborescent ou comportant des boucles fermées. Dans la partie modélisation géométrique, deux approches ont été envisagées pour la résolution de la cinématique inverse : l'utilisation de l'inverse généralisé de la matrice jacobienne du manipulateur, communément appelée pseudo-inverse, et par ailleurs, une procédure d'optimisation non linéaire basée sur un schéma déterministe. Le modèle que nous avons proposé est original puisqu'il réalise un compromis raisonnable et satisfaisant entre les données du problème, le modèle mathématique, les contraintes imposées au système, les limitations physiques et les résultats souhaités. L'étude de la dynamique porte, dans un premier temps sur la modélisation dynamique des robots parallèles. Pour cela nous avons utilisé les algorithmes de Newton-Euler pour les modèles dynamiques inverse et direct. Dans un deuxième temps, à partir des modèles développés pour le robot parallèle de base, nous avons étudié la modélisation dynamique des robots parallèles hybrides constitués de l'empilement de plusieurs modules parallèles. Les algorithmes développés sont fondées sur l'utilisation du formalisme de Newton-Euler récursif. L'intérêt de ce modèle est qu'il est susamment gé-nérique pour être appliqué à la modélisation, la simulation et la commande de plusieurs classes de robots à architectures modulaires. Outre la modélisation dynamique, nous avons étudié l'aspect de commande des ro-bots parallèles hybrides. L'objectif est de permettre une prédiction précise avec le moins de calculs possibles. En eet, Le modèle dynamique inverse développé, fournit un outil simple et ecace pour le développement d'un schéma de commande approprié. A cet eet, un schéma de commande par découplage non linéaire dans l'espace articulaire a été considéré. Dans le simulateur développé, l'ensemble des variables articulaires rapportées par l'algorithme d'optimisation sont utilisées comme consignes pour satisfaire l'objectif de contrôle du mouvement. Des algorithmes ont été développé et testé en simulation et des résultats sont présentés.

Mots-clés : Robot Parallèle Hybride ; Manipulateur Hyper-Redondant ; Optimisation Non Linéaire ; Modé-lisation Dynamique ; Commande.

The work presented in this thesis concerns the dynamic modeling of hybrid parallel robots. This work helps to solve one of the real problems of research on hybrid parallel robots that is to nd a compromise between a high dynamic and a high redundancy. Through this, we present a general methodology for analysis and mo-deling of hybrid modular parallel robot manipulators following procedures and developed techniques for serial robots, tree structured chain or closed loops chain. In geometric modeling, two approaches have been taken to solve the inverse kinematics : the use of the generalized inverse Jacobian matrix of the manipulator, com-monly called pseudo-inverse, and moreover, a non linear optimization problem not linear used. The proposed model is original since it achieves a reasonable and satisfactory compromise between the data of the problem, the mathematical model, the constraints imposed on the system, physical limitations and desired results. The dynamics study is, rstly on dynamic modeling of parallel robots. For this we have used the Newton-Euler algorithms for inverse and direct dynamic models.Secondly, from the models developed for the parallel robot, we studied the dynamic modeling of hybrid parallel robots consisting of the concatenation of several parallel modules. The algorithms developed are based on the use of recursive Newton-Euler formalism. The advantage of this model is that it is generic enough to be applied to the modeling, simulation and control of several classes of modular robots architecture. In addition to dynamic modeling, we studied the control aspect of hybrid pa-rallel robots. The aim is to enable accurate prediction with the least possible calculations. Indeed, the inverse dynamic model developed provides a simple and eective tool for the development of an appropriate control scheme. For this purpose, a control scheme by non-linear decoupling into the joint space was considered. In the developed simulator, all joint variables reported by the optimization algorithm are used as guidelines to meet the target of motion control. Algorithms have been developed and tested in simulation and the results are presented. Keywords : Hybrid Parallel Robot ; Hyper-redundant Manipulator ; Non Linear Optimization ; Dynamic Modeling ; Control.

لأا هده يف مدقملا لمعلا مانيدلا ةجذمنلاب قلعتي ةحورط وملا ةنيجهلا تاتوبورلل ةيكي ةيزا . لمعلا اذه دعاسي ىلع لكاشملا نم ةدحاو لح زاوملا ةنيجهلا تاتوبورلا لوح ثوحبلا يف ةيقيقحلا ةي ، ىلع روثعلا وهو ةيكرحلا لقاونلا عافترا و اكيمانيدلا نيب طسو لح . اذه للاخ نم فدهلا اقفو تادحولا ددعتملا يزاوملا نيجهلا توبورلا ةجذمن و ليلحتل ةماع ةيجهنم مدقن تاءارجلإل ةيداعلا تاينقتلا و ةقلغملا تاقلحلا تاذ وا ةعرفتملاو ةلسلستملا تاتوبورلل . ةيسدنهلا ةجذمنلا ءزج يف ، ناتقيرط تقبط حلا لح لجا نم ر ةيسكعلا ةيك : أ لاو ب لقم لامعتسا توبورلل ةيبوكاجلا ةفوفصملا ةبو ، نمو ا يطخ ريغلا نيسحتلا ةقيرط تلمعتسا ىرخا ةهج فرعملا يعطقلا طيطختلا ىلع ينبمل . ا ثيح يلصا حرتقملا جذومنلا ن أ لاح ققح هن ةلكشملا تايطعم نيب يضرمو يقطنم ، يضايرلا جذومنلا ، ماظنلا ىلع ةضورفملا دويقلا ، جئاتنلا اذك و ةيئايزيفلا دودحلا ةوجرملا . دب أ ةساردلا ت ةيكيمانيدلا أ لاو ةنيجهلا تاتوبورلا ةجذمنب . يكيمانيدلا جذومنلل ةبسنلاب رليا نتوين ةيمزراوخ انلمعتسا ضرغلا اذهل يسكعلا رشابملاو ةيزاوملا ةيلصلاا تاتوبورلل روطتملا جذومنلا للاخ نم ايناثو ، ةيكيمانيدلا ةجذمنلا انسرد توبورلل تا ةنيجهلا ا رتمل ةيزاوم تادحو ةدع نم ةنوكملا ةصا . رليا نتوينل ةيراركتلا ةيرظنلا ىلع دمتعت ةزجنملا تايمزراوخلا . نمكت ةقيرطلا هتاه ةيمها ةجذمنلا يف اهلامعتسا نكميو ةلماش اهنوك يف ، ةيطمنلا تاتوبورلا عاونا نم ريثك يف مكحتلاو ةيمقرلا ةاكاحملا . ةجذمنلل ةفاضا انسرد ةيكيمانيدلا نيكمت وه كلذ نم فدهلاو ةيزاوملا ةنيجهلا تاتوبورلاب ةصاخلا مكحتلا قرط ضعب قيقدلا ؤبنتلا لقأب تاباسح ةنكمم . زجنملا جذومنلا يف ، يجوت ئدابمك اهمادختسلا مكحتلا رصانعك لمعتست ةنسحملا تاريغتملا ةعومجم مكحتلا فده قيقحتل ةيه ةكرحلا يف . نم ديدعلا بيرجتو زاجنا مت تايمزراوخلا جئاتنلا ضعب ضرع عم . ةيسيئرلا تاملكلا : يزاوم نيجه توبور ، يطخلا نيسحتلا ، ةيكيمانيدلا ةجذمنلا ، مكحتلا . V

Table des matières

1 Etat de l'art sur les robots parallèles hybrides 15

1.1 Introduction . . . 15

1.2 Généralités à propos des robots hybrides . . . 16

1.2.1 Concept de Manipulateurs Hyper-Redondant . . . 19

1.2.2 Pourquoi les manipulateurs hyper-redondants ? . . . 20

1.3 Exemples d'applications . . . 21

1.4 Approches de modélisations des robots parallèles hybrides . . . 23

1.4.1 Modélisation géométrique des manipulateurs hyper-redondants . . . 24

1.4.2 Modélisation dynamique . . . 26

1.5 Conclusion . . . 27

2 Modélisation géométrique et cinématique des robots parallèles hybrides 28 2.1 Introduction . . . 28

2.1.1 Description des robots à chaine complexe . . . 29

2.1.2 Description des structures parallèles hybrides . . . 33

2.1.3 Calcul du degré de liberté des mécanismes et notion de redondance . . . 35

2.2 Modélisation géométrique des robots parallèles hybrides . . . 37

2.2.1 Modélisation géométrique d'un module . . . 37

2.2.2 Etude des singularités . . . 47

2.2.3 Espace de travail des robots parallèles . . . 48

2.2.4 Modélisation géométrique d'un manipulateur composé de nm modules parallèles montés en série . . . 49

2.2.5 Résolution numérique du problème géométrique inverse en utilisant la matrice jacobienne et son inverse . . . 54

2.3 Modèles cinématiques des robots parallèles hybrides . . . 56

2.3.1 Introduction . . . 56

2.3.2 Modèles cinématiques des robots parallèles . . . 56

2.3.3 Modélisation cinématique du robot parallèle hybride . . . 60

2.4 Applications . . . 64

2.4.1 Cas plan : résolution du problème géométrique . . . 64

2.4.2 Cas spatial . . . 68

3 Génération des congurations cinématiques optimales 72 3.1 Introduction . . . 72

3.2 Méthode proposée pour le calcul du modèle géométrique inverse . . . 73

3.2.1 Courbes paramétrées et repères associés . . . 74

3.2.2 Procédure d'ajustement du manipulateur sur la courbe . . . 76

3.2.3 Formulation du problème d'optimisation . . . 78

3.2.4 Evitement d'obstacles . . . 79

3.2.5 Description du problème et méthode de résolution . . . 82

3.3 Application numérique . . . 83

3.4 Validation expérimentale . . . 86

3.4.1 Description . . . 86

3.4.2 Modélisation de la trompe de Robotino-XT . . . 87

3.4.3 Modèle géométrique d'un module . . . 88

3.4.4 Calcul du modèle géométrique inverse optimal de la trompe . . . 89

3.4.5 Discussion des résultats . . . 90

3.5 Conclusion . . . 92

4 Modélisation dynamique des Robots Parallèles Hybrides 94 4.1 Introduction . . . 94

4.2 Modélisation dynamique des robot parallèles hybrides . . . 94

4.2.1 Introduction . . . 94

4.2.2 Modéles dynamiques des robot parallèles . . . 95

4.2.3 Modèle dynamique inverse du robot parallèle hybride . . . 102

4.3.1 Modèle CAO du robot parallèle hybride à 18 DDL . . . 107

4.3.2 Résolution de la cinématique inverse du manipulateur parallèle hybride . 108 4.3.3 Représentation schématique du calcul du MDI global d'une structure à nm modules . . . 110

4.3.4 Simulation 1 . . . 111

4.3.5 Simulation 2 . . . 113

4.4 Conclusion . . . 114

5 Contribution à la commande des robots parallèles hybrides 118 5.1 Introduction . . . 118

5.2 Commande par découplage non linéaire dans l'espace articulaire . . . 119

5.3 Commande par découplage non linéaire dans l'espace opérationnel . . . 122

5.4 Simulation de la commande par découplage non linéaire dans l'espace articulaire 122 5.5 Conclusion . . . 125

A Modèles géométriques inverse et direct du robot parallèle 6-UPS 136 A.1 Modèle géométrique inverse . . . 136

A.2 Méthode numérique itérative pour le calcul du MGD . . . 137

B Méthode de calcul de la matrice jacobienne du manipulateur hyper-redondant à 18 DDL 140 C Appoximation des courbe paramétriques par des splines cubique 142 D Algorithme de la méthode SQP pour la résolution des problème d'optimisa-tion non linéaires 145 D.1 Algorithme de la méthode SQP avec contraintes d'égalité et d'inégalité . . . 146

E Modèle CAO du manipulateur parallèle hybride 147 E.1 Conception du robot parallèle 6-UPS . . . 147

1.1 Robot hybride composé d'une plate-forme de Stewart et d'un robot série. . . 16

1.2 Le robot hybride Tricept. A gauche le prototype de NEOS, à droite le Tricept HP1 de COMAU . . . 17

1.3 Robot parallèle hybride. (a) à 6 DDL, (b) manipulateur 2(SP + SP R + SP U). . 17

1.4 Micro-Manipulateur parallèle hybride à six degré de liberté. . . 18

1.5 Manipulateur à treillis articulés montés en série. . . 18

1.6 Le robot LX4, contitué d'un empilement de 4 modules de type plate-forme de Stewart. . . 19

1.7 Un robot hyper-redondant composé d'une succéssion de modules parallèles type 3-RPS, [19] . . . 20

1.8 Prototype du robot serpent hyper-redondant de [29] . . . 21

1.9 Le robot binaire hyper-redondant de [55] . . . 21

1.10 (a)-Robot manipulateur à 6 DDL. (b)-Manipulateur Hyper-redondant de [26]. . 22

1.11 Manipulateur hyper redondant pour la chirurgie médicale [47] . . . 22

1.12 Exploration en mileux complexes [2] . . . 23

1.13 Le Canadarm [10] . . . 23

1.14 Redondance cinématique des MHR . . . 24

2.1 Notations associées à une structure arborescente . . . 29

2.2 Paramètrage géométrique d'un corps à plus de deux articulations . . . 30

2.3 Placement des repères sur une articulation coupée . . . 31

2.4 Robot parallèle plan type 3-RPR (a). Robot parallèle spatial type 6-SPS (b) . . 32

2.5 Schéma descriptif d'un robot parallèle . . . 33

2.7 (a) Conguration géométrique du robot parallèle planaire 3-RPR . (b)

Para-mètres géométriques associés au segment i . . . 39

2.8 Plate-forme de Gough Stewart (6-UPS) . . . 42

2.9 (a),(b) Conguration de la plate-forme et de la base . (c) Repères associés au segment i . . . 42

2.10 Robot parallèle à architecture singulière . . . 48

2.11 Schéma simplié du manipulateur hyper-redondant et placement des repères. . . 49

2.12 Algorithme itératif du calcul numérique du modèle inverse du manipulateur . . . 55

2.13 kième _{module du manipulateur parallèle hybride . . . 61}

2.14 Manipulateur hyper-redondant plan à 12 DDL et paramétrage d'un module k . . 65

2.15 Robot parallèle hybride plan executant une trajectoire rectiligne . . . 67

2.16 Trajectoire des coordonnées articulaires Lik, i = 1..3, k = 1..4 . . . 67

2.17 Variation des vitesses articulaires ˙Lik . . . 67

2.18 Déplacement et orientations des plate-formes . . . 68

2.19 Manipulateur hyper-redondant spatial à 24 DDL executant une trajectoire rec-tiligne. . . 69

2.20 Trajectoire curviligne. . . 69

2.21 MHR à 10 modules parallèles executant une trajectoire spirale. . . 70

2.22 Trajectoires des coordonnées articulaires Lik, i = 1..6. . . 70

2.23 Vitesses articulaires ˙Lik. . . 71

2.24 Déplacements et orientation des plate-formes. . . 71

2.25 Vitesses linéaires et angulaires des plate-formes. . . 72

2.26 Accélérations linéaires des plate-formes. . . 72

2.27 Accélérations angulaires des plate-formes. . . 72

3.1 Diérentes postures pour une cible dans l'espace. . . 73

3.2 Schéma générique de la procédure d'optimisation. . . 73

3.3 Modélisation de la courbe médiane, (a) approximation par une spline cubique et (b) repères associés. . . 75

3.4 Evitement d'obstacle sur la base de la méthode DTM . . . 80

3.5 Fonction de penalité . . . 81

3.6 Deux postures diérentes du MHR . . . 84

3.9 Comparaison espace libre et espace contraints . . . 85

3.10 Variation de la fonction objectif, (a) pas d'obstacle, (b) en présence de 3 obstacles 86 3.11 (a) Robotino-XT, (b) La trompe bionique. . . 87

3.12 Modèle parallèle hybride du CBHA. . . 87

3.13 Paramétrage du module parallèle de base. . . 88

3.14 Espace de travail de la trompe et trajectoire expérimentale désirée. . . 90

3.15 Représentation de la validation expérimentale . . . 90

3.16 Longueurs mesurées et calculées dans les 6 tubes . . . 91

3.17 Estimation de l'erreur dans la section 1. . . 91

3.18 Estimation de l'erreur dans la section 2. . . 92

3.19 Temps de calcul du modèle inverse. . . 92

3.20 Evolution de la fonction objectif. . . 93

4.1 Structure arborescente équivalente du robot parallèle 6-UPS . . . 96

4.2 Eorts appliqués sur la plate-forme par les forces de réaction des segments . . . 97

4.3 Forces et moments exercés sur le kième _{module . . . 105}

4.4 Modèle CAO du robot parallèle 6-UPS . . . 107

4.5 Modules parallèles composant le M HR, à gauche le module pair à droite le module impair . . . 108

4.6 Schéma de calcul du modèle dynamique inverse . . . 111

4.7 Modèle Simulink pour le calcul du modèle dynamique du MHR à 3 modules. . . 112

4.8 Calcul des τik du module 2 . . . 112

4.9 Prol des vitesses des plate-formes. . . 113

4.10 Prol des accélérartions des plate-formes. . . 114

4.11 Forces articulaires du manipulateur hyper-redondant . . . 114

4.12 Trajectoires articulaires pour chaque module du MHR . . . 115

4.13 Vitesses et accélérations articulaires dans les 3 modules du manipulateur . . . . 115

4.14 Prols des vitesses linéaires et angulairess des plate-formes . . . 116

4.15 Prols des accélérations linéaires et angulairess des plate-formes . . . 116

4.16 Forces articulaires dans les 3 modules . . . 117

5.2 Schéma de la commande par découplage non linéaire dans l'espace articulaire . . 121

5.3 Schéma de la commande par découplage non linéaire dans l'espace opérationnel 123 5.4 Simulateur de la commande par découplage non linéaire dans l'espace opérationnel125 5.5 Commande linéarisante du segment i . . . 125

5.6 Forces aux actionneurs . . . 126

5.7 e(t) Actionneurs . . . 126

5.8 Schéma global de la commande du MHR . . . 127

5.9 e(t)Actionneurs . . . 127

A.1 Organigramme de calcul du MGD du robot parallèle 6-UPS . . . 139

E.1 Robot parallèle 6-UPS . . . 148

E.2 Mise en plan du robot parallèle 6-UPS . . . 148

E.3 Propriétés de masses de la plate-forme mobile . . . 149

E.4 Propriétés de masses de la chaîne cinématique i . . . 150

2.1 Paramètres géométriques du système . . . 40 2.2 Tableau des paramètres géométriques du segment i . . . 41 3.1 Inuence des coecients α et β sur la fonction de coût et le temps de calcul . . 84 4.1 Masses des diérents ensembles de pièces du robot parallèle 6-UPS . . . 101 5.1 Paramètres physiques du robot parallèle 6-UPS . . . 124

Index

Ci : Le corps i.

Si : Vecteur position entre le point Oij et le centre de gravité du corps j.

q, ˙q, ¨q : Position, vitesse et accélération articulaires ;

αj, dj, θj, rj, γj, bj: Les paramètres géométriques modiés de Denavit-Hartenberg ;

kT

k−1 : Matrice de transformation homogène du repère Rk par rapport à Rk−1;

N : Nombre de degrés de liberté actionnés ;

` : Nombre total d'articulations ;

rj : Nombre de contraintes de la boucle j ;

m : Nombre de chaînes cinématiques ou de segments ;

M : Degré de mobilité ;

X : Vecteur des coordonnées opérationnelles ;

qa : Vecteur des variables articulaires actives ;

qp : Vecteur des variables articulaires passives ;

Jx, Jp : Matrice jacobienne du robot ;

F : Torseur statique ;

Lki : Longueur du segment i du module k ;

nm : Nombre de modules du robot parallèle hybride ;

Q : Ensemble des coordonnées opérationnelles des modules ;

J† _{: Pseudo-inverse de la matrice jacobienne ;}

Z : Vecteur arbitraire de dimension N × 1 ;

[φi, θi, ψi]T : Orientation de la plate-forme mibile par rapport au repère de base ;

Vp : Torseur cinématique ;

vp, ωp : Composantes de la vitesse linéaire et de la vitesse angulaire ;

ˆ

Pi : Matrice antisymétrique formée par PxiPyiet Pzi.

i, ¨Li : Vitesse et accélération actives ; J−1

p : Matrice jacobienne inverse analytique du robot parallèle ;

Wk : Vitesse linéaire de l'origine du repère Rk;

Θk : Vitesse angulaire du repère Rk;

Wk : Le torseur cinématique de la plate-forme ;

k

Tk−1 : Matrice de transformation entre torseurs ;

Pi _{et P}f _{: Resp. points de départ et d'arrivée de la trajectoire ;}

r(t) : Polynôme d'interpolation ;

R(t) : Equation d'interpolation pour la rotation ;

C : Courbe spatiale paramétrée ;

r (s) : Vecteur position d'un point de la courbe C en fonction de la longueur de l'arc (s) ;

t, n, b : Les trois vecteurs tangent, normale et binormale du repère de Frenet ;

Pi(s) : Le polynôme d'interpolation de la spline cubique ;

aji : Les coecients du polynôme ;

J : La fonction objectif totale ;

α et β : Les coecients de pondération ;

F (X) : Fonction objectif responsable de l'évitement d'obstacle ;

p (g(X)) : La fonction de pénalité ;

g(X) : Fonction liée aux diérentes contraintes pour l'évitement d'obstacles ;

Nobs : Nombre d'obstacle ;

robs : Vecteur position du centre de gravité de l'obstacle ;

χ : Vecteur des paramètres d'optimisation ;

C : Les contraintes d'égalité ;

G : Les contraintes d'inégalité ;

Np : Nombre de points de contrôle sur la courbe C ;

np : Nombre de points pris sur la trajectoire ;

S : Extension du manipulateur ;

τ : Vecteur des forces articulaires actives ;

X, Vp, ˙Vp : Resp. Position, torseur de vitesses et torseur d'accélération cartésiènnes ;

[Fix, Fiy, Fiz]

T _{: Composantes de la force de réaction ;}

Jik : Matrice jacobienne du segmenti du module k ;

ˆ

f_p : Le torseur dynamique de la plate-forme ;

Ip : Le tenseur d'inertie de la plate-forme ;

mcp : Le premier moment d'inertie ;

cp = [cxp, cyp, czp]T: Le vecteur position du centre de masse de la plate-forme ;

g : L'accélération de la pesanteur ;

I3 : Matrice identité (3 × 3) ;

Jp : Matrice d'inertie globale (6 × 6) de la plate-forme ;

Ia : Matrice diagonale (6 × 6) représentant les inerties des actionneurs ;

Fv : Matrice diagonale (6 × 6) des paramètres de frottements visqueux ;

Mi : Matrice (3 × 3) d'inertie du segment i ;

Ci : Le vecteur des éléments des forces de Coriolis, centrifuge et de gravité ;

Mi : La matrice (3 × 3) d'inertie cartésienne du segment i ;

hr : Vecteur colonne des forces de Coriolis, centrifuge et de gravité ;

˙

Le vingtième siècle a été certainement marqué par le puissant développement dans le do-maine de la robotique, où les robots manipulateurs ont permis de décharger les opérateurs humains des tâches les plus répétitives et pénibles présentes dans l'industrie. Mais à présent, les robots sont partout, dans les usines et dans les champs, dans l'espace et au fond des mers, et c'est ainsi que la communauté scientique n'a cessé d'innover pour s'adapter en fonction des applications technologiques. Les premiers robots furent alors des robots à structure série simple. Cette catégorie de robots, qui a encore du succès dans le domaine industriel, ore l'avantage d'un grand domaine de travail opérationnel mais présente l'inconvénient d'être peu rigide. De ce fait, le préhenseur de ces robots manipulateurs est souvent positionné avec peu de précision et ceux-ci ne peuvent déplacer que de faibles charges par rapport à leur propre masse.

Les robots parallèles sont apparus pour pallier cet inconvénient, ils bénécient d'une très grande rigidité mais possèdent en contre - partie un domaine de travail relativement restreint. L'idée d'allier les avantages des deux précédents types de structures, à savoir un grand domaine de travail et une grande rigidité, a conduit à la réalisation d'une nouvelle classe de robots dits hybrides à structure série-parallèle. Le progrès atteint par le developpement de ces robots a fait que les ambitions des chercheurs se sont dirigées vers la création de structures hybrides capables d'eectuer des tâches de plus en plus complexes et variées demandant de meilleures performances. C'est ainsi qu'est apparu la catégorie de manipulateurs hybrides hyper-redondants. L'architecture modulaire de ces robots est bénéque et relativement simple, mais cependant, leurs possibilités de mouvements étant extrêmement complexes, ils sont souvent diciles à modéliser. Or, l'élaboration d'un modèle dynamique est essentielle pour la commande et pour l'analyse du comportement dynamique du manipulateur avant le développement de son prototype.

Cette thèse s'inscrit dans ce contexte. Nous avons traité le problème de la modélisation dy-namique des robots parallèles hybrides en s'inspirant des méthodes développées pour la modéli-sation des robots industriels séries, parallèles et arborescents, à boucles ouvertes ou fermées. Les algorithmes de modélisation géométrique et cinématique développés dans cette thèse utilisent un formalisme d'optimisation non linéaire sous contraintes. Les algorithmes de la dynamique utilisent le formalisme des équations de Newton-Euler récursives adaptées au cas des manipu-lateurs parallèles hybrides. Nous avons également aborder quelques aspects de la commande et du contrôle du robot en simulation.

Ce manuscrit est organisé de la façon suivante :

1. Le chapitre 1 passe en revue les robots hybrides et parallèles hybrides. Il permet d'intro-duire les problèmes relatifs à ces robots ainsi qu'à la notion d'hyper-redondance. Nous présentons un état de l'art des méthodes d'analyse et de modélisation utilisées dans le cadre de ces structures complexes.

2. Le chapitre 2 présente la modélisation géométrique et cinématique des manipulateurs parallèles hybrides. Une analyse particulière du cas du robot pleinement parallèle à été détaillée, ce dernier étant un module de base de la structure entière. La modélisation géométrique et cinématique des diérentes parties de la structure hybride, est rélisée sur la base de la paramétrisation géométrique des robots séries et parallèles. Par une première approche, la cinématique diérentielle inverse est utilisée pour résoudre le problème de la redondance du manipulateur.

3. Le chapitre 3 présente la méthode proposée pour la résolution de la cinématique inverse des manipulateurs hyper-redondants. Avec cette approche, le problème est posé en termes d'optimisation non linéaire sous contraintes. Une méthode d'optimisation cherchant à générer les congurations cinématiques optimales a été présentée. Le processus est réalisé en utilisant la puissante technique de programmation SQP qui assure la résolution des équations d'optimalité Karuch-Kuhn-Tucker (KKT) et donc garantit une convergence linéaire. Ce chapitre à permis de mettre en avant la solution type optimisation par rapport à celle de la jacobienne pseudo-inverse. La méthode est validée expérimentalement sur un cas réel.

Euler est étendue au cas des robots parallèles hybrides modulaires pour le calcul du modèle dynamique inverse généralisé. Quelques résultats de simulation sont fournis avant d'aborder la commande.

Le chapitre aborde, principalement, les points suivants :  L'étude d'un générateur de mouvements ;

 La formulation du problème d'optimisation non linéaire sous contraintes pour la réso-lution de la redondance ;

 La synthèse d'un modèle dynamique inverse global à architecture modulaire. Le modèle prend en considération tous les paramètres dynamiques du manipulateur sans simpli-cation inutile.

5. Le chapitre 5 traite la commande du robot parallèle hybride en simulation. Nous abordons, dans ce chapitre, les points suivants :

 L'étude de quelques lois de commande des robots parallèles et parallèles hybrides ;  La synthèse de la commande dynamique ;

 En considérant un ensemble de consignes rapportées par l'algorithme d'optimisation , il s'agit de faire la synthèse pour établir un schéma de commande qui satisfait l'objectif de contrôle du mouvement du manipulateur.

Nous résumons dans la conclusion, la contribution à la modélisation dynamique des robots parallèles hybrides apportée par cette thèse et les perspectives qui peuvent suivre.

Chapitre 1

Etat de l'art sur les robots parallèles

hybrides

1.1 Introduction

L'étude et la conception de robots hybride (série - parallèles) est complexe puisque cela fait appel à une modélisation dynamique souvent dicile et fastidieuse, compte tenu de la com-plexité de la structure mécanique. Divers travaux de recherche ont été menés dans ce domaine en vue de surmonter les limitations relatives aux méthodes de modélisation existantes, liées aux robots conventionnels (séries et parallèles).

Dans les applications industrielles, les manipulateurs hybrides utilisés ont des structures di-versiées, série-parallèle, à treillis articulés à géométrie variable appelés aussi les VGT pour Variable Geometry Truss, parallèle - hybride, modulaire (empilement de plusieurs modules pa-rallèles) etc. Toutes ces architectures présentent l'intérêt d'être redondantes, d'avoir un espace de travail important et un bon rapport charge utile/masse ; cela dépend évidemment de chacune des applications.

Ainsi, un système de manipulation de type hybride est une combinaison de mécanismes à chaîne fermée et à chaîne ouverte, comme il peut être une séquence de mécanismes parallèles. Ce cha-pitre est consacré à fournir une vue d'ensemble sur les diérentes façons de concevoir et de modéliser ces robots, en présentant les résultats les plus avancés en la matière, à la fois théo-rique et technologique. Cette vue d'ensemble de la littérature, permet de ressortir un panel de méthodes qui pourrons nous aider dans la synthèse et la modélisation de telles structures. Pour

Ensuite, tout en se xant le cas des robots parallèles hybrides, une analyse des points forts et des lacunes des méthodes de modélisation existantes et eectuée.

1.2 Généralités à propos des robots hybrides

Les manipulateurs à structures cinématiques parallèles peuvent bien assurer les exigences de grande vitesse et de rigidité. Cependant, leur espace de travail restreint, relativement aux robots séries, représente toujours un inconvenient majeur. L'alternative aux structure dites hybrides série parallèle a permis d'allier les avantages des deux structures concentionnelles, c'est à -dire essentiellement : un espace de travail important et une grande rigidité.

L'idée a été initialement utilisée par Chen [5] pour étudier le robot hybride série - parallèle (Figure 1.1), qui consiste en une structure parallèle combinée à un eecteur de type série. La partie série est surtout responsable de l'augmentation de l'espace de travail.

Figure 1.1  Robot hybride composé d'une plate-forme de Stewart et d'un robot série. Parmi les réalisations de robots hybrides, on trouve le fameux robot Tricept de Neos dont le concept a été largement utilisé, sous diérentes versions, pour concevoir des machines outils très rapides et dotées d'une grande précision (Figure 1.2). Le Design est représenté par un porteur parallèle et poignet sériel.

Figure 1.2  Le robot hybride Tricept. A gauche le prototype de NEOS, à droite le Tricept HP1 de COMAU

dans les architectures du type poignet actif [42] et [59]. Cette conguration permet de dépasser la limitation de l'espace de travail d'un robot parallèle. Un autre type de manipulateurs hybrides consiste à monter en série des robots parallèles. C'est ce qu'on appelle les robots parallèles -hybrides. Dans cette classe on trouve le robot étudié par Tanev [57] et celui de Bo [39] (Figures 1.3 a et b respectivement).

(a) (b)

Figure 1.3  Robot parallèle hybride. (a) à 6 DDL, (b) manipulateur 2(SP + SP R + SP U). Le même principe a été utilisé, à petite échelle, par Dezhong [11] qui a présenté l'étude d'un micro-manipulateur formé par deux modules parallèles de type 3-PRS montés en série actionnés séparément par trois actionneurs prismatiques (Figure 1.4).

Figure 1.4  Micro-Manipulateur parallèle hybride à six degré de liberté.

Il est à noter que ces trois derniers manipulateurs parallèles hybrides ne sont pas redondants c'est - à - dire qu'ils possèdent au maximum 6 DDL. Puisque notre propos concerne aussi bien les robots parallèles que ceux hybrides redondants, il apparaît clairement que les caractéris-tiques des manipulateurs parallèles les rendent attractifs dans les situations où la redondance cinématique et nécessaire. En eet, une première possibilité d'architecture redondante consiste simplement à empiler des mécanismes à architecture parallèle. Le cas des VGT représente un exemple typique. Ces treillis à géométrie variable apparaissent dans les ÷uvres de Miura [18] et de Reinholtz [49] et tout récemment dans le travail de Sven [59] (Figure 1.5).

1.2.1 Concept de Manipulateurs Hyper-Redondant

L'idée de concaténer plusieurs modules parallèles a été utilisée pour le développement de robots manipulateurs hautement redondants et ayant un espace de travail considérable. C'est ce qu'a réalisé la société Logabex avec son robot LX4 [41] (Figure 1.6). Ce type de manipulateur extrêmement redondant (24 DDL actionnés), possède un espace de travail important et un bon rapport charge utile/masse.

Figure 1.6  Le robot LX4, contitué d'un empilement de 4 modules de type plate-forme de Stewart.

Si le nombre de degrés de liberté actionnés dépasse considérablement le nombre de dégrés de liberté nécessaire pour accomplir une tâche, le manipulateur est dit hyper-redondant. Ce genre de manipulateur représente pratiquement les robots de troisième génération.

En termes de développement matériel, le domaine a évolué dans deux directions principales : les structures à liaisons rigides dites discrètes, et les structures continues. Les manipulateurs à structures continues aussi appelés bioniques (terminologie associée à un transfert de solutions biologiques trouvées dans la nature, vers des systèmes d'ingénierie et de la technologie mo-derne), peuvent imiter les mouvements de certains animaux [24] tels que serpents, tentacules, trompe d'éléphant etc. Cependant, malgrès leurs performances extraordinaires, ils restent beau-coup moins rigides que ceux discrets. Dans le cadre de cette thèse, seule le cas des structures à liaisons rigides est considéré. L'empilement de plusieurs modules parallèles, identiques ou non,

Gallardo a présenté dans ces travaux [19][37] une étude complète du robot modulaire spatial hyper-redondant (Figure 1.7). Pour joindre entre les caractéristique de rigidité et de exibilité, des travaux de recherche très innovants ont traités des structures bio-inspirées à liaisons rigides tel que dans les travaux de Chablat [3] et Khalil [32]. On trouve aussi le robot hyper-redondant developpé par Julien [29] destiné à la chirurgie médicale, dont le prototype est présenté à la gure 1.8 et celui de Rongjie [50] imitant l'Octopus avec l'empilement de 25 modules parallèles de type 4-RPS 1PU.

Figure 1.7  Un robot hyper-redondant composé d'une succéssion de modules parallèles type 3-RPS, [19]

Il convient aussi de citer les manipulateurs hyper-redondants utilisants un mode d'action-nement linéaire binaires, dont l'étude a été détaillée par Chirikjian [8] et Vivek [55] (Figure 1.9).

1.2.2 Pourquoi les manipulateurs hyper-redondants ?

Les manipulateurs hyper-redondants ont un grand nombre de degrés de liberté actionnés qui dépasse le nombre minimal requis pour eectuer certaines tâches. Leur forme série surmonte l'espace de travail limité des robots parallèles. Ces manipulateurs sont bien adaptés pour des opérations dans des environnements très contraints, et peuvent être conçus pour avoir une grande robustesse à l'égard de défaillances mécaniques. Dans un environnement tridimentionnel,

Figure 1.8  Prototype du robot serpent hyper-redondant de [29]

Figure 1.9  Le robot binaire hyper-redondant de [55]

un robot à 6 DDL (Figure 1.10a) est requit pour atteindre un point de l'espace avec une certaine orientation. Un manipulateur hyper-redondant (MHR) (Figure 1.10b) est capable non seulement d'atteindre la cible avec la même orientation, mais aussi possède les capacités de le faire d'une façon redondante. Cette caractéristique d'hyper-redondance est avantageuse en eet aux problèmes délicats de singularités et de butés articulaires, très présents en robotique, ainsi que l'évitement d'obstacles dans les environnements irréguliers.

1.3 Exemples d'applications

Les robots manipulateurs hyper-redondants ont un grand nombre de degrés de libertés qui se comportent comme des serpents, des trompes d'éléphants et des tentacules. Ils ont un grand

(a) (b)

Figure 1.10  (a)-Robot manipulateur à 6 DDL. (b)-Manipulateur Hyper-redondant de [26]. potentiel pour l'inspection et la réparation, l'exploration et le sauvetage dans des environne-ments complexes et non structurés, ainsi que dans les opérations mini-invasives dans les soins de santé.

L'instrument chirurgical articulé représenté sur la gure 1.11 est d'une extrème souplesse mal-gré sa structure métallique. Terminé par une pince de moins de 5 millimètres, c'est un MHR typique de très haute précision.

Figure 1.11  Manipulateur hyper redondant pour la chirurgie médicale [47]

Utilisés dans le domaine de l'exploration en mileux sismiques (Figure 1.12), les mécanismes à serpent, ont beaucoup plus de degrés de liberté que les robots conventionnels et les machines de sauvetage, tout en ayant en même temps une petite section transversale. Cette grande mobilité permet à ces mécanismes hyper-redondants de passer à travers des volumes serrés pratiquement inaccessibles aux robots et personnes classiques tout en ne perturbant pas les zones environnantes.

Figure 1.12  Exploration en mileux complexes [2]

Le fameux bras télémanipulateur utilisé dans la technologie spatiale (Figure 1.13), appelé Canadarm, également connu sous le nom de Shuttle Remote Manipulator System est un produit innovant de l'agence spatiale Canadiènne. Ce bras à très grande redondance cinématique utilise le principe des architectures hybrides série - parallèle.

Figure 1.13  Le Canadarm [10]

1.4 Approches de modélisations des robots parallèles

hy-brides

Comme pour les robots conventionnels, les tendances de la recherche sur les manpulateurs parallèles hybrides et hyper-redondants concernent tous les aspects de la robotique à savoir :

tion, Design, synthèse de l'espace de travail, commande etc. Leurs performances remarquables ont aussi motivées la recherche dans d'autres aspects tels que : génération de trajectoires opti-males, les algorithmes d'évitement d'obstacles, commande tolérante aux fautes, recongurabi-lité. Neanmoins, quleques axes de recherches présentent un interêt particulier, compte tenu de leur importance dans tout ce qui a été cité, à savoir : la modélisation géométrique, la modéli-sation dynamique et l'établissement de schémas de commande ecace.

1.4.1 Modélisation géométrique des manipulateurs hyper-redondants

Dans la littérature, des recherches sur l'analyse géométrique (directe et inverse) eectuée sur des robot hybrides utilisés pour diverses applications sont rapportés [57], [58], [25], [46]. Pour les robots hybrides spécialement redondants, les méthodes de modélisation géométrique basées sur la représentation traditionnelle de Denavit Hartenberg ne peuvent résoudre le problème [21]. La situation devient encore plus compliquée pour les robots parallèles hybrides hyper-redondants. En eet, dans ces conditions, le problème géométrique inverse n'est pas à solution unique. Comme indiqué sur la gure 1.14, pour une conguration opérationnelle donnée de l'eecteur terminal, il existe une innité de solutions permettant au robot d'atteindre sa cible.

Figure 1.14  Redondance cinématique des MHR

Cheng et al. [36] ont utilisés la méthode numérique de Newton-Raphson pour résoudre le problème géométrique direct d'un manipulateur hybride redondant à 10 DDL, contenant un mécanisme coulissant à manivelle en boucle fermée et un mécanisme à actionneurs parallèles. Le mouvement du robot étant découplé, le module inférieur est considéré comme mécanisme

positionel et le module supérieur responsable de l'orientation.

Charentus [4] a étudié la modélisation et le contrôle d'un manipulateur composé d'un empi-lement de plate-formes de Stewart assemblées en série. La méthode de résolution utilise une pro-cédure itérative faisant intervenir la matrice jacobienne du manipulateur et sa Pseudo-inverse. La commande a été réalisée sur un prototype à 4 plate-formes de Stewart. L'inconvennient majeur de la solution type jacobienne et l'unicité de la solution et la forte non linéarité dans les modèles géométriques. Chirikjian [9] propose une nouvelle technique de modélisation géo-métrique pour les robots hyper-redondants basée sur le concept de l'épine dorsale (Backbone curve). Cette dernière est représentée par la courbe médiane du robot. La résolution du pro-blème géométrique inverse se réduit à la détermination du comportement de la courbure en fonction du temps. Une approche modale a été introduite et la technique est mise en ÷uvre sur un prototype de robot à 30 DDL. Cependant, Cette technique demande beaucoup d'intuition quant-au choix des modes et d'autre part, il est très dicile, dans ces conditions, de satisfaire les contraintes de position et d'orientation de l'eecteur terminale (E.T.). Kourosh et al. [34] introduisent une technique de paramétrage de la courbe médiane du MHR par des splines cu-biques. Les informations liées à la pose de l'E.T. sont directement utilisées pour déterminer les équations paramétriques des splines. La résolution de la redondance se fait par la détermination de la forme optimale de la courbe médiane et ce pour un critère d'optimisation donné. Dans le travail de Ibrahim et al. [28] qui ont étudié un exemple typique du robot hybride, seule le modèle géométrique inverse de chaque module parallèle a été considéré. En utilisant la même formulation, Gallot [27] a considéré le cas du manipulateur hybride à base mobile. Dans ces deux dernières références, les auteurs n'ont pas résolu le problème de redondance dans sa globalité et les paramètres opérationnels sont répartis d'une façon linéaire sur les plate-formes intermé-diaires. Gallardo [37] a utilisé la théorie du visseur pour l'étude géométrique et cinématique d'un manipulateur modulaire, le module de base étant du type 3-RPS. Une forme analytique du modèle géométrique direct a été établie. Iwatsuki [45] a présenté une analyse géométrique d'un manipulateur hyper-redondant. Le modèle géométrique direct est calculé, en fonction des modèles géométriques de chaque module, par une procédure numérique. Le modèle inverse est calculé d'une manière itérative de façon à faire converger l'erreur de sotie. Les déplacements de sortie sont distribués dans chaque unité avec un coecient de pondération. Une commande en position du robot a été examinée théoriquement et expérimentalement sur la base de la ciné-matique inverse. Le travail présenté par Julien [29] concerne la conception, la modélisation et

sur un modèle physique a été proposé. Dans ce papier, l'auteur n'a pas donné des explications concernant la résolution de la redondance cinématique.

1.4.2 Modélisation dynamique

Habituellement, la dynamique direct est utilisée dans la simulation d'un système robotisé, tandis que la dynamique inverse est utilisée dans la conception de stratégies de commande. Les mécanismes parallèles ont des avantages distincts dans la dynamique et la rigidité. Malgré qu'un grand nombre de travaux ont discuté de la dynamique des mécanismes parallèles, très peu de documents sont concernés par la dynamique des manipulateurs parallèles multi-segments surtout dans le contexte des robots hyper-redondants. Sklar et al. [52] ont utilisé le principe de D'Alembert appliqué à une structure arborescente équivalente de la structure fermée. Chung [38] a calculé la dynamique du robot hybride, en fonction de la dynamique de chaque module, en utilisant le concept des articulations virtuelles qui sont attachées à la base de chaque mo-dule. Une formulation récurcive du modèle dynamique a été proposée et les auteurs notent que cette technique est avantageuse puisqu'on est pas obligé de déduire la dynamique entière du système hybride, mais le modèle dynamique de chaque module peut encore être utilisé avec un traitement supplémentaire des articulations virtuelles reliant deux modules adjacents. Gallot et Khalil [27] ont présenté un modèle dynamique d'un robot en forme de serpent avec des liaisons rigides, mais seul le problème dynamique inverse est résolu. Khalil et Ibrahim [28] présentèrent une solution récursive pour la modélisation dynamique des robots hybrides qui sont construits par des modules parallèles connectés en série. Cette méthode est inspirée de l'algorithme de Newton-Euler récursif conçu pour les robots séries en faisant usage d'une méthode récente de calcul de la dynamique des robots parallèles [31]. Une analyse dynamique complète d'un robot modulaire hyper-redondant a été présentée par Gallardo et al. [19]. Les auteurs ont utilisé le principe des travaux virtuels. Les expressions permettant de calculer les forces aux actionneurs sont déduites de la forme de Klen de l'algèbre de Lie. La méthode proposée est validée par simulation, sur un cas d'étude d'un manipulateur composé de 6 modules (18 DDL). Dans le travail de Rongjie et al. [50] la cinématique et la dynamique d'un manipulateur inspiré de l'ana-tomie de l' Octopus sont analysées et simulés en utilisant une méthode de modélisation basée sur le formalisme de Newton-Euler. A partir d'un concept modulaire, un modèle dynamique multi-segments a été proposé tout en prenant en considération l'environnement aquatique du

manipulateur (forces hydrodynamiques). Stefan [54] a présenté une étude sur la dynamique inverse d'un manipulateur hybride formé par deux plate-formes de Stewart. Connaissant les mouvement relatifs des plateaux mobiles, le modèle dynamique est résolu en utilsant une forme explicite récurssive des équations de mouvement. Ces équations matricielles, sont basées sur le principe des travaux virtuels. La methode reste extensible au cas de l'empilement de plusieurs modules parallèles.

1.5 Conclusion

Dans ce chapitre sur l'état de l'art, nous avons fait un tour d'horizon sur les robots parallèles hybrides. Avec leur architecture modulaire, ils sont hyper-redondants. Nous avons pu voir que les techniques de modélisation, d'identication et de commande des robots parallèles hybrides restent actuellement des champs ouverts à la recherche et ce, pour permettre d'utiliser au mieux ces structures performantes.

Cette étude montre aussi, que la plus part des systèmes sur - actionnés tels que les robots parallèles hybrides sont modélisés au cas par cas car il n'existe pas de formalisme général à cause des particularités conceptuelles et des conditions de travail.

Nous avons également constater que la littérature se concentre surtout sur la résolution de la cinématique inverse ce qui favorise l'établissement d'un modèle dynamique ecace. Ceci est justié par le fait que le modèle inverse est destiné à la commande dynamique, réalisable sur du prototype.

Modélisation géométrique et cinématique

des robots parallèles hybrides

2.1 Introduction

En réponse aux exigences d'un espace de travail assez important, les manipulateurs à struc-tures ouvertes simples trouvent beaucoup d'applications dans le domaine industriel. Cependant, compte tenu de la mauvaise répartition de la charge le long du mécanisme, ces systèmes pré-sentent l'inconvénient d'être peu rigides et relativement lents. Une structure hybride constituée d'un empilement de modules parallèles peut bien regrouper les avantages des structures séries et des structures parallèles. En eet, elle possède la caractéristique d'avoir à la fois un grand espace de travail et une grande rigidité. Des manipulateurs, bien qu'ils ne soient pas nombreux, répondant à ce cahier des charges sont construits soit à des ns industrielles ou d'engineering. Ce type de manipulateurs ce caractérise par la redondance d'actionnement vis-à-vis du degré de liberté de l'organe terminal ce qui lui confère, entre autre, des stratégies d'évitement d'obs-tacles dans l'espace opérationnel. Pour le paramétrage de la structure hybride (série - parallèle), nous allons utiliser la notation, largement utilisée, de W. Khalil [15] pour les robots à structure sérielle, arborescente ou fermée. Nous introduisons, ensuite, la notion de manipulateur hyper-redondant.

On entend par robots à chaines cinématiques complexes des robots à structures arborescentes et à structures fermées. La méthodologie à suivre pour décrire ce genre de manipulateur est une généralisation de la méthode de Khalil-Kleinnger [33] pour les robots à structures ouvertes

simples.

2.1.1 Description des robots à chaine complexe

2.1.1.1 Structure arborescente

Une structure arborescente est constituée de n articulations, de n + 1 corps rigides notés

C0, C1, ..., Cn et au moins de deux organes ou corps terminaux. La numérotation ainsi que le

placement des repères est fait selon la convention représentée à la gure 2.1 de la manière suivante :

 la base constitue le corps C0

 Les numéros des corps et des articulations sont croissants sur chaque branche en partant de la base vers un organe terminal ;

 Le corps Cj est articulé par l'articulation j, l'articulation j connecte le corps Cj au corps Cj−1.

Figure 2.1  Notations associées à une structure arborescente

L'axe zi étant porté par l'axe de l'articulation i, xi porté par la perpendiculaire commune

à zi et à l'axe zj de l'un des corps aval porté par le corps j. Dans le cas où le corps Ci possède une arborescence, le repère Ri(Oi, xi, yi, zi, )lié au corps Ci est déni comme montré à la gure 2.2

Le passage du repère Riau repère Ri0, déni par (xi0, zi) s'eectue à l'aide de six paramètres ; quatres paramètres usuels, dits paramètres géométriques de Denavit-Hartenberg (αj,dj, θj,rj) et deux paramètres responsables de l'arborescence :

 γj : angle entre xi et xi0 autour de zi;  bj : distance entre xi et xi0 le long de zi.

Figure 2.2  Paramètrage géométrique d'un corps à plus de deux articulations La matrice de transformation homogène ainsi construite est donnée par :

i_T

j =Rot(z, γj)Trans(z, bj)Rot(x, αj)Trans(x, dj)Rot(z, θj)Trans(z, rj) (2.1)

qui s'écrit sous forme explicite :

i_T j =        CγjCθj− SγjCαjSθj −CγjSθj − SγjCαjCθj SγjCαj djCγj + rjSγjSαj SγjCθj+ CγjCαjSθj −SγjSθj + CγjCαjCθj −CγjSαj djSγj − rjCγjSαj SγjSθj SγjCθj Cαj rjCαj+ bj 0 0 0 1        (2.2) La relation inverse s'écrit :

j_T i =        −bjSαjSθj− djCθj i_AT j −bjSαjCθj + djSθj −bjCαj − rj 0 0 0 1        (2.3)

On note que dans la relation 2.2 le cas bj et γj nuls correspond à la situation xi et xi0

confondus qui n'est autre que le cas des chaînes ouvertes simples. 2.1.1.2 Description des structures fermées

Dans ce cas le nombre d'articulations ` est supérieur au nombre de corps mobiles n. La diérence B = ` − n dénit le nombre de boucles fermées (indépendantes). Où ` est le nombre

d'articulations totales dont seulement N articulations sont pourvues d'actionneurs.

Partant de l'hypothèse que la structure est compatible avec les contraintes de fermeture de boucles et que le nombre N de degrés de liberté du robot est égal au nombre d'articulations motorisées, on peut dire que la connaissance des N variables articulaires correspondantes permet de déterminer la conguration du robot, c'est-à-dire la situation de tous les corps du manipu-lateur. Pour déterminer les paramètres géométrique d'un tel système, on eectue virtuellement

B coupures de façon à ouvrir B boucles indépendantes. On coupe généralement l'articulation

non motorisée. Les articulations coupées seront numérotées de (n + 1) jusqu'à `.

Soit Rq le repère lié à l'articulation coupée q la gure 2.3 illustre le placement des repères

sur une articulation coupée. Le repère Rq étant xe par rapport au corps Cj (l'un des corps

supportant l'articulation q) la transformation i_T

j est bien constante. Dans ces conditions les

relations de fermeture de boucles sont entièrement déterminées par l'équation suivantes :

Figure 2.3  Placement des repères sur une articulation coupée

q_T

j...iTq =I4 (2.4)

Finalement la structure comportant des boucles fermées s'est ramenée à un système arbo-rescent en coupant chaque boucle sur une de ses articulations et en ajoutant deux repère par

articulation coupée (Rq et R

0

Figure 2.4  Robot parallèle plan type 3-RPR (a). Robot parallèle spatial type 6-SPS (b) 2.1.1.3 Description des structures parallèles

Un robot parallèle est formé par un ensemble de chaînes cinématiques liées à l'une de leurs extrémités à un corps de référence appelé base et à l'autre extrémité à une plate-forme mobile qui porte éventuellement l'organe terminale. pratiquement on distingue deux classes de robot parallèles : les robots planaires et les robots spatiaux (Figures 2.4 (a) et (b)).

Du point de vue géométrique les robots planaires ne représentent qu'un cas particulier des robots spatiaux. Un robot parallèle est un mécanisme à boucles fermées. La structure arbores-cente équivalente sera obtenue en coupant toutes les articulations entre la plate-forme et les segments (chaînes cinématiques). Il est clair que l'état du robot est décrit par les coordonnées cartésiènnes de la plate-forme par rapport à la base et donc on n'a pas besoin de repérer les articulations coupées comme dans le paragraphe précédent.

Dans le schéma descriptif du robot parallèle (Figure 2.5), le repère Rb(xb, yb, zb) d'origine Ob est xé à la base (corps C0), le repère Rp(xp, yp, zp) est xée à la plate-forme mobile (le

corps Cp) de centre Op; la structure parallèle comporte m segments ou chaînes cinématiques.

La structure arborescente ainsi obtenue est ensuite décrite en utilisant les notations de Khalil-Kleinnger comme expliqué précedemment. On montre dans la gure 2.5 l'énumérartion des

corps de la structure arborescente. ni étant le nombre de corps du segment i, Rji est le repère

associé au corps j du segment i (i = 1...m et j = 1...ni). Le jième corps du segment i sera noté

Figure 2.5  Schéma descriptif d'un robot parallèle

2.1.2 Description des structures parallèles hybrides

2.1.2.1 Introduction

Comme nous l'avons vu au chapitre précedent, dans les situations où il faut paradoxalement allier entre espace de travail important et grande rigidité, l'alternative aux structures hybrides série - parallèles consistant à mettre en série des modules de structure parallèles semble bien assurer ces exigences. En eet, les treillis articulés sont des exemples de manipulateurs parallèles hybrides hautement redondants puisque l'une des architectures possible consiste simplement à mettre en série des robots de type parallèle.

Aussi encore, La caractéristique intéressante de ce manipulateur, en plus de sa grande exi-bilité, est le très grand nombre de poses qu'il peut atteindre.

Tous ces types de structures nous permettent d'obtenir des manipulateurs avec un grand espace de travail, une faible masse et une redondance élevée, mais leur synthèse cinématique et leur contrôle posent encore de sérieux problèmes.

Par soucis de simplicité de la présentation, des manipulateurs hybrides de type modulaire sont considérés, c'est-à-dire formées d'un empilement de modules parallèles identiques.

2.1.2.2 Le robot parallèle hybride hyper-redondant

La structure hybride est composée de n modules parallèles connectés en série. m segments

connectent la plate-forme d'un module k à sa base. On dénit un repère Rpk xé à la

plate-forme du kime _{module, et un repère R}

bk xé à sa base. R0 est le repère lié à la base du premier module (base du manipulateur) (Figure 2.6).

Figure 2.6  Description du manipulateur parallèle hybride

Il convient de noter que les modules étant xés l'un à l'autre à travers leurs bases et

plate-formes mobiles, il exite une transformation constante entre Rpk et Rbk. Si l'on considère que la

base du module k et la plate-forme du module k − 1 sont confondus (les centres coincident) cette transformation sera ignorée ; les indices p et b seront omis et la notation des repères sera

simpliée à Rk le repère de centre Ok lié à la plate-forme mobile du module k et Rk−1 le repère,

de centre Ok−1, xé à sa base (plate-forme du module k − 1).

Dans ces conditions une matrice de transformation homogène k−1_T

k (k = 1, 2, ...N) peut être déni pour relier les systèmes de coordonnées k − 1 et k . La matrice contient les deux termes usuels de rotation R et de translation p.

k−1_T k=   k−1R k k−1pk 03×1 1   (2.5)

Notre étude concerne un robot manipulateur à architecture modulaire, il possède une struc-ture de chaîne cinématique complexe ; il se compose de plusieurs modules parallèles (6-UPS pour le cas spatial ou 3-RPS pour le cas plan), chacun d'eux jouant le role de liaison complexe

à 6 ou 3 DDL.

2.1.3 Calcul du degré de liberté des mécanismes et notion de

redon-dance

Le nombre de degré de liberté est le nombre de variables articulaires indépendantes néces-saires pour déterminer la situation de tous les corps de la structure. Plusieurs chercheurs ont proposé des formules pour déterminer systématiquement le degré de liberté d'un mécanisme à partir d'une étude topologique mais il s'avère qu'aucune d'entre elles n'est généralisable pour tous les mécanismes. C'est la raison pour laquelle une étude géométrique ou cinématique s'est imposée en utilisant la théorie des mécanismes. En eet, les formules de mobilité classiques peuvent nous conduire à ignorer certains degrés de liberté. Néanmoins, la formule de Grübler est généralement utilisée, Merlet [41] ; elle permet de calculer le nombre de degré de liberté par :

N = 6 (nc− ` − 1) +

n X

i=1

di (2.6)

où nc représente le nombre total de corps rigides du mécanisme, y compris la base,` est le

nombre total d'articulations et di le nombre de degrés de liberté de l'articulation i.

2.1.3.1 Nombre de degré de liberté d'une structure fermée

Une expression générale du nombre de degré de liberté est représentée par la diérence entre le nombre de variables articulaires et le nombre d'équations indépendantes de contraintes géométriques des boucles.

N = ` − r (2.7)

r est le nombre d'équations indépendantes, il est au maximum égal à 6 pour une boucle

spatiale et à 3 pour une boucle planaire. Il est montré dans Gosslin et al. [22] que r est donné par le rang maximal de la matrice jacobiènne J, issue de la diérentiation de l'équation de boucle, qui dépend du vecteur de conguration articulaire q :

r = Max

q (rangJ(q)) (2.8)

Le nombre de degré de liberté de la chaîne cinématique fermée, exprimé par la relation 2.7, est alors :

N = ` − Max

q (rangJ (q)) (2.9)

ou encore :

N = Min

q (dim(N (J ))) (2.10)

où N (J ) est le noyau (ou nullité) de la matrice J (q).

D'autre part, il est montré dans, Khali et al. [15], que la relation suivante se vérie dans la plupart des cas :

N = ` − B X

j=1

rj (2.11)

où rj est le nombre de contraintes de la boucle j. En général rj = 6 pour une boucle spatiale

et rj = 3 pour une boucle plane.

2.1.3.2 Cas des robots parallèles

Les robots parallèles sont des structures à chaîne cinématique fermée, il est donc délicat de dénir leur nombre de degré de liberté. On utilisera la relation 2.12, susante pour un grand nombre d'architectures, qui exprime le nombre de degré de liberté de la plate-forme mobile en fonction du nombre total de degré de liberté des articulations (leur mobilité) est du nombre B de boucles : N = ` X i=1 di− B X j=1 rj (2.12) avec :  di : mobilité de l'articulation i ;  ` : nombre total d'articulations ;

 rj : nombre de contraintes de la boucle j.

rj = 6 pour une boucle spatiale et rj = 3 pour une boucle plane

Pratiquement, les chaînes cinématiques entre base et plate-forme sont le plus souvent iden-tiques, la relation 2.12 devient :

m étant le nombre de chaînes, d la somme des mobilités des articulations d'une même chaîne

et rj le nombre de contraintes par boucle.

2.1.3.3 Manipulateur pleinement parallèle

Les robots parallèles pour lesquels le nombre de chaînes cinématiques (segments) est stric-tement égal au nombre de DDL de l'eecteur sont appelés manipulateurs pleinement parallèles. Pour caractériser le parallélisme de ces mécanimes, certains auteurs ont introduits le degré de parallélisme dp, Merlet [42], déni par :

dp = B

n − 1 (2.14)

Où b, représente le nombre de boucles indépendantes et n le nombre de degré de liberté du terminal. Cet indice varie entre 0 pour un robot série et 1 pour un robot pleinement parallèle. On note que dans le présent travail, seule le cas des mécanismes pleinement parallèles est considéré. 2.1.3.4 Notion de redondance

La redondance se produit lorsque le nombre d'articulations actives N, est supérieur au nombre de variables indépendantes M nécessaires pour dénir la conguration de la plate-forme. Ce type de redondance se produit lorsque des articulations ou des liens actifs supplémentaires sont ajoutés au manipulateur et aura comme avantages : un plus grand espace de travail acces-sible, évitement de singularités cinématiques et l'amélioration de la dextérité, Khalil [30]. Un robot est donc dit redondant lorsque le nombre de degré de liberté de l'organe terminal est inférieur au nombre de degré de liberté de l'espace articulaire (articulations actives). L'ordre ou degré de redondance est égal à N − M.

2.2 Modélisation géométrique des robots parallèles hybrides

2.2.1 Modélisation géométrique d'un module

Considérons le cas général du robot parallèle de la gure 2.5. Chaque segment est une chaîne cinématique, qui est généralement de type série, composée par des corps connectés par des articulations, rotoides, primatiques ou sphériques, auxquelles sont associée des variables actives ou passives en fonction de la nature de l'articulation.

vecteur qp. Le cas des robots pleinement parallèles étant considéré (équation 2.14), la taille

du vecteur qa doit correspondre au nombre de degrés de liberté de la plate-forme M. Si l'on

désigne par x le vecteur des coordonnées opérationelles indépendantes (position et orientation) on écrit alors :

dim (x) = dim (q_a) (2.15)

2.2.1.1 Modèle géométrique inverse

Le modèle géométrique inverse (MGI) consiste à obtenir le valeur des variables articulaires

qa en fonction des coordonnées de la plate-forme x, c'est - à -dire qa = f (x). Le problème

est relativement facile à résoudre est une forme analytique peut être établit. Cependant, l'éta-blissement du modèle dynamique du robot parallèle necéssite le calcul du problème général, c'est-à-dire q = f(x) avec q = [qa,qp].

L'approche la plus utilisée consiste à considérer les équations de fermeture de boucle du

mani-pulateur à travars la chaînes i allant du point Ob au point Op. La pose du repère Rp peut donc

être obtenue en tenant compte de tous les déplacements du segment considéré et ce comme pour le cas des structures à chaînes ouvertes simples. La transformation permettant le calcul

de la position et l'orientation du repère Rp par rapport au repère R0 est donnée par :

0_T

p(x) =0 T1i(q1i)1iT2i(q2i) ...nj−1,iTnji(qnji)

njiT

p, for i = 1, ..., m (2.16)

La matrice de transformation homogène 0_T

p(x) s'écrit alors : 0_T p =   0_R p 0pp 0 1   (2.17) Où 0R

p est la matrice d'orientation qui peut être déni par un ensemble de paramètres connus

tel que par exemple les angles d'Euler. 0_p

p contient les composantes de translation du vecteur

x exprimées dans R0.

L'équation 2.16 conduit enn à des relations implicites entre les coordonnées opérationnelles et les variables articulaires du robot, qui peuvent s'écrirent sous la forme générale suivante :

I(x, q) = 0 (2.18) Une forme plus réduite de l'équation 2.18, concernant uniquement les variables articulaires actives, est donnée par :

Ip(x, qa) = 0 (2.19)

2.2.1.2 Applications

Exemple 1 : Robot parallèle planaire 3-RPR. Le robot parallèle planaire 3-RPR possède trois DDL, deux translations dans le plan (O, x0, y0) et une rotation autour de l'axe z0. Il est composé de trois segments, chacun étant constitué de deux articulations rotoides passives et une articulation prismatique active. Le mécanisme du robot 3-RPR plan est paramétré par les variables qji, i = 1...3, j = 1...3 (Figure 2.7).

Figure 2.7  (a) Conguration géométrique du robot parallèle planaire 3-RPR . (b) Paramètres géométriques associés au segment i

Le vecteur des coordonnées articulaires actives est qa= [q21, q22, q23]T. L'angle d'orientation

de la plate-forme δ est déni entre l'axe x0 et le segment A1A2. Le tableau 2.1 donne les

paramètres de Denavit Hartenberg modiés, dans lequel Le paramètre d'arborescence est γi1=