Essai d'interprétation théorique de l'effet électrique induit par la propagation d'une onde de choc dans une chaine multimétallique

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Essai d’interprétation théorique de l’effet électrique induit par la propagation d’une onde de choc dans une

chaine multimétallique

A. Migault, J. Jacquesson

To cite this version:

A. Migault, J. Jacquesson. Essai d’interprétation théorique de l’effet électrique induit par la prop-

agation d’une onde de choc dans une chaine multimétallique. Journal de Physique, 1972, 33 (5-6),

pp.599-606. �10.1051/jphys:01972003305-6059900�. �jpa-00207285�

MULTIMÉTALLIQUE

A. MIGAULT

(*)

^{et J.}

JACQUESSON

Laboratoire de

Mécanique

^et

Physique

des Matériaux

Groupe

des Ondes de

choc, ENSMA, 2,

^rue

Guillaume-VII,

86-Poitiers

(Reçu

^{le 10}

janvier 1972,

^{révisé le 10}

février 1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ Lorsqu’une onde de choc traverse une jonction bimétallique, ^il apparaît ^{aux extré-}

mités non comprimées de la chaîne métallique, ^{une tension} électrique très semblable à une tension

thermoélectrique ordinaire mais d’amplitude beaucoup plus importante.

L’interprétation théorique proposée ^{de ce} phénomène ^{est basée sur} la notion de « pression ^de

radiation » du _gaz de phonons créé dans le métal comprimé. ^{Elle est} précisée par la résolution

simultanée, ^{limitée au cas linéaire et} quasi-stationnaire, ^des équations cinétiques couplées ^de

Boltzmann régissant ^{le mouvement} des électrons et des phonons. ^Les applications numériques ^sont délicates ; néanmoins, ^les quelques résultats obtenus (couples Cu-CTE, ^{Cu-Ni et} Fe-CTE)

concordent avec les tensions relevées expérimentalement pour les pressions inférieures à 300 kbars.

Abstract. ²⁰¹⁴ When a shock wave goes through the junction ^{of two} metals, ^{an e. m. f. is} generated

between the two non compressed parts ^of the metals. This electrical voltage is similar to the ther- moelectrical effect but is higher ^{than the} thermoelectrical voltage which could be estimated from the shock temperature.

The theoretical interpretation ^of this effect takes account of the « radiation pressure » of the

phonon gaz generated by the shock in compressed metals. Results are found again by ^resolution

of the coupled linearized Boltzmann equations ^for phonons and electrons distributions. Nume- rical calculations are not easy ; the proposed ^law (for Cu-CTE, Cu-Ni and Fe-CTE couples)

agrees with polarity and order of magnitude of experimental results in the 0-300 kbars pressure range.

1. Introduction. Caractères

expérimentaux

^du

phé-

nomène. ^- Dans cet

exposé

^nous allons donner ^un essai

d’interprétation théorique

^{de l’effet}

électrique

induit _par la

propagation

d’une onde de choc dans

une chaîne

multimétallique.

Cet

effet, signalé

pour la

première

^fois par ^notre laboratoire

[1],

^se manifeste de la

façon

^{suivante :}

lorsqu’une

onde de choc traverse la surface de

jonc-

tion de deux métaux de nature

différente,

^il

apparaît

entre les extrémités non

comprimées

^{des métaux une}

différence de

potentiel plus

^{ou moins} élevée suivant

l’amplitude

^{de l’onde de choc et la nature des métaux.}

Cet

effet, qui présente beaucoup d’analogies

^{avec un}

effet

thermoélectrique ordinaire,

^s’en

distingue

^essen-

tiellement _par des

amplitudes

^{très nettement}

supé-

rieures _pour les

couples

^{de métaux étudiés.}

La

figure

¹

présente

^le montage

expérimental

^utilisé

et son schéma de

principe.

Sur la

figure

^{1 a nous} voyons

(de

^{haut en}

bas)

^la

charge explosive cylindrique

^{surmontée de son déto-}

nateur,

l’éprouvette

^{soumise au choc et l’enclume en}

(*) Ce travail fait partie d’une thèse soutenue devant la faculté des Sciences de Poitiers. Elle porte la référence AO 3727 (numéro d’enregistrement ^au C. N. R. S.).

acier doux servant à

dissiper

le choc. La

figure

^{1 b}

présente

^une coupe

schématique

^de

l’éprouvette

^sou-

mise au choc. Les tensions

apparaissant

^{entre les}

points

^{A et B sont} visualisées sur un

oscilloscope

^à

large

^bande

équipé

^{d’une caméra.}

Les

expériences

^{ont été} faites soit sur des

couples métalliques,

cuivre-constantan

(1), cuivre-nickel,

^fer- constantan, soit ^sur des

couples

métal-semiconduc- teur

(2) ^[lc].

Sur la

figure

^{2 nous montrons un}

oscillogramme

type ^{obtenu avec le}

couple

cuivre-constantan sur un

oscilloscope

^{de 30 MHz de bande}

passante.

Nous allons résumer les caractères

expérimentaux

du

phénomène

^{dans le cas des}

couples métalliques.

Ces caractères peuvent ^{se diviser en deux} groupes : 1 ° ANALOGIES AVEC UN PHÉNOMÈNE THERMOÉLEC- TRIQUE CLASSIQUE.

- Les chaînes

monométalliques

^{ne donnent aucun}

signal significatif.

(1) Alliage cuivre-nickel à 60 % ^{atomes cuivre et} 40 %

atomes nickel.

(2) Le métal nommé le premier ^{est le métal « 1 » en contact}

avec l’explosif ^et relié à la masse électrique ^{de la} chaîne de

mesure (Fig. ¹ b).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003305-6059900

600

FIG. la. ^- Montage expérimental.

FIG. 1 b. ^- Schéma expérimental ^de principe. ^{Le choc a} dépassé la jonction.

- Les

jonctions bimétalliques

^{étudiées se} compor- tent comme des sources de tension dont la résistance interne est de l’ordre de la fraction d’ohm. Nous avons

vérifié ce fait de deux

façons :

^{en montrant} que les tensions sont

indépendantes

d’une part de ^la résistance

FIG. 2. ^- Couple Cuivre-Constantan

de

charge

^{R et d’autre} part ^du diamètre des

jonctions

actives

(J2, Fig. 1 b).

- A condition de substituer à la notion de

jonction chaude,

^{celle de}

jonction

^sous

pression

^{nous retrouvons}

la loi d’association série des

thermocouples classiques

et les

polarités

^des tensions obtenues sont

toujours

pour les

couples étudiés,

conformes à celles _que l’on peut ^{déduire des}

propriétés thermoélectriques

^nor-

males des métaux du

couple.

^{Il reste bien entendu}

que ^cette

propriété

^n’est valable que si les deux _corps

ne

changent

pas de

phase

^{aux hautes}

pressions.

20 CARACTÈRES PROPRES AU PHÉNOMÈNE.

- Le temps ^de

réponse

^des

jonctions

^{est très} court ;

jusqu’à présent,

^{seules les}

performances géométriques

du montage ^{et celles de}

l’oscilloscope

^{nous ont limité :}

la

plus grande partie

^des temps ^{de montée des}

signaux enregistrés

^{se situe aux} environs de 30 ns

(3) ;

^{dans de}

bonnes conditions nous avons

enregistré

^des

signaux

dont le temps ^{de montée est de 16} ns, limite de notre

oscilloscope

^{et il ne semble pas que nous ayons atteint}

les limites du

phénomènes

^lui-même.

- Le caractère le

plus spectaculaire

^du

phénomène qui

^{a motivé son}

étude,

^est

l’amplitude

des tensions mesurées _par rapport ^{à celles} que donnent un effet

thermoélectrique

^normal.

A titre

d’exemple,

^nous

^donnons,

^{dans le tableau}

^I, quelques

^résultats concernant le

couple

cuivre-cons-

tantan.

TABLEAU 1

Comparaison

^{entre les tensions mesurées sous choc et les tensions}

thermoélectriques prévisibles

(3) ^{ns =} nanoseconde ⁼ 10-9 seconde.

ceci _pour une même

température

^{à la}

jonction

^active

séparant

^{les deux métaux.}

II.

Interprétation théorique.

^{- II. 1 IDÉES ET HYPO-}

THÈSES DE BASE GUIDANT NOS CALCULS. ^- Le

problème

que ^{nous avons} à résoudre est celui de l’interaction de porteurs ^de

charges (électrons)

^{avec une}

perturba-

tion

mécanique

^se propageant ^{dans un réseau cristallin}

(onde

^de

choc).

^Cette interaction se fait en deux

étapes :

- interaction de l’onde de choc induite _{par l’ex-}

plosif

^avec le réseau cristallin et création d’un _gaz de

phonons,

- interaction du _gaz de

phonons

^{avec les électrons.}

Nous supposerons ^cette interaction

linéaire,

^ce

qui

revient à dire _que seuls les

phonons ’longitudinaux interagissent

^avec les électrons

[4].

^Le

potentiel

^d’inter-

action électrons-ions est

développé jusqu’au premier

ordre _par rapport ^au

déplacement

relatif de l’électron

et de l’ion en interaction.

Ainsi dans tout ^ce

qui

^{suit nous} supposerons que

pratiquement

^{seuls les}

phonons longitudinaux

pren- nent une part ^{active à ces} interactions. Dans

l’approxi-

mation

linéaire,

^{ce sont} les seuls

qui participent

^{à la}

variation de densité du solide.

Nous décrirons l’interaction onde de choc-réseau d’une manière

macroscopique

^{en écrivant}

qu’une fraction y (0

y

1)

^de

l’énergie apportée

par le choc se retrouve sous forme de

phonons longitudinaux (pour

^{un fluide}

parfait y

⁼

1).

La variation

d’énergie

^interne

spécifique

^{dans le}

choc est donnée _par

l’équation

^de

Hugoniot [2] :

où P est la

pression

^{de choc.}

(On néglige

^la

pression atmosphérique initiale.)

La densité

d’énergie

^du gaz de

phonons longitudi-

naux est :

na ^est la fonction de distribution des

phonons longitu-

dinaux de vecteur d’onde 6 et de

pulsation

co, et

h,

la constante réduite de Planck

(h

⁼

h/2 7r).

L’hypothèse

concernant l’interaction onde de choc- réseau s’écrit :

L’interaction électrons-électrons est

prise

^en compte dans l’élément de matrice effectif décrivant les inter- actions

électrons-phonons (Pines [4b]).

Nous avons établi

expérimentalement

que le

phéno-

mène étudié est

générateur

^de

tension ;

^cela

signifie

que, à ^courant

nul,

il existe une force extérieure F

agissant

^sur les électrons. La circulation de cette force le

long

^de la chaîne de mesure est

proportionnelle

^à

la différence de

potentiel

^observée.

Nous allons donc chercher une solution des

équa-

tions

(4),

^tenant compte ^{de cette} condition. Connais- sant

fk,

^nous pourrons alors calculer le courant élec-

trique

^J

qui dépend

^de F, ^{soit :}

(e

^{est la}

charge électronique,

^en

grandeur

^{et en}

signe).

En annulant

J,

^nous trouverons une

expression

pour F ^et la différence de

potentiel

^{observée doit être}

proportionnelle

à la circulation de F ainsi calculé.

II.2 SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS CINÉTIQUES

(4).

- Pour résoudre les deux

équations

de Boltzmann

(4),

nous faisons les

approximations

suivantes :

- linéarité de l’interaction

électron-phonon (§ II. 1),

- linéarité des solutions

fk

^et n6 par rapport ^aux diverses

perturbations

extérieures

(F, gradient

^de

température ôT/ôr

^créé par l’onde de

choc, ...).

^Le

courant

électrique

donné par la relation

(5)

^{est alors}

linéaire par rapport ^{à ces}

perturbations

^{et nous pour-}

rons

ainsi,

^{à la}

limite,

^rendre compte ^des résultats

concernant les

phénomènes

^de transport

classiques (loi d’ohm, etc...).

Nous supposerons

qu’il

^{existe un « état}

d’équilibre thermodynamique

^{local »}

[4a] [5]

caractérisé _par la

température

^T que

prend

^{le métal soumis au choc et}

que l’état réel du

système

^est

proche

^{de cet état}

d’équi-

libre local.

Dans ^ces

conditions,

^nous pouvons écrire :

602

Les fonctions

If

^et

no

^décrivent

l’équilibre

^thermo-

dynamique

^{local et} les fonctions

ok

^{et qJa sont,}

d’après l’hypothèse précédente,

^linéaires par rapport ^aux

perturbations

extérieures.

Nous supposerons que les états du

système

^{sont des} états

quasi

stationnaires : même dans le front de

choc,

les variations des fonctions de distribution

pendant

^le temps nécessaire à une interaction et sur un libre parcours moyen, ^sont faibles.

(Le

temps ^{de montée} du choc peut être estimé à 10 ^-8 s et les temps ^d’inter- action entre

particules

^sont inférieurs à 10 -11

s).

Grâce à un modèle

d’équation

^d’état

développé par

ailleurs

(Migault, [6])

^{nous pouvons} évaluer la

tempé-

rature de

Debye

^{et la}

température

^à

laquelle

^est

portée

le métal soumis au choc

(elle

caractérise

l’équilibre thermodynamique local).

^Ces évaluations montrent que, à ^une

pression donnée,

^la

température

^{du métal}

est

toujours supérieure

^{à la}

température

^de

Debye.

^Il

en résulte alors un certain nombre

d’approximations

permettant ^de

simplifier

^les

opérateurs

^{de collision}

[4].

II.3 SOLUTION DU SYSTÈME

D’ÉQUATIONS (4).

^-

Compte

^{tenu des}

hypothèses

^et

approximations

^faites

dans le

paragraphe

^{II.2 nous} pouvons écrire le _sys- tème

(4)

^{sous la forme} linéarisée suivante dans le cas

de métaux à

symétrie cubique :

avec

(voir (6)) :

Ok

^et

0 a

^{sont les}

angles

^{des vecteurs d’onde k et 6}

avec la direction ^u de la

perturbation

extérieure _que l’on _suppose

parallèle

à la direction de

propagation

du choc.

7:k ^est le temps ^de relaxation

électronique (Wil-

son

[4c]) ; ^zâl

^{et r, sont les temps} de relaxation des

phonons

^en interaction avec les électrons et avec

l’ensemble

électron-phonon (voir annexe).

En prenant ^u

parallèle

^{à Oz et en} suivant la marche

indiquée

^{dans le}

paragraphe

^{11.1, nous obtenons}

Bz, champ agissant

^{sur les} électrons :

Si N et

No

^sont les densités

électroniques

^{dans le}

milieu

comprimé

^{et non}

comprimé,

^{nous avons :}

k,

^est la valeur du vecteur d’onde

électronique

^au

niveau de Fermi

(surface

^{de Fermi}

sphérique).

io ^a les dimensions d’un temps ^{et on} peut ^montrer que

-CF/’rO -10-2

^{donc est}

négligeable

^{devant 1.}

Ainsi :

III. Etude de la formule

(9). Applications

^numé-

riques.

^{- III.1}

CONSÉQUENCES

DIRECTES DE LA FOR- MULE

(9).

^{- Dans}

l’expression

^de

Ez

^{nous remarquons}

qu’au

^terme décrivant le

champ thermoélectrique

^clas-

sique SbTlôz,

^il

s’ajoute

^un

champ

^créé

uniquement

par

l’anisotropie

de la fonction de distribution des

phonons

^dans

l’espace

^{des vecteurs d’onde. Ce terme}

a une

interprétation physique

^très

simple. U/3

^{est la}

« pression

^de

radiation » p

du gaz de

phonons.

^{Il en}

résulte alors une

force fZ ^agissant

^{sur les électrons de}

l’unité de volume

qui

^{vaut :}

La force

agissant

^{sur un électron est :}

Le terme

zQ/i6’

>

qui

^{est inférieur à 1}

tient compte

du fait _que les

phonons interagissant

entre eux, seule

une fraction du moment des

phonons

^{est transmise}

aux électrons.

Nous posons :

Compte

^{tenu des relations}

(1)

^et

(3)

^{donnant la}

valeur de U en fonction de

l’énergie apportée

par le

choc, gph

peut ^{s’écrire :}

e2

est une

quantité positive

^{car e est}

négatif.

FIG. 3. ^- Répartition supposée ^{de la} température ^{et de la} pression dans le métal choqué (dans ^les calculs, l’épaisseur ^du

front de choc est supposée nulle).

Donc

gph

^est

toujours dirigé

^{vers les z}

positifs (sens

de

propagation

^du

choc).

^{Le sens du}

champ

^thermo-

électrique ordinaire,

^S

bTIDz, dépend

^du

signe

^{de S.}

Si S est

négatif,

^ce

champ

^{est de même sens} que

z

D’autre part, ^{en admettant une}

répartition

^de pres- sion

analogue

^{à celle de la}

figure

^{3 nous} voyons que

8%

^{n’est différent de zéro que dans la}

région

^{du front}

de choc. Dans la situation

réelle,

derrière le front de choc la détente est sensiblement

adiabatique

^{et les}

gradients

y sont notablement

plus

^faibles que dans le front de choc : les électrons et les

phonons

^ont

alors la

répartition

^de

l’équilibre thermodynamique

local.

111.2 CALCUL DE LA DIFFÉRENCE DE POTENTIEL. ^-

Il faut calculer la circulation du

champ 8z

^le

long

FIG. 4. ^- Schéma théorique de la chaîne métallique dévelop- pée ^{avec deux} jonctions ^{en série} (J2 ^et

J2).

Répartition ^{de la}

pression ^{dans la chaîne.}

Si le choc a

dépassé J2,

^un seul chemin continu

joint

^{A à}

B ;

^{il traverse} deux fois le front de choc mais dans des sens différents

(Fig. 4).

En supposant que le front de choc est droit

(temps

de montée

nul)

^et que derrière le front de choc la détente est

isentropique,

^{nous trouvons :}

décrivant la contribution des

phonons, qui

^{est le}

plus

intéressant et doit rendre compte des résultats

expérimentaux

^{observés. Le deuxième terme de H ne}

dépend

que de la loi de détente

isentropique, P(x),

du métal derrière le front de choc. Si le choc vient

juste

^{de franchir la}

jonction

^active

J2,

xM ⁼ xj et seul le

premier

^{terme de H subsiste.}

III.3 APPLICATIONS

NUMÉRIQUES.

COMPARAISON

AVEC LES RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. ^- Tout

d’abord,

nous constatons que si les deux métaux de la chaîne sont

identiques,

^la différence de

potentiel

^{est nulle :}

c’est bien ce que

prévoit l’expérience (§

^{1 et}

[lb]).

D’autre part, la formule

(10)

^rend compte

parfaite-

ment de la forme des

oscillogrammes

obtenus dans le

cas d’association série des

jonctions

^{si on suppose que}

derrière le front de choc la

pression

^{suit une loi de}

décroissance

adiabatique.

^Un

oscillogramme

^obtenu dans ce cas est montré sur la

figure

^5.

L’application

^{de la relation}

(10) présente

^{des difh-}

cultés faute de données

physiques correspondant

^à

l’état sous

choc,

^ce

qui

^nous

oblige

^{à certaines}

approximations.

Nous étudierons

uniquement

la tension de crête mesurée sur nos

oscillogrammes

^{au moment où le}

choc franchit la

jonction

^active

^JZ

^{entre le métal 1}

et le métal 2. Dans ces

conditions,

la valeur de H intervenant dans les relations

(10)

^{est :}

604

FIG. 5. ^- Oscillogramme Cu-CTE - Cu-BTE-Cu

Pour évaluer le

premier

^{terme de}

vA - vB de

^l’ex-

pression (10),

^soit

(Q2 - Q1),

^{nous avons utilisé}

(quand

cela était

possible)

^{des résultats de}

Bundy [3]

relatifs à l’influence d’une

compression statique

^sur

les

thermocouples.

^Ces

résultats,

^obtenus pour des

pressions

inférieures à 100

kbars,

^{ont été}

extrapolés,

faute de données

plus précises,

linéairement

jusqu’à

400 kbars.

L’évaluation de

(H2 - Hl),

^{où H est donné par la}

relation

(11),

^est

plus complexe.

^Le

couple

^{de valeurs}

(PM, xM)

^{au sommet du choc se déduit} des courbes de

Hugoniot

des métaux du

couple,

^{bien connues}

expérimentalement [2], [7].

^Nous

prendrons Il égal

^{à 1}

c’est-à-dire _que nous supposons que le métal se com-

porte ^{comme un fluide}

parfait.

^Le

problème

^le

plus

délicat est l’évaluation du rapport

> - O,IT

(Gurevitch [8]).

Elle nécessite la donnée d’un modèle

complet d’équation

d’état. Nous en avons étudié un,

[6], qui

^{nous a}

permis

^{une étude}

théorique complète

des

couples

cuivre-nickel et cuivre-constantan

(4).

(4) ^{Pour le} constantan, ^ne connaissant pas la courbe de

Hugoniot expérimentale, ^{nous avons fait une} moyenne pondérée des courbes de Hugoniot déjà très voisines des composants ^de l’alliage (cuivre-nickel) ^{dans le} plan pression-vitesse particulaire.

Dans le cas du

couple

fer-constantan nous avons tout d’abord dû nous limiter à des

pressions

inférieures à celle du

changement

^de

phase (130 kbars)

^{et ensuite}

adopter

^{des formules}

plus simples

^{déduites de la notion}

de

pression

de radiation telle _que nous l’avons

exposée

par ailleurs

[9] :

^en

effet,

^le manque de données

expé-

rimentales sur le fer ne nous a pas

permis d’appliquer

notre modèle

d’équation

^{d’état. A titre}

indicatif,

^nous montrons, ^sur la

figure 6, l’oscillogramme

^obtenu

pour ^une

pression supérieure

^{à celle du}

changement

de

phase.

Les

figures (7), (8), (9)

^nous permettent ^de comparer les résultats

théoriques

^avec les résultats

expérimen-

taux. Nous avons :

Notre modèle donne le

signe

^{correct pour les ten-}

sions

(celles-ci

^sont

négatives

pour les trois

couples examinés,

le cuivre ou le fer étant relié à la

masse).

D’autre part, ^nous constatons que l’ordre de

grandeur

des tensions est

respecté

^et que le modèle

théorique

discuté ici est, ^surtout dans le domaine des hautes

pressions (>

^{à 300}

kbars),

^meilleur que celui

déjà présenté

^dans la référence

[9].

On peut ^{se rendre} compte que l’écart ^entre les résultats

théoriques

^et

expérimentaux

^est

proportion-

nellement

plus grand

^{à basse}

pression qu’à

^haute

pression.

Nous pensons que ^cette circonstance est

principalement

^{due au fait} que ^nous n’avons absolu- ment pas tenu compte ^{du mouvement des défauts} cristallins :

si,

dans le domaine des hautes

pressions (supérieure

^{à 300}

kbars),

^{nous pouvons} considérer le solide comme se comportant ^très

grossièrement

^comme

FIG. 7. ^- Couple ^Cu-CTE

FIG. 8. ^- Couple ^Cu-Ni lb; ^{x nos résultats} expérimentaux 0 résultats ^de Illyukhin ^{et coll.} [10]

-9-o-0 résultats théoriques AV [9]

FIG. 9. ^- Couple ^Fe-CTE . nos résultats expérimentaux

x résultats théoriques ^AV [9].

un fluide

parfait,

^{il n’en est}

plus

^{de même dans le}

domaine des basses

pressions

où l’interaction onde de choc-défauts cristallins est

importante :

^{de nom-}

breuses études

métallurgiques

l’ont montré

[11 ].

^Dans

le domaine des

pressions supérieures

^{à 300 kbars}

environ,

^{l’écart entre résultats}

expérimentaux

^{et résul-}

tats

théoriques

peut être réduit ^en prenant pour J1

une valeur inférieure à 1

(de

^{l’ordre de}

0,6

^à

0,7) ; d’après

^nos

hypothèses,

^{cela revient à dire que}

l’énergie

du choc n’est _pas cédée entièrement aux

phonons longitudinaux

^et

qu’une partie

peut être cédée aux

phonons

transversaux. Ceci

apparaît

^{comme tout à}

fait

plausible,

^{le solide ne} pouvant ^se comporter ^exac-

tement comme un fluide

parfait.

IV. Conclusions. ^- Dans la théorie élaborée ci- dessus nous nous sommes limités à l’étude des

phéno-

mènes linéarisés. Il est bien évident

qu’une

^théorie

plus précise

^devrait

reprendre

^de

façon plus

^détaillée

l’interaction onde de choc-réseau cristallin

qui

^est

manifestement non linéaire.

Toutefois,

^nous pensons

quantités

telles que la

température

^de

Debye,

^{le coefh-}

cient de

Gruneisen,

^la

température

^{dans le front de}

choc,

^{... mais il est}

pratiquement impossible,

^actuelle-

ment, d’obtenir des

renseignements expérimentaux

directs sur ces

quantités. L’interprétation

des résultats

numériques

^{est donc encore}

prématurée.

Signalons

^enfin que des résultats intéressants° ont été obtenus sur les semiconducteurs

[lc]

^et

[12].

Annexe. ^- Les calculs permettant ^{d’aboutir aux} deux relations

(7)

^ne

présentent

pas de difficultés mais sont assez

longs,

^et il convient

d’expliquer

^les

notations introduites.

Si on suppose les électrons seulement en interaction

avec les

phonons

^à

l’équilibre thermodynamique (n6

⁼

n°),

^la

première équation (7)

^{s’écrit :}

On retrouve

l’équation

de Boltzmann _pour les électrons sous sa forme linéarisée avec un temps ^de relaxation

électronique,

ik, tel _que l’a défini Wilson

[4c].

De

même,

^{si on} suppose les

phonons

^en interaction

avec les électrons à

l’équilibre thermodynamique (fk =- f k),

^{la deuxième}

équation (7)

^{s’écrit :}

et on

définit,

par

analogie

^{avec le} gaz

électronique,

^un temps ^de relaxation des

phonons

^en interaction avec

des électrons à

l’équilibre thermodynamique, iQ’.

En

plus,

^{dans le cas des}

phonons,

^{on tient}

également,

compte ^{du fait}

qu’ils interagissent

^{entre eux}

^(c’est l’opérateur ôn,-

^{ph-ph de}

l’équation (4)).

^{Dans le cas}

t _coll

linéaire,

^on peut ^montrer

qu’il s’ajoute

^{au membre}

de droite de

(7")

^{le terme}

[ - ^{(na -} n")l rph ] ^qui

^pro-

vient de la linéarisation de

l’opérateur

^cité

plus ^{haut ;}

i6h apparaît

^{comme le} temps de relaxation d’un

phonon

en interaction avec les autres

phonons

^à

l’équilibre thermodynamique [4a].

Compte

^{tenu de} cette remarque relative aux inter- actions

phonon-phonon,

^{on doit}

remplacer (7")

par

l’équation

^{suivante :}

606

où l’on a

posé :

ce

qui

permet ^une définition formelle d’un temps ^de relaxation _za relatif aux

phonons

^{de vecteur d’onde 6}

en interaction entre eux et avec les électrons à

l’équi-

libre

thermodynamique.

En

plus

^{nous devons tenir} compte ^{du fait} que

pho-

nons et électrons ne sont pas à

l’équilibre thermodyna- mique ;

^{en se limitant à une théorie}

linéaire,

^{on trouve}

que dans les

équations

de Boltzmann relatives aux

électrons et aux

phonons [(7’)

^et

(7"’)] s’ajoutent

^des

termes de

couplage, proportionnels

^aux

écarts, #(E*)

et

il(a),

des fonctions de

distribution, fk

et nu, par rapport ^aux distributions à

l’équilibre thermodyna- mique local, f k

^et

no.

^On obtient alors les

équa-

tions

(7).

Bibliographie [1] a) JACQUESSON (J.), Analyse ^des contraintes, ^Bulletin

du Gamac, 1959, 4, ^{33. Thèse n°} 40, Poitiers, 1962.

Colloque international sur les ondes de détona-

tion, Edit. du C. N. R. S., Paris, 1962, p. 415.

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Fourth Symposium ^on detonation, ^{12-15 oct.}

1965, ^White Oak-Silver Spring, Maryland, p. 627.

c) JACQUESSON (J.), ^ROMAIN (J. P.), ^HALLOUIN (M.),

DESOYER (J. C.), ^Fifth symposium ^on detonation,

18-21 août 1970, ^Pasadena Californie, p. 285.

[2] ^RICE (M. H.), QUEEN (Mc), ^WALSH (J. M.), ^{Sol. Stat.}

Phys., 1958, 6, 1.

[3] BUNDY, a) ^J. Appl. Phys., 1961, 23, 483 ; b) ^In

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Inc. New York, 1961, 256.

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b) PINES, Elementary exitations in solids, ^{W. A. Ben-} jamin, Inc, ^New York, ^1964.

c) WILSON, Theory ^of metals, Cambridge, University

Press 2nd Edition, 1954.

[5] ^TAVERNIER (J.), ^J. Physique, 1967, C1, 28, ^40.

[6] ^MIGAULT (A.), a) C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, ^B 270,

215. b) ^J. Physique, 1971, 32, ^437.

[7] a) Compendium ^{of shock wave} data, UCRL, 50108,

Ed. _par le « Lawrence Radiation Laboratory »

Université de Californie, Livermore, 1966, ^Van

Thiel edit.

b) ^Mc QUEEN (R. G.), ^MARSH (S. P.), ^J. Appl. Phys., 1960, 31, 1253.

[8] ^GUREVICH (L.), J. Phys. (USSR), 1945, 9, 477.

[9] ^MIGAULT (A.), JACQUESSON (J.), Congrès IUTAM, Symposium ^« H. D. P. _», Paris, ^1967.

[10] ^ILLUYKHIN (U. S.), KOLOGRIVOV (V. N.), ^Zhur.

Fiz., 1962, 5, 175.

[11] a) ^CHOMEL (P.), Thèse de 3e Cycle, Poitiers, ^1964.

b) ^ROMAIN (J. P.), Thèse de 3e Cycle, Poitiers, ^1967.

[12] ^HALLOUIN (M.), Thèse de 3e cycle, Poitiers, ^1971.