Etude du comportement de la solution méromorphe de certaines équations fonctionnelles

Notations

Nous utilisons les notations suivantes tout au long de ce travail

N, Z, Q, R, C : Les nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, r´eels, complexes.

p : Un nombre premier fix´e.

Z

: Anneau des entiers p-adiques.

Q

: Corps des nombres p-adiques.

deg P : Le degr´e du polynˆome P .

V

(x), |x|

: La valuation et la valeur absolue p-adique.

B

(a, r), B

(a, r) : Les boules ouverte et ferm´ee de centre a et de rayon r.

K : La clˆoture alg´ebrique de K.

C

: Le compl´et´e de la clˆoture alg´ebrique de Q

. p | n : p divise n.

p - n : p ne divise pas n.

A(K) : L’ensemble des fonctions enti`eres dans K.

M(K) : L’ensemble des fonctions m´eromorphes dans K.

K(x) : Anneau des polynˆomes.

K[x] : Corps des fractions rationnelles.

D

(0, r), D

(0, r) : Un disque ferm´e, ouvert.

Table des mati` eres

0 Introduction G´ en´ erale 4

1 Notions fondamentales 7

1.1 Valeurs absolues sur un corps . . . . 7

1.2 Nombres p-adiques . . . . 14

1.2.1 Entiers p-adiques . . . . 14

1.2.2 Le corps Q

des nombres p-adiques . . . . 15

1.2.3 Le corps C

. . . . 17

1.3 Analyse ´el´ementaire sur C

. . . . 17

1.3.1 Suites et s´eries enti`eres . . . . 17

1.3.2 Z´eros des s´eries enti`eres . . . . 20

1.3.3 Th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass et fonctions analytiques . . 21

1.4 Polygone de Newton - Polygone de valuation . . . . 27

1.4.1 Polygone de Newton . . . . 27

1.4.2 Polygone de valuation . . . . 28

2 Th´ eorie de distribution des valeurs sur un corps non-archim´ edien 31 2.1 La formule de Poisson-Jensen . . . . 31

2.2 La fonction caract´eristique -

Premier Th´eor`eme Fondamental De Nevanlinna . . . . 34

TABLE DES MATI ` ERES 3 Etude du comportement de la solution m´ eromorphe de certaines ´ equations

fonctionnelles 47

3.1 Solution de l’´equation fonctionnelle aux q-diff´erences lin´eaire `a coefficients constants . . . . 49 3.2 Comportement de la solution m´eromorphe transcendante de l’´equation

fonctionnelle lin´eaire aux q-diff´erences `a coefficients non-constants . . . . . 52

Chapitre 0

Introduction G´ en´ erale

Ce m´emoire est consacr´e `a d´ecrire le comportement de la solution m´eromorphe des

´equations fonctionnelles lin´eaires aux q-diff´erences suivantes : X

i=0

A

(x) f(q

x) = B(x) o`u q ∈ K, 0 < |q| < 1

Nous ´etudions ces ´equations dans le cas complexe p-adique. On est souvent guid´ee par l’analogie avec des r´esultats trouv´es dans l’analyse complexe que nous appellerons ”clas- sique”, et, comme pour celles-ci, un outil important est la th´eorie de Nevanlinna p-adique, que nous allons rappeler aussi.

L’origine de la th´eorie de distribution des valeurs des fonctions m´eromorphes revient aux th´eor`emes classiques de Sokhotskii-Casorati (1868), Weierstrass (1876), Picard (1879).

Dans la derni`ere d´ecennie du XIX-e si`ecle et les deux premi`eres d´ecennies du XX-`eme

si`ecle, ces th´eor`emes ont ´et´e developp´es grˆace `a des recherches sur la r´epartition des z´eros

des fonctions enti`eres effectu´es principalement par l’´ecole fran¸caise (Hadamard, Borel, Va-

liron et autres). Les travaux li´es aux fonctions m´eromorphes ont ´et´e construits dans les

ann´ees 20-s du XX-`eme si`ecle par le math´ematicien finlandais Rolf Nevanlinna. Suite `a ces

travaux, la th´eorie de distribution des valeurs prend, en quelque sorte, une forme compl`ete.

0. Introduction G´en´erale

R´ecemment, la th´eorie de Nevanlinna a ´et´e ´etendue au cas p-adique (Boutabaa. A, Cherry.

W, Khoai. H. H, Corrales-Rodriganez. C, Ye. Z) pour des fonctions m´eromorphes dans C

. Il existe deux th´eor`emes fondamentaux qui occupent une place importante dans la th´eorie de Nevanlinna. Le premier th´eor`eme fondamental de Nevanlinna est juste une reformu- lation de la formule de Poisson-Jensen pour des fonctions m´eromorphes. Le deuxi`eme th´eor`eme fondamental, toutefois, est un ´el´egant th´eor`eme qui joue un grand rˆole dans la th´eorie de Nevanlinna. En raison de ce th´eor`eme, la th´eorie de Nevanlinna devient une riche th´eorie.

La r´epartition de ce travail se fait comme suit :

Dans le premier chapitre, nous donnons tout d’abord quelques rappels sur les corps ultram´etriques, et traitons quelques propri´et´es de Q

et C

. Dans une seconde partie, nous allons introduire les notions et les propri´et´es n´ecessaires li´ees aux fonctions analytiques et m´eromorphes, ensuite nous parlerons de quelques applications utiles du polygone de valuation.

Dans le deuxi`eme chapitre, on s’int´eresse `a la th´eorie de distribution des valeurs sur un

corps non-archim´edien, en particuler on s’int´eresse `a la th´eorie de Nevanlinna p-adique qui

est devenue l’une des champs math´ematiques les plus interessants. Pour cela on a besoin

de d´efinir des notions classiques de cette th´eorie ; la fonction de comptage des z´eros de f

avec multiplicit´es Z(r, f ), la fonction de comptage des pˆoles de f avec multiplicit´es N(r, f ),

la fonction de compensation m(r, f ), et enfin la fonction caract´eristique T (r, f). On va

citer aussi quelques propri´et´es ´el´ementaires li´ees `a la th´eorie de Nevanlinna qui sont assez

semblables `a celles connues dans C. On va donner aussi la version ultram´etrique de la

Formule de Jensen qu’on utilisera assez fr´equemment au long de ce chapitre. En plus, on

va pr´esenter ces deux th´eor`eme : le premier th´eor`eme fondamental de Nevanlinna qui est

0. Introduction G´en´erale

tout court une reformulation de la formule de Poisson-Jensen et le deuxi`eme th´eor`eme fondamental de Nevanlinna.

Dans le troisi`eme chapitre, on va traiter les ´equations fonctionnelles. Plus pr´ecis´ement,

nous nous int´eressons aux ´equations lin´eaires aux q-diff´erences pour lesquelles nous mon-

trons d’une part que si les coefficients sont constants alors la solution est une fraction

rationnelle, et nous donnons d’autre part des estimations de croissance des solutions

m´eromorphes transcendantes de telles ´equations.

Chapitre 1

Notions fondamentales

Le but de ce chapitre est de donner quelques r´esultats fondamentaux sur les nombres p-adiques et sur l’analyse p-adiques qui sont utilis´es dans la th´eorie de Nevanlinna p- adique pour p un nombre premier fix´e. Ce chapitre se compose de deux parties. Les deux premi`eres sections sont consacr´ees `a la construction de C

qui est non seulement complet, mais ´egalement alg´ebriquement clos. Dans la troisi`eme section de ce chapitre, nous nous int´eressons `a l’analyse sur C

et en particulier, on va donner plusieurs th´eor`emes importants sur les z´eros de fonctions sur C

d´efinies par des s´eries.

1.1 Valeurs absolues sur un corps

Soit K un corps. On va d´efinir une valeur absolue sur K.

D´ efinition 1.1.

une valeur absolue sur K est une fonction `a valeurs r´eelles |.| : K → R

v´erifiant les trois conditions suivantes :

1) |x| = 0 ⇔ x = 0 ; 2) ∀x, y ∈ K, |xy| = |x||y| ; 3) ∀x, y ∈ K, |x + y| ≤ |x| + |y|.

On dit qu’une valeur absolue est non-archim´edienne ou ultram´etrique si au plus de ces

1.1. Valeurs absolues sur un corps trois condition, elle v´erifie l’in´egalit´e forte suivante :

4) ∀x, y ∈ K, |x + y| ≤ max{|x|, |y|}.

Sinon la valeur absolue est dite archim´edienne.

On dit que |.| est une valeur absolue triviale si |0| = 0 et |x| = 1 pour tout x ∈ K

. Tout au long de ce chapitre, nous supposons que la valeur absolue |.| est non triviale.

L’exemple le plus ´evident d’une valeur absolue archim´edienne est la valeur absolue usuelle d´efinie sur Q not´ee par |.|

, cette valeur ne v´erifie pas la quatri`eme condition.

Maintenant, on va introduire un exemple d’une valeur absolue non-archim´edienne. Soit p un nombre premier fix´e.

D´ efinition 1.2. La valuation p-adique sur Z est une fonction V

: Z

→ R d´efinit comme suit :

Pour n ∈ Z

, V

(n) est l’unique entier positif qui satisfait n = p

.n

avec p - n

. On ´etend V

vers le corps des nombres rationnels Q comme suit :

Si x =

∈ Q

, alors V

(x) = V

(a) − V

(b) avec la convention de V

(0) = ∞.

Exemple 1.1. • Si n ∈ N, on a

∗ V

(n) = 0 si et seulement si n est impair ;

∗ V

(n) ≥ 1 si et seulement si n est pair ;

∗ V

(n) ≥ 2 si et seulement si n est multiple de 4, etc.

• Pour x rationnel, V

(x) ≥ 0 signifie exactement que le d´enominateur r´eduit de x est impair. Pour x =

, on a

V

(x) = −3, V

(x) = 1, V

(x) = 1, V

(x) = −1, et V

(x) = 0 pour tout p 6= {2, 5, 7, 11}.

La propri´et´e fondamentale de la valation p-adique est : Lemme 1.1. Soit x, y ∈ Q, alors

1) V

(xy) = V

(x) + V

(y).

2) V

(x + y) ≥ min{V

(x), V

(y)}.

1.1. Valeurs absolues sur un corps D´ emonstration. 1) xy = p

(n

n

) tel que x = p

n

, y = p

n

et p - n

n

d’o`u

V

(xy) = V

(x) + V

(y).

2) On suppose que α < β : x+y = p

(n

+p

n

) d’o`u V

(x+y) ≥ min{V

(x), V

(y)}.

D´ efinition 1.3. Pour x ∈ Q, la valeur absolue p-adique de x est d´efinie par :

|x|

= p

, avec |0|

= 0.

Proposition 1.1. La fonction |.|

est une valeur absolue non-archim´edienne sur Q.

D´ emonstration. Imm´ediate `a partir des propri´et´es de V

.

Th´ eor` eme 1.1. ([1], [18]) Soit A ⊂ K une image de Z dans K. Une valeur absolue est non-archim´edienne si et seulement si |a| ≤ 1 pour tout a ∈ A. En particulier, une valeur absolue sur Q est non-archim´edienne si et seulement si |n| ≤ 1 pour tout n ∈ Z.

D´ emonstration. La premi`ere partie est facile : nous avons toujours | ± 1| = 1, donc, si

| | est non-archim´edienne, on obtient que

|a ± 1| ≤ max{| a|, 1}.

Par r´ecurrence, il s’ensuit que |a| ≤ 1 pour tout a ∈ A.

R´eciproquement, supposons que |a| ≤ 1 pour tout a ∈ A. Nous voulons prouver que pour deux ´el´ements quelconques x, y ∈ K, nous avons |x + y| ≤ max{|x|, |y|}. Si y = 0, c’est

´evident. Sinon, nous pouvons diviser |x + y| par |y|, et nous voyons que cela ´equivaut `a

l’in´egalit´e ¯

¯ ¯ x y + 1

¯ ¯

¯ ≤ max{

¯ ¯

¯ x y

¯ ¯

¯, 1}.

Cela signifie que nous devons prouver l’in´egalit´e dans le cas o`u le second terme de la somme ´egal 1. Autrement dit, nous voulons prouver que pour tout x ∈ K, on a

|x ± 1| ≤ max{| x|, 1}.

1.1. Valeurs absolues sur un corps

Soit m un entier positif, alors

|x + 1|

=

¯ ¯

¯ ¯ X

k=0

à m k

! x

¯ ¯

¯ ¯

≤ X

k=0

¯ ¯

¯ ¯ Ã m

k

! ¯ ¯

¯ ¯ |x

|.

Maintenant, puisque à m

k

!

est un entier, on a

¯ ¯

¯ ¯ Ã m

k

! ¯ ¯

¯ ¯ ≤ 1.

Donc

|x + 1|

≤ X

k=0

¯ ¯

¯ ¯ Ã m

k

! ¯ ¯

¯ ¯ |x

|

≤ X

k=0

|x

|

≤ (m + 1) max{1, |x|

}.

(Pour la derni`ere ´etape, notons que la plus grande valeur de |x|

pour k = 0, 1, 2, . . . m est ´egal `a |x|

si |x| > 1 et est ´egale `a 1 sinon).

Prenant la m-i`eme racine sur les deux cˆot´es

|x + 1| ≤ (

√

m + 1) max{1, |x|}

Or, cette in´egalit´e forte est valable pour tout entier positif m, et puisque

m→∞

lim

m

√

m + 1 = 1.

D’o`u

|x + 1| ≤ max{1, |x|}.

Ce qu’il fallait d´emontrer.

Proposition 1.2. [2] Soit |.| Une valeur absolue non-archim´edienne sur K.

Si x, y ∈ K et |x| 6= |y| alors : |x + y| = max{|x|, |y|}.

D´ emonstration. On remarque d’abord que pour toute valeur absolue | − 1| = 1 : en

effet | − 1|

= 1 et | − 1| ≥ 0.

1.1. Valeurs absolues sur un corps Soient x, y tels que, par exemple, |x| < |y|, alors :

|x + y| ≤ max(|x|, |y|) et |y| ≤ max(| − x|, |x + y|) entraˆınent : max(| − x|, |x + y|) = |x + y| = |y|.

Corollaire 1.1. Dans un espace ultram´etrique, tous les ”triangles” sont isoc`eles.

Maintenant, on va consid´erer un espace m´etrique (K, d) muni d’une distance d(x, y) d´efinie par d(x, y) = |x − y|, on a :

d(a, c) ≤ max(d(a, b), d(b, c)), ∀a, b, c ∈ K.

Soit r ∈ R

. D´efinissons une boule ouverte et une boule ferm´ee de rayon r et de centre a ∈ K par :

B

(a, r) = {x ∈ K, d(x, a) < r}

et

B

(a, r) = {x ∈ K, d(x, a) ≤ r}

La notation B(a, r) d´esignera l’un ou l’autre de ces ensembles. Les boules ouvertes sont les prototypes des ensembles ouverts, et les boules ferm´ees des ensembles ferm´es. Pour la valeur absolue non-archimedienne, on a les r´esultats suivants.

Proposition 1.3. ([1], [18], [3]) Soit K un corps muni d’une valeur absolue non-archim´edienne.

i) si b ∈ B (a, r), alors on a B (b, r) = B(a, r) (tout point d’une boule est un centre de cette boule).

ii) une boule B (a, r) est un ensemble ouvert et ferm´e.

iii) soient B(a, r), et B(ρ, r) deux boules, alors ils sont ou disjointes, ou l’une est incluse

dans l’autre.

1.1. Valeurs absolues sur un corps D´ emonstration.

i) Par d´efinition, b ∈ B(a, r) si et seulement si |b − a| < r. Maintenant, posons x tel que |x − a| < r, la propri´et´e non-archim´edienne nous dit que

|x − b| < max{|x − a|, |b − a|} < r,

de telle sorte que x ∈ B(b, r), ce qui montre que B(a, r) ⊂ B(b, r). En permutant a et b, nous obtenons l’inclusion inverse, d’o`u les deux boules sont ´egales.

ii) la boule ouverte B

(a, r) est toujours un ensemble ouvert dans un espace m´etrique.

Ce que nous devons montrer, c’est que dans notre cas non-archim´edien, la boule ouverte est ´egalement ferm´ee. Alors, prenons un point x sur la fronti`ere de B

(a, r), ce qui signifie que toute boule ouverte centr´ee en x doit contenir des points qui sont dans B

(a, r). Choisissons un rayon s < r. Maintenant, puisque x est un point de la fronti`ere de B

(a, r), B

(a, r) ∩ B

(x, s) 6= ∅, il existe un ´el´ement y ∈ B

(a, r) ∩ B

(x, s). Cela signifie que |y − a| < r et |y − x| < s < r. Appliquant l’in´egalit´e non-archim´edienne, nous obtenons

|x − a| < max{|x − y|, |y − a|} < max{s, r} < r,

d’o`u x ∈ B

(a, r). Cela montre que tout point sur la fronti`ere de B

(a, r) appartient

`a B

(a, r), ce qui veut dire que B

(a, r) est un ensemble ferm´e.

iii) Nous pouvons supposer que r < s. Si l’intersection n’est pas vide, il existe c ∈ B (a, r) ∩ B(b, s). Ensuite, nous savons, `a partir de (i), que B(a, r) = B(c, r)

et B(b, s) = B(c, s).

Par cons´equent,

B(a, r) = B(c, r) ⊂ B(c, s) = B (b, s).

Proposition 1.4. ([1], [18]) Soit K un corps non-archim´edien. L’ensemble O = {x ∈ K; |x| ≤ 1} est un sous-anneau de K.

Le sous ensemble B = {x ∈ K; |x| < 1} est le seul id´eal maximal dans O.

D´ efinition 1.4. Soit K un corps d´efini comme dans la proposition pr´ec´edente. Le sous-

anneau O est dit anneau de valuation .

1.1. Valeurs absolues sur un corps

Exemple 1.2. ([1], [18]) Soit K = Q, et soit |.| = |.|

la valeur absolue p-adique. Alors : (i) l’anneau de valuation associ´ee est O = Z

= {a/b ∈ Q; p - b} ;

(ii) son id´eal B = pZ

= {a/b ∈ Q; p - b et p | a} ; (iii) le corps r´esiduel est κ = F

(le corps `a p ´el´ements)

D´ efinition 1.5. On dit que deux valeurs absolues sur K sont ´equivalentes si elles d´efinissent la mˆeme topologie sur K. (Si chaque ensemble qui est ouvert par rapport `a l’une est

´egalement ouvert par rapport `a l’autre).

Lemme 1.2. Soit |.|

et |.|

deux valeurs absolues sur K, les assertions suivantes sont

´equivalentes :

i) |.|

et |.|

sont ´equivalentes ;

ii) pour tout x ∈ K on a |x|

< 1 si et seulement |x|

< 1 ; iii) il existe un entier positif r´eel α tel que pour tout x ∈ K on a

|x|

= |x|

.

Th´ eor` eme 1.2 (Ostrowski). Toute valeur absolue non triviale |.| sur Q est ´equivalente soit `a |.|

pour un nombre premier p, soit `a la valeur absolue usuelle not´ee |.|

.

Proposition 1.5 (Formule du produit). ([1], [18]) Pour tout x ∈ Q

, on a : Y

p≤∞

|x|

= 1

o`u p ≤ ∞ signifie que nous prenons le produit sur l’ensemble des nombres premiers de Q, y compris ”l’infini.”

D´ emonstration. Il est facile de voir que nous avons seulement besoin de prouver la formule lorsque x est un entier positif, et que le cas g´en´eral s’ensuit directement. Donc, soit x un entier positif, que nous pouvons le factoriser comme suit x = p

. p

. . . p

.

 

 

 

 

 



|x|

= 1 si q 6= p

|x|

i = p

pour i = 1, 2, . . . , k

|x|

= p

. p

. . . p

d’o`u le r´esultat.

1.2. Nombres p-adiques

1.2 Nombres p-adiques

1.2.1 Entiers p-adiques

D´ efinition 1.6. Un entier p-adique est une s´erie formelle P

i≥0

a

p

avec les a

des coeffi- cients entiers tels que 0 ≤ a

≤ p − 1.

En particulier si a = P

i≥0

a

p

et b = P

i≥0

b

p

( avec a

, b

∈ {0, 1, . . . , p − 1} alors a = b ⇔ a

= b

pour tout i ≥ 0

.

Addition des entiers p-adiques

Voici comment on d´efinit la somme de deux entiers p-adiques a et b. La premi`ere composante de la somme est a

+ b

si elle est plus petite ou ´egale `a p − 1, sinon a

+ b

− p.

Dans le deuxi`eme cas on retient 1 que l’on va additionner `a la composante de p et on continue l’addition ainsi, composante par composante. ` A la fin on obtient une somme dont toutes les composantes sont dans l’ensemble {0, 1, . . . , p − 1}.

Exemple 1.3. Soit

a = 1 = 1 + 0p + 0p

+ . . . , b = (p − 1) + (p − 1)p + (p − 1)p

+ . . . .

La premi`ere composante vaut (1 + p − 1) − p = 0, on retient un qu’on additionne `a la deuxi`eme qui s’annule ´egalement, on retient de nouveau un et ainsi de suite. A la fin toutes les composantes vaudront 0 et on obtient 1 + b = 0, autrement dit b est l’inverse additif de a = 1 dans l’ensemble des entiers p-adiques, raison pour laquelle on ´ecrira d´esormais b = -1.

On appellera d´esormais Z

le groupe des entiers p-adiques.

1.2. Nombres p-adiques

L’anneau des entiers p-adiques

De mani`ere similaire `a l’addition, on d´efinit la multiplication des entiers p-adiques.

Cette multiplication n’est rien d’autre que l’extension de la multiplication usuelle des entiers naturels (´ecrits en base p), en continuant tout simplement l’algorithme de multi- plication jusqu’`a l’infini. Comme

p . X

i≥0

a

p

= a

p + a

p

+ · · · 6= 1 + 0p + 0p

+ . . . , le nombre premier p n’a pas d’inverse multiplicatif dans Z

.

Muni de l’addition et de la multiplication d´efinies comme ci-dessus, Z

est un anneau commutatif.

Corollaire 1.2. [2] Z

est int`egre.

D´ emonstration. En effet, si x et y sont non nuls :

V

(xy) = V

(x) + V

(y) 6= +∞ donc xy 6= 0.

1.2.2 Le corps Q

des nombres p-adiques

Nous avons d´ej`a vu que l’anneau des entiers p-adiques est int`egre. Cela nous permet de d´efinir le corps des nombres p-adiques comme le corps de fractions de Z

.

Q

= Frac(Z

).

Pour construire un corps contenant Q qui est complet par rapport `a la norme p-adique nous allons passer par les suites de Cauchy. Deux suites de Cauchy {a

} et {b

} sont

´equivalentes si lim |a

− b

|

= 0.

1.2. Nombres p-adiques

On appelle Q

l’ensemble de ces classes d’´equivalence, muni d’une addition et d’une multiplication par :

{a

} + {b

} = {a

+ b

}, {a

}.{b

} = {a

.b

},

o`u {a

} et {b

} sont des repr´esentants de deux classes a, b ∈ Q

. On note 0 la classe des suites qui convergent vers 0.

Proposition 1.6. Q

muni des op´erations ci-dessus est un corps.

L’ensemble de valeurs de Q est le mˆeme ensemble de valeurs de Q

; les deux ensembles {x ∈ R

: x = |λ|

pour certain λ ∈ Q},

et

{x ∈ R

: x = |λ|

pour certain λ ∈ Q

} sont ´egaux `a {p

: n ∈ Z} ∪ {0} l’ensemble des puissances de p.

Lemme 1.3. [18] Pour chaque x ∈ Q

, x 6= 0, il existe un entier n ∈ Z tel que |x|

= p

. Consid´erons une autre fa¸con d’exprimer ce lemme. Rappelons que pour tout x ∈ Q,

|x|

= p

, donc on a

Lemme 1.4. [18] Pour chaque x ∈ Q

, x 6= 0, il existe un entier V

(x) ∈ Z tel que

|x|

= p

. Autrement dit, la valuation V

(x) s’´etend `a Q

. Il est facile de voir que

Z

= {a ∈ Q

: |a|

≤ 1}.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

Corollaire 1.3. [18] Z

est compact et Q

est localement compact.

1.2.3 Le corps C

D´ efinition 1.7. Soit Q

une clˆoture alg´ebrique de Q

. D’apr`es la th´eorie g´en´erale, V

se prolonge de mani`ere unique en une valuation sur Q

. Malheureusement, cette clˆoture alg´ebrique n’est pas compl`ete. On note C

le compl´et´e de Q

pour V

, qui cette fois-ci est

`a la fois complet et alg´ebriquement clos.

On note D l’ensemble des ´el´ements de C

de valeur absolue inf´erieure ou ´egale `a un.

i.e. ;

D = {x ∈ C

; |x| ≤ 1},

c’est un anneau commutatif unitaire, qui contient Z

, que l’on appelle l’anneau des entiers de C

.

L’ensemble de ses ´el´ements inversibles est l’ensemble des ´el´ements de C

de module 1, qu’on note par B. i.e. ;

B = {x ∈ C

; |x| = 1}.

Proposition 1.7. [1] Si x ∈ C

, x 6= 0, alors il existe un nombre rationnel ν tel que

|x| = p

.

Proposition 1.8. C

est alg´ebriquement clos.

1.3 Analyse ´ el´ ementaire sur C _p

Dans cette section, on va donner certains r´esultats ´el´ementaires des fonctions donn´ees sous forme des s´eries enti`eres. Commen¸cons par ´etudier les propri´et´es de convergence des suites et des s´eries enti`eres.

1.3.1 Suites et s´ eries enti` eres

Lemme 1.5. ([1], [18]) Soit {a

} une suite dans C

, on a : {a

} est une suite de Cauchy si et seulement si lim

n→+∞

|a

− a

| = 0.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

D´ emonstration. Si {a

} est de Cauchy, alors on a

|a

− a

|

→

n→+∞

0, ∀m ≥ 0, d’o`u quand m = 1, on a : |a

− a

|

→

n→+∞

0.

Inversement, on a

|a

− a

|

= |a

− a

+ a

− a

+ ... + a

− a

|

≤ max(|a

− a

|

, |a

− a

|

, ..., |a

− a

|

)

|a

− a

|

→

n→+∞

0, d’o`u {a

} est de Cauchy dans C

.

Lemme 1.6. ([1], [18]) Soit {a

} une suite convergente dans C

et qui ne tend pas vers z´ero. Alors il existe un entier positif N tel que |a

| = |a

| pour n ≥ N .

Lemme 1.7. ([1], [18]) Une s´erie P

n=0

a

, (a

∈ C

) est convergente si et seulement si

n→∞

lim a

= 0.

Consid´erons maintenant une s´erie enti`ere f (x) =

X

n=0

a

x

.

Soit x ∈ C

, nous savons que la s´erie P

n=0

a

x

converge si et seulement si lim

n→∞

|a

x

| = 0.

Proposition 1.9. [26] Soit f (x) = P

n=0

a

x

une s´erie de puissance non nulle, son ordre est un entier w = w(f) = min{n ∈ N : a

6= 0} c’est le premier indice non nul des coefficients de f (x).

Par convention, on pose w(0) = ∞.

La relation suivante est ´evidente

w(f + g) ≥ min(w(f) + w(g)) avec ´egalit´e si les ordres sont diff´erents.

D´ efinition 1.8. [26] Le rayon de convergence de f(x) = P

n=0

a

x

est :

r

= sup{r; |a

|r

→ 0}.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

Sinon, on peut consid´erer les valeurs de r ≥ 0 pour lequel {|a

|r

} soit born´ee : sup{r ≥ 0; |a

|r

→ 0} ≤ sup{r ≥ 0; (|a

|r

) born´ee},

et inversement

(|a

|r

) born´ee ⇒ |a

|S

→ 0 (S < r) montre la deuxisi`eme in´egalit´e, et donc

r

= sup{r ≥ 0; (|a

|r

) born´ee}.

On peut calculer le rayon de convergence de P

n≥0

a

x

par la formule d’Hadamard comme dans le cas complexe :

Proposition 1.10. ([1], [18]) Le rayon de convergence de P

n≥0

a

x

est :

r

= 1

lim|a

|

= 1 lim sup |a

|

(i) Si r

= 0, alors f (x) converge seulement si x = 0 ; (ii) Si r

= +∞, alors f (x) converge pour tout x ∈ C

;

(iii) Si 0 < r

< +∞ et |a

|r

→ 0 quand n → +∞, alors f(x) converge si et seulement si |x| ≤ r

;

(iv) Si 0 < r

< +∞ et |a

|r

ne tend pas vers 0 quand n → +∞, alors f (x) converge si et seulement si |x| < r

.

Proposition 1.11. Soit f (x) = P

n≥0

a

x

une s´erie enti`ere et soit Df (x) = P

n≥1

na

x

sa d´eriv´ee. Le rayon de convergence de f (x) et de Df (x) sont ´egales :

r

= r

.

D´ emonstration. Pour chaque n ∈ N, on a |n|

≤ 1. Alors,

r

= lim sup

n→∞

|na

|

1

pn−1

= lim sup

n→∞

|na

|

= lim sup

n→∞

|a

|

= r

.

Maintenant, on va consid´erer les z´eros d’une fonction d´efinie par une s´erie enti`ere.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

1.3.2 Z´ eros des s´ eries enti` eres

Th´ eor` eme 1.3 ( Strassman). ([1], [18]) Soit f(x) = P

n≥0

a

x

∈ C

[[X]] une s´erie enti`ere non-nulle. Supposons que f (x) converge pour tout x ∈ D. Soit N un entier d´efini par :

1) |a

|

= max |a

|

,

2) |a

|

< |a

|

pour n > N .

Alors, la fonction f : D → C

a au plus N z´eros.

D´ emonstration. La d´emonstration se fait par r´ecurrence.

– Pour N = 0 et d’apr`es cette assertion |a

|

> |a

|

pour tout n > 0, nous devrons d´emontrer que f n’a aucun z´ero dans Z

.

Si 0 = f(x) = a

+ a

x + . . . on a |a

|

= |a

+ a

x + . . . |

≤ max

n≥1

|a

|

< |a

|

contradiction – Supposons

|a

|

= max

n

|a

|

et |a

| < |a

|

pour n > N, et soit f (α) = 0 pour certain α ∈ D. Choisissons x ∈ D. Alors

f(x) = f(x) − f(α) = X

n=1

a

(x

− α

) = X

n=1

X

j=0

a

x

α

= (x − α) X

j=0

X

n=j+1

a

x

α

.

Posons : k = n − 1 − j donc n = k + 1 + j, on obtient, f (x) = (x − α)

X

j=0

b

x

= (x − α)g

(x), o`u b

= X

k=0

a

α

.

Maintenant, notons que

|b

|

≤ max

k≥0

|a

|

≤ |a

|

pour tout j ≥ 0.

De plus,

|b

|

= |a

+ a

α + a

α

+ . . . |

= |a

|

, et si j ≥ N ,

|b

|

≤ max |a

|

≤ max |a

|

< |a

|

.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

Donc b

poss`ede la norme maximale. Par r´ecurrence, g

a au plus N − 1 z´eros, d’o`u f a au plus N z´eros.

Corollaire 1.4. ([1], [18]) Soit f (x) = P

n=0

a

x

une s´erie enti`ere `a coefficient dans C

et soient α

, α

, . . . , α

des racines de f (x) = 0 dans D, alors il existe une s´erie enti`ere g(x) qui converge sur D et qui n’admet aucun z´ero sur D tel que :

f(x) = (x − α

)(x − α

) . . . (x − α

)g(x).

D´ emonstration. Comme dans le th´eor`eme pr´ec´edent, on peut ´ecrire f (x) = (x − α

)g

(x), o`u g

(x) converge dans Z

et a au plus (m − 1) z´ero. R´ep´etant cette proc´edure jusqu’`a obtenir g

(x) = g(x).

Corollaire 1.5. ([1], [18]) Soit f (x) = P

n=0

a

x

convergente sur P

D pour certain m ∈ Z.

Alors f (x) a un nombre fini de z´ero dans P

D.

Corollaire 1.6. ([1], [18]) Soient f (x) = P

n=0

a

x

, g(x) = P

n=0

b

x

deux s´eries enti`eres convergentes dans un certain disque P

D. S’il existe une infinit´e de z´eros α ∈ P

D tels que f (α) = g(α), alors a

= b

, ∀n ≥ 0.

D´ emonstration. On applique le corollaire pr´ec´edent pour f (x) = g(x) Corollaire 1.7. ([1], [18] )Soit f (x) = P

n=0

a

x

convergente dans un certain disque P

D.

Si la fonction f : P

D → C

est p´eriodique, i.e., il existe un constant τ ∈ P

D tel que f(x + τ) = f(x), ∀x ∈ P

D, alors f (x) est constante.

D´ emonstration. La s´erie f(x) − f (0) poss`ede des z´eros au points nτ pour tout n ∈ N. Puisque τ ∈ P

D implique nτ ∈ P

D, ce qui donne une infinit´e de z´eros, et par cons´equent la s´erie doit ˆetre identiquement nulle, i.e., f (x) est constante.

1.3.3 Th´ eor` eme de pr´ eparation de Weierstrass et fonctions ana- lytiques

Le but de cette section est de donner un th´eor`eme connu sous le « Th´eor`eme de

pr´eparation de Weierstrass p-adique ». Ceci est une version p-adique d’un th´eor`eme clas-

sique dˆu `a Weierstrass qui traite des s´eries `a plusieurs variables complexes et constitue un

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

outil important dans la th´eorie des fonctions de plusieurs variables complexes. La version p-adique donne des informations fondamentales sur les fonctions p-adiques d´efinies par des s´eries enti`eres.

D´ efinition 1.9. [3] On dira qu’une fonction f(x) est analytique sur le disque B (a, r) si cette fonction est sur ce disque la somme d’une s´erie enti`ere en puissances de (x − a), donc de rayon de convergence au moins r.

D´ efinition 1.10. [14] On note A[R] ¡

resp. A(R) ¢

l’anneau des fonctions analytiques sur B

(0, R) ¡

resp. B

(0, R) ¢

d´efinie par :

A[R] = { X

n=0

a

x

: lim

n→∞

|a

|R

= 0}

¡ resp. A(R) = { X

n=0

a

x

: lim

n→∞

|a

|R

= 0, pour tout r < R} ¢ .

Tout cela s’´etend facilement aux s´eries convergentes de Laurent. Plus pr´ecisement, on peut consid´erer divers types de couronnes ; ouverte, ferm´ee et semi-ferm´ee :

C(r

, r

) = {x ∈ C

: r

< |x| < r

}, C [r

, r

] = {x ∈ C

: r

≤ |x| ≤ r

},

C(r

, r

] = {x ∈ C

: r

< |x| ≤ r

}, C [r

, r

) = {x ∈ C

: r

≤ |x| < r

}, et les divers anneaux des fonctions analytiques sur ces espaces

A(r

, r

) = { X

n=−∞

a

x

: lim

|n|→∞

|a

|r

= 0 pour tout r

< r < r

}, A[r

, r

] = {

X

n=−∞

a

x

: lim

|n|→∞

|a

|r

= 0 pour tout r

≤ r ≤ r

}, A[r

, r

) = {

X

n=−∞

a

x

: lim

|n|→∞

|a

|r

= 0 pour tout r

≤ r < r

}, A(r

, r

] = {

X

n=−∞

a

x

: lim

|n|→∞

|a

|r

= 0 pour tout r

< r ≤ r

}.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

D´ efinition 1.11. On note M[R] ¡

resp. M(R), M([r

, r

]), M(]r

, r

[) ¢

le corps des quotients de A[R] ¡

resp. A(R), A[r

, r

], A]r

, r

[ ¢

, ses ´el´ements sont appel´es fonctions m´eromorphes.

D´ efinition 1.12. ([13], [14]) Soit r

≤ r

et consid´erons l’anneau A[r

, r

] des fonctions analytiques sur une couronne ferm´ee C[r

, r

].

1. On d´efinit la r-norme de Gauss sur l’anneau A[r

, r

] par :

| X

n∈Z

a

x

|

= max

n∈Z

|a

|r

2. Si f (x) = P

n∈Z

a

x

est une fonction non-nulle de A[r

, r

], on notera k(f, r) ¡ resp.

K (f, r) ¢

le plus petit ¡

resp. le plus grand ¢

entier s rendant le nombre |a

|r

maxi- mum ¡

c’est `a dire ´egal `a |f |

¢

. En particulier, on a k(f, r) ≤ K (f, r).

Si r = 0, f (0) = 0, on d´efinit : k(f, 0) = 0 et K(f, 0) = inf{n, a

6= 0}.

3. Un rayon r tel que K(f, r) > k(f, r) est dit rayon critique.

La r-norme de Gauss est en fait une valeur absolue.

Si r

= 0, la fonction f est la somme d’une s´erie enti`ere en puissances positives.

Proposition 1.12. [14] Soit f et g deux fonctions non-nulles de A[r

, r

]. On a :

|f g|

= |f |

|g|

¡

la norme est multiplicative ¢ ,

K(f g, r) = K (f, r) + K(g, r), et k(f g, r) = k(f, r) + k(g, r).

D´ emonstration. Posons f = P

a

x

, g = P

b

x

et f g = P

c

x

. On constate que

|f g|

= max

i,j∈Z

|c

|r

≤ max

i,j∈Z

|a

b

|r

+ j = |f|

|g|

. Maintenant, par d´efinition, pour i (resp. j), on a

|a

|r

≤ a

r

= |f |

(resp. |b

|r

≤ b

r

= |g|

);

et, pour i > K(f, r) (resp. j > K (g, r)), on a

|a

|r

< a

)r

¡

resp. |b

|r

< b

r

¢

; si bien que, dans la somme

|c

| = | X

i+j=K(f,r)+K(g,r)

a

b

| ≤ r

max

i+j=K(f,r)+K(g,r)

|a

|r

|b

|r

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

le terme a

b

a une valeur absolue strictement sup´erieure `a celle des autres termes.

On en d´eduit que

|f g|

≥ |c

|r

= |a

b

|r

= |f |

|g|

. En particulier, on a |f g|

= |c

|r

.

Pour s > K(f, r) + K(g, r), un calcul analogue montre que |c

|r

< |f|

|g|

. Donc K(f g, r) = K(f, r) + K (g, r).

On montrerait de mˆeme que |f g|

= |c

|r

et que, pour s < k(f, r) + k(g, r), on a |c

|r

< |f|

|g|

ce qui ach`eve la d´emonstration du lemme.

Corollaire 1.8. La r-norme de Gauss est une valeur absolue ultram´etrique sur l’anneau A[r

, r

] et se prolonge en une valeur absolue du corps M([r

, r

]).

La formule |f /g|

= |f|

/|g|

permet maintenant de prolonger la r-norme de Gauss au corps M([r

, r

]).

Dans la partie suivante, nous rappelons des r´esultats connus sur la factorisation des fonc- tions analytiques p-adiques. Pour une fonction analytique f (x) = P

n=0

a(n)x

sur le disque B

(0, r), appartenant `a A(r), on pose |f |

= max(|a(n)|r

), qu’on note aussi |f|(r). On a le r´esultat suivant :

Lemme 1.8. [3] Soit Q(x) = b

+ ... + b

x

, un polynˆome de K[x]. On suppose que

|b

|r

= max{|b

|r

} = |Q|

. On dit alors que le polynˆome est distingu´e. Alors le polynˆome Q a toutes ses racines dans le disque B

(0, r) de C

.

D´ emonstration. Montrons que le polynˆome Q(x) a toutes ses racines dans C

dans le

disque B

(0, r). On factorise Q(x) : Q(x) = b

(x − α

)...(x − α

), o`u les α

sont dans C

,

et pas forc´ement distincts. La norme de x − α

sur le disque B

(0, r) est max{r, |α

|}. Par

suite |Q|

= |b

|r

= |b

|Π max{r, |α

|} ; comme max{r, |α

|} ≥ r pour tout i, et que le

produit est ´egal `a r

, on a max{r, |α

|} = r pour tout i, et on en conclut que |α

| ≤ r pour

tout i. On a donc bien montr´e que toutes les racines de Q sont dans le disque B

(0, r),

que r soit dans le groupe des valeurs ou non.

1.3. Analyse ´el´ementaire sur C

Nous ´enon¸cons maintenant le Th´eor`eme de pr´eparation p-adique.

Th´ eor` eme 1.4 (Th´ eor` eme de Pr´ eparation de Weierstrass). [3]

Soit f (x) = P

n=0

a(n)x

une s´erie enti`ere non nulle `a coefficients dans C

, convergente dans le disque B

(0, r), appartenant `a A(r), et s un indice tel que l’on ait |a(s)|r

=

|f|

, et |a(j )|r

< |a(s)|r

pour j > s. Il existe alors un couple (Q, H ), Q ´etant un polynˆome de C

[x], Q(x) = b

+ · · · + b

x

, avec |b

|r

= |Q|

= |f|

et H(x) une s´erie enti`ere appartenant `a A(r), telle que |H − 1|

< 1, v´erifiant f (x) = Q(x)H(x).

Corollaire 1.9. [3] Soit f (x) = P

n=0

a

x

une s´erie enti`ere non nulle `a coefficients dans C

, convergente dans le disque B

(0, r), appartenant `a A(r), et s un indice tel que l’on ait |a(s)|r

= |f|

, et |a(j )|r

< |a(s)|r

pour j > s. Alors :

a) Si s ≥ 1, alors la fonction f `a exactement s z´eros dans le disque B

(0, r), compte tenu des multiplicit´es ;

b) La fonction f n’a aucun z´ero dans le disque B

(0, r) si et seulement si s = 0, et sa valeur absolue est alors constante dans ce disque.

Lemme 1.9. Soit f ∈ A(C

) n’a aucun z´ero dans C

. Alors f est une constante.

D´ emonstration. Soit f (x) = P

n=0

a

x

. On sait que le nombre de z´eros de f dans un disque B(0, r) est ´egal `a le plus grand entier tel que |a

|r

= sup

j∈N

|a

|r

. Par cons´equent, si f ne s’annule pas dans K (n’a aucun z´ero dans K), ´evidemment a

= 0, ∀n > 0.

Proposition 1.13. [3] Soit f(x) une fonction enti`ere ¡

donc une s´erie enti`ere de rayon de convergence infini ¢

, que l’on suppose non polynˆomiale. Alors l’ensemble des z´eros non nuls de f forme une suite infinie, que l’on range par ordre de module croissant et que l’on note {a

}. La suite tend vers l’infini, et on peut ´ecrire f sous forme d’un produit infini :

f (x) = cx

Y

n=1

(1 − x a

)

o`u c est une constante, et k ∈ N l’ordre de x = 0 comme z´ero de f .

D´ emonstration. On montre tout d’abord que f a une infinit´e de z´eros formant une

suite de limite l’infini. Dans tout disque ferm´e, f a un nombre fini de z´eros. On peut donc

les ranger comme indiqu´e dans la proposition. Montrons que si la suite {a

} est finie,