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DS9-2013_CORRIGE
Partie A : Imageur médical [10 pts]
(cet exercice est extrait du sujet 2000 du concours commun polytechnique - filière TSI)
Présentation du mécanisme :
Afin d’assurer le positionnement angulaire et radial d’une caméra 6 appelée « imageur médical », on utilise la cinématique représentée sur le schéma de la fig. 1. Le mécanisme est équilibré par un contrepoids 5.
La position angulaire est commandée par le moteur M1 dont le stator est solidaire du bâti 0.
La position radiale est commandée par le moteur M2 dont le stator est solidaire de l’axe principal 1.
Travail demandé :
L’étude ne porte que sur la chaîne cinématique composée des solides 1, 3 et 4 cf. Fig. 2
Q 1 : Etablir le graphe de structure de la chaîne cinématique composée des solides 1, 3 et 4.
Nc = 3
Q 2 : Montrer que la liaison (L12) équivalente aux liaisons (L1) et (L2), entre les solides 1 et 4 est une liaison pivot glissant. En déduire m et h.
Les liaisons (L1) et (L2) sont en série on détermine la liaison équivalente (L12) à partir d’une étude cinématique :
{ }
) ,
0 (
0 0
0 1 0 1
u A pt
V
∈ r
∀
= β et
{ }
) ,
0 (
2 .
0
0 2 0 2
u A pt
p V
∈ r
∀
= β β où p est le pas de la vis
On en déduit que
{ } { } { }
) ,
0 (
2 .
0
0 2 1
0 2
1 12
u A pt
p V
V V
∈ r
∀
+
= +
= β β β
La liaison L12 est une liaison pivot glissant d’axe (A,u).
Le degré de mobilité est m = Nc = nc1 +nc2 = 1 + 1 m=2
Le degré d’hyperstatisme est h=0
1 3
4 Pivot (A,u)
Glissière // u Glissière hélicoïdale (A,u)
nc1= 1
nc3= 1 nc2= 1
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Q 3 : Déterminer la liaison (L123) équivalente aux liaisons (L12) et (L3), entre les solides 1 et 4. En déduire m et h.
Les liaisons (L12) et (L3) sont en parallèle on détermine la liaison équivalente (L123) à partir d’une étude statique :
{ }
=
12 0 12
12 0
12 12
N L
Z X T
A
et
{ }
=
3 3 3
3 0
3 3
N M L
Z X T
B
Par ailleurs, on sait que le torseur T12 conservera la même forme pour tous les points de l’axe (A,u) et que le torseur conservera la même forme pour tous les points de l’espace.
On en déduit que
{ } { } { }
+ +
+ + +
+
= +
=
...
3 12
3 ...
3 12
3 12
0 3 12 3
12 123
N N
M L L
Z Z
X X T
T T
A
La liaison L123, entre les pièces 1 et 4, est une liaison glissière d’axe u.
Le degré de mobilité est m = 6 – rs = 6 – 5 m=1 translation suivant l’axe u.
Le degré d’hyperstatisme est h=Ns−rs=(4+5)−5 h=4
Q 4 : Vérifier le résultat précédent en calculant m et h directement sur la chaîne continue fermée (L1)-(L2)- (L3).
Le système est caractérisé par : Nc = 3 et γ = 1 Le degré de mobilité de la chaine est m=1
si on bloque la rotation suivant l’axe u de 3 par rapport à 1, toutes les pièces sont bloquées.
Le degré d’hyperstatisme est h=m+6−Nc=1+6−3 h=4
Q5 : Indiquer quelles sont les conséquences de cet hyperstatisme sur la fabrication des pièces 1, 3 et 4.
• pour la fabrication de la pièce 1 : on devra respecter des tolérances d’entraxe (localisation) et de parallèlisme entre les axes des liaisons (L1) et (L3).
• Pour la fabrication de la pièce 4 : on devra respecter des tolérances d’entraxe (localisation) et de parallèlisme entre les axes des liaisons (L2) et (L3).
• Pour la fabrication de la pièce 3 : on devra respecter une tolérance de coaxialité entre les axes des liaisons (L1) et (L2).
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Partie B : Table élévatrice [10 pts]
Le schéma cinématique de la figure 3 représente l’architecture d’une table élévatrice. La tige de vérin S1 agit sur les deux ciseaux S2-S3 et S4-S5 pour permettre de monter ou descendre la table S7. La table reste parallèle au support S0 grâce au coulisseau S6.
Pour garantir un bon fonctionnement, il est impératif que les longueurs des demi-ciseaux soient toutes identiques : OB=AB=BD=BC=CE=DE=EF=EG
Q 6 : Quelle est la nature du mouvement de S7 par rapport à S0 ? Tracer la trajectoire du point F sur la figure 3.
En faisant l’hypothèse que les demi-longueurs des ciseaux sont toutes égales : OB = AB = BC = BD = DE = CE = EF = EG, on peut en déduire que la table S7 effectue une translation rectiligne de direction z.
La trajectoire du point F par rapport à S0 est sur la droite (O, z).
Q 7 : Quelle est la nature du mouvement de S6 par rapport à S0 ? Tracer la trajectoire du point G sur la figure 3.
Le coulisseau S6 effectue une translation curviligne.
La trajectoire du point D par rapport à S0 est un arc de cercle de centre O et de rayon OD. Or, a chaque instant, les points A, D et G sont alignés suivant la direction (A,z) avec AG = 2 AD. On peut donc en déduire que la trajectoire du point G par rapport à S0 est un arc d’ellipse de centre O avec les axes
suivants :
- Petit axe : longueur 2 OD suivant (O,x) - Grand axe : longueur 4 OD suivant (O,z)
Q 8 : Tracer le graphe de structure de cette table. (sans indiquer l’orientation et la position des différentes liaisons)
Q 9 : Déterminer intuitivement, en le justifiant, le degré de mobilité de cette table.
Pour que l’ensemble des pièces soit immobile, il faudrait bloquer la translation et la rotation du vérin S1 par rapport à S0.
m = 2
Q 10 : En déduire son degré d’hyperstatisme.
On en déduit : h = m + 6γ - Nc = 2 +18 – 16
h = 4
S0
S1
S3
S2
S4
S5
S7
S6 Pivot glissant
2
Pivot 1
Pivot 1
Rotule 3 Pivot
1 Rotule
3 Pivot
Glissant 2
Pivot
1 Pivot 1
Glissière 1
Nc = 16 γ = 3
T(D/0) T(G/0)
T(F/0)
S1
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Q 11 : Modifier ce mécanisme afin de le rendre isostatique. Il est possible de modifier certaines liaisons ou d’ajouter des pièces mais il est impératif que cette table conserve sa fonctionnalité.
En analysant les boucles indépendamment, on en déduit :
-
la boucle S0-S1-S2-S3 est isostatique :h = 0
-
la boucle S2-S3-S4-S5 est hyperstatique :h = 3
(problème de parallélisme et de calage axial)-
la boucle S4-S5-S6-S7 est hyperstatique :h = 1
(problème de calage axial) On peut résoudre l’hyperstatisme de ce mécanisme en modifiant 3 liaisons :Les mobilités restent inchangées.
m = 2
On en déduit : h = m + 6γ - Nc = 2 +18 – 20
h = 0
S0
S1
S3
S2
S4
S5
S7
S6 Pivot glissant
2
Rotule 3 Rotule
3 Pivot
Glissant 2
Pivot
1 Pivot 1
Glissière 1
Nc = 20 γ = 3
Pivot glissant 2
Pivot glissant Rotule 2
3
