DS8-2012_Corrigé
Partie A : Théorie des mécanismes [12 pts]
1. Imageur médical
1. Etablir le graphe de structure de la chaîne cinématique composée des solides 1, 3 et 4.
Nc = 3
2. Déterminer la liaison (L12) équivalente aux liaisons (L1) et (L2), entre les solides 1 et 4.
Les liaisons (L1) et (L2) sont en série on détermine la liaison équivalente (L12) à partir d’une étude cinématique :
{ }
) ,
0 (
0 0
0 1 0 1
u A pt
V
∈ r
∀
= β et
{ }
) ,
0 (
2 .
0
0 2 0 2
u A pt
p V
∈ r
∀
= β β où p est le pas de la vis
On en déduit que
{ } { } { }
) ,
0 (
2 .
0
0 2 1
0 2
1 12
u A pt
p V
V V
∈ r
∀
+
= +
= β β β
La liaison L12 est une liaison pivot glissant d’axe (A,u).
Le degré de mobilité est m = Nc = nc1 +nc2 = 1 + 1 m=2
Le degré d’hyperstatisme est h=0
3. Déterminer la liaison (L123) équivalente aux liaisons (L12) et (L3), entre les solides 1 et 4.
Les liaisons (L12) et (L3) sont en parallèle on détermine la liaison équivalente (L123) à partir d’une étude statique :
{ }
) ,
12 (
0 12
12 0
12 12
u A
N pt
L
Z X T
∈ r
∀
= et
{ }
N pt
M L
Z X T
∀
=
3 3 3
3 0
3
3
On en déduit que
{ } { } { }
) ,
3 (
12 3
3 12
3 12
0 3 12 3
12 123
u A
N pt
N M
L L
Z Z
X X T
T T
∈ r
∀
+ + +
+
= +
=
La liaison L12 est une liaison glissière d’axe u.
1 3
4 Pivot (A,u)
Glissière // u Glissière hélicoïdale (A,u)
nc1= 1
Nc3= 1 Nc2= 1
Fig. 1
4. Déterminer le degré de mobilité m et le degré d’hyperstatisme h de la liaison (L123).
Le degré de mobilité est m = 6 – rs = 6 – 5 m=1 translation suivant l’axe u.
Le degré d’hyperstatisme est h=Ns−rs=(4+5)−5 h=4
5. Vérifier le résultat précédent en calculant m et h directement sur la chaîne continue fermée (L1)-(L2)-(L3) Le degré de mobilité de la chaine est
=1
m si on bloque la rotation suivant l’axe u de 3 par rapport à 1, toutes les pièces sont bloquées.
Le degré d’hyperstatisme est h=m+6−Nc=1+6−3 h=4
6. Indiquer quelles sont les conséquences de cet hyperstatisme sur la fabrication des pièces 1, 3 et 4.
• pour la fabrication de la pièce 1 : on devra respecter des tolérances d’entraxe (localisation) et de parallèlisme entre les axes des liaisons (L1) et (L3).
• Pour la fabrication de la pièce 4 : on devra respecter des tolérances d’entraxe (localisation) et de parallèlisme entre les axes des liaisons (L2) et (L3).
• Pour la fabrication de la pièce 3 : on devra respecter une tolérance de coaxialité entre les axes des liaisons (L1) et (L2).
2. Table élévatrice
Q 7 : Quelle est la nature du mouvement de S7 par rapport à S0 ? Tracer la trajectoire du point F sur la figure 1.
En faisant l’hypothèse que les demi-longueurs des ciseaux sont toutes égales : OB = AB = BC = BD = DE = CE = EF = EG, on peut en déduire que la table S7 effectue une translation rectiligne de direction z.
La trajectoire du point F par rapport à S0 est sur la droite (O, z).
Q 8 : Quelle est la nature du mouvement de S6 par rapport à S0 ? Tracer la trajectoire du point G sur la figure 1.
Le coulisseau S6 effectue une translation curviligne.
La trajectoire du point D par rapport à S0 est un arc de cercle de centre O et de rayon OD. Or, a chaque instant, les points A, D et G sont alignés suivant la direction (A,z) avec AG = 2 AD. On peut donc en déduire que la trajectoire du point G par rapport à S0 est un arc d’ellipse de centre O avec les axes
suivants :
- Petit axe : longueur 2 OD suivant (O,x) - Grand axe : longueur 4 OD suivant (O,z)
Q 9 : Tracer le graphe de structure de cette table. (sans indiquer l’orientation et la position des différentes liaisons)
S0
S1
S3
S2
S4
S5
S7
S6 Pivot glissant
2
Pivot 1
Pivot 1
Rotule 3 Pivot
1 Rotule
3 Pivot
Glissant 2
Pivot
1 Pivot 1
Glissière 1
Nc = 16 γγγγ = 3
T(D/0) T(G/0)
T(F/0)
Q 10 : Déterminer intuitivement, en le justifiant, le degré de mobilité de cette table.
Pour que l’ensemble des pièces soit immobile, il faudrait bloquer la translation et la rotation du vérin S1 par rapport à S0.
m = 2
Q 11 : En déduire son degré d’hyperstatisme.
On en déduit : h = m + 6γ - Nc = 2 +18 – 16
h = 4
Q 12 : Modifier ce mécanisme afin de le rendre isostatique. Il est possible de modifier certaines liaisons ou d’ajouter des pièces mais il est impératif que cette table conserve sa fonctionnalité.
En analysant les boucles indépendamment, on en déduit :
-
la boucle S0-S1-S2-S3 est isostatique :h = 0
-
la boucle S2-S3-S4-S5 est hyperstatique :h = 3
(problème de parallélisme et de calage axial)-
la boucle S4-S5-S6-S7 est hyperstatique :h = 1
(problème de calage axial) On peut résoudre l’hyperstatisme de ce mécanisme en modifiant 3 liaisons :Les mobilités restent inchangées.
m = 2
On en déduit : h = m + 6γ - Nc = 2 +18 – 20
h = 0
S0
S1
S3
S2
S4
S5
S7
S6 Pivot glissant
2
Rotule 3 Rotule
3 Pivot
Glissant 2
Pivot
1 Pivot 1
Glissière 1
Nc = 20 γγγγ = 3
Pivot glissant 2
Pivot glissant 2 Rotule
3
Partie B : Cotation fonctionnelle [8 pts]
2. Travail demandé
Q13 : Tracer sur le document réponse, les chaînes de cotes relatives aux jeux A, B, C et D.
Q14 : Préciser la fonction des jeux A et B.
Les jeux A et B évitent le frottement entre des pièces ayant des vitesses de rotation différentes : Fonction du jeu A : éviter le frottement entre le pignon 16 et le porte satellites 18.
Fonction du jeu B : éviter le frottement entre les axes 8 et 21.
Q15 : Ecrire l’équation du jeu B.
Equation du jeu B : JB = B18 + B20 – B8 – B21
Q16 : En considérant que les cotes tolérancées sont connues pour toutes les pièces sauf pour l’axe 8, indiquer la dimension à coter sur l’axe 8 (refaire un dessin partiel de l’axe à main levée) pour garantir un jeu B mini. Par quel calcul peut-on déterminer cette dimension.
En reprenant l’équation du jeu B :
JBMaxi = B18Maxi + B20 Maxi – B8mini – B21mini
B8mini = B18Maxi + B20 Maxi – JBMaxi – B21mini B8 Maxi = B18mini + B20mini – JBmini – B21Maxi
Q17 : Etant donné que la pièce 27 doit assurer la liaison complète entre la roue 26 et le pignon 3, indiquer l’ajustement à choisir entre les pièces 27 et 3.
Il faut prévoir un ajustement fortement serré : H7p6 ou H7r6
Q18 : Etant donné que le flasque 4 doit être centré avec précision dans le rouleau 12, indiquer l’ajustement à choisir entre les pièces 4 et 12.
Il faut prévoir un ajustement « glissant juste » : H7g6
Q19 : Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme.
Ce réducteur est composé d’un train épicycloïdal à double satellite dans lequel :
• le mouvement d’entrée est celui du porte satellites
• le mouvement de sortie est celui d’un planétaire
Q20 : Déterminer le rapport de transmission de ce réducteur.
En appliquant la formule de Willis par rapport au porte satellites, on obtient :
