DS2-2013_CORRIGE

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C. Gabrion / DS2-2013_corrigé (version: 21/10/13) page 1/4

DS2-2013_CORRIGE

Partie A : « Caméra de surveillance »

1. Présentation du problème

Monsieur K. a passé l’âge de jouer aux LEGO ® … mais c’est plus fort que lui, il est fan de ces constructions ! Il adore regarder les nouvelles boites, il a même craqué pour « l’étoile noire » dans la collection STAR WARS ®. Mais désormais, ce trésor le rend inquiet et il souhaite pouvoir surveiller son salon dans lequel sont présentées toutes ses précieuses constructions. Il décide d’installer une caméra de surveillance à focale fixe ayant deux rotations pilotées à distance.

Il prévoit d’installer cette caméra au plafond, contre un mur (point O) pour surveiller successivement trois zones :

- La porte d’entrée du salon : point P - La fenêtre du salon : point F

- La vitrine contenant son trésor : point V

On définit trois repères orthonormés directs : - R0(O,X,Y,Z) lié au plafond du salon - R1(O,X1,Y1,Z) lié l’étrier de caméra - R2(O,X2,Y1,Z2) lié à la caméra

La structure cinématique de cette caméra de surveillance est modélisée par le schéma cinématique ci-dessous.

Les deux paramètres angulaires sont : - La rotation de l’étrier :

-135°< α <+135°

- La rotation de la caméra : -90°< β <+45°

Lorsque l’on veut viser un point M avec la caméra, on doit commander les angles α et β tels que :

2 X OM = ρ

_M

⋅

2. Travail demandé

Question A-1 : Etablir le graphe de structure de cette caméra.

S0 Pivot (A, Z) S1 Pivot (O,B) S2

Rotation de la caméra de -90° à +45°

Rotation de l’étrier ± 135°

Axe de visée : X2

Etrier

Socle Caméra

Socle S0

Etrier S1

Caméra S2 A

O

B Y

Z

X X2 Z O

X

Y

B X1

Y1 α

α

O Y1

X 1

Z A

X2

β Z2

β

M

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Question A-2 : Effectuer les produits suivants :

α cos 1 =

⋅ X

X

;

Y ¹ ⋅ X = − ^sin α

;

X ¹ ⋅ Z ² = ^sin β

Z Y

Y ∧ ¹ = ^sin α ⋅

^;

^Y ∧ ^X ¹ = − ^cos α ⋅ ^Z

^;

^X ² ∧ ^Y ¹ = ^Z ²

Question A-3 : Le point F est à 3,39 m de la caméra et pour le viser, il faut commander les angles avec les valeurs suivantes : α = 10 ° ^et β = − 30 ° . En déduire les coordonnées cartésiennes du point F.

Pour passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, il suffit d’exprimer le vecteur X2 dans le repère R0 :

Z X

X ² = ^cos β ⋅ ¹ − ^sin β ⋅

avec

X ¹ = ^cos α ⋅ X + ^sin α ⋅ Y

On en déduit :

 







 







⋅

−

⋅

 =

 





 







=

β ρ

α β ρ

sin sin cos

cos cos

0 F

F F

c

R

b a

OF

 

 



⋅

−

=

⋅

=

⋅

=

⇒

3 . sin

2 . sin

cos

1 . cos

cos

eq c

eq b

eq a

F F F

β ρ

α β ρ

 

 



=

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⇒

m c

m b

m a

695 , 1 ) 30 sin(

39 , 3

509 , 0 ) 10 sin(

) 30 cos(

39 , 3

891 , 2 ) 10 cos(

) 30 cos(

39 , 3

Question A-4 : Calculer la distance ρ

_P

qui sépare le point P de la caméra tel que :

2

0

/ 3

4 2

R

OP



 







 





=

On calcule la norme de

2 89 4

89 ² 2

²

² 3 4

²

2 + + = =

= OP

Question A-5 : Calculer les angles α ^et β pour viser le point P.

318 , 0 89 sin 3

3 . = − = −

= −

⇒

F

eq c

β ρ

^⇒ β ⁼ ^arcsin( ⁻ ⁰ ^, ³¹⁸ ⁾ ⁼ ⁻ ⁰ ^, ³²³ ^rd ⁼ ⁻ ¹⁸ ^, ⁵ ^° α α

β

ρ ρ β α

cos tan cos

sin cos 1

. 2

. =

⋅

= ⋅

⇒

F F

a b eq

eq

⇒ α = arctan( 4 / 2 ) = 1 , 107 rd = 63 , 4 °

Question A-6 : Sachant que le point V est placé tel que :

2

0

3 1

R

OV

 







 







−

= et que la vitesse moyenne de rotation sur chacun

des axes est de 80°/s, en déduire la durée nécessaire à la caméra pour passer de la porte à la vitrine ? En utilisant la même méthode, on peut calculer les angles pour viser le point V :

°

−

′ = 32 , 3

β

^et

α ′ = − 71 , 6 °

On en déduit que la rotation la plus importante pour aller de la porte à la vitrine est sur la rotation de l’étrier :

°

= +

′ =

−

=

∆ α α α 63 , 4 71 , 6 135

Le temps nécessaire sera t 1 , 7 s 80

135 80 = ≈

= ∆

∆ α

(3)

Partie B : « Vibreur à excentrique »

1. Présentation du mécanisme

Le vibreur à excentrique présenté par le schéma cinématique de la fig. 1 est destiné à générer des vibrations dans une table de tri. Les vibrations créées ont pour effet de séparer les matériaux en fonction de leur densité ou de leur granulométrie. Ce dispositif est complété par des cribles (tamis).

Un moteur anime l’excentrique S1 d’un mouvement continu de rotation, ce mouvement est transmis à la table S3 par l’intermédiaire de la coulisse S2. Il en résulte que la table est animée d’un mouvement de translation alternatif.

Sur la figure 1, le paramétrage est partiellement donné :

-

R 0 ( O , X 0 , Y 0 , Z 0 )

est le repère lié à S0 -

R 1 ( O , X 1 , Y 1 , Z 0 )

est le repère lié à S1 -

R 3 ( C , X 0 , Y 0 , Z 0 )

est le repère lié à S3 - α est le paramètre angulaire de S1/S0 - λ3 est le paramètre de distance de S3/S0 Les dimensions du système seront notées de la façon suivante :

-

OA = e

avec e constant : excentration de S1 -

BA = λ 2 X ⋅ 0

^avec

λ ²

variable.

-

BC = b ⋅ X 0 + h ⋅ Y 0

avec b et h constants

2. Travail demandé

Question B-1 : Etablir le graphe de structure en indiquant la

position et l’orientation de toutes les liaisons

Question B-2 : Terminer le paramétrage en définissant un repère lié à S2.

Pour S2, on définit :

- un repère :

R 2 ( A , x 0 , y 0 , z 0 )

- deux paramètres, les coordonnées du point A :

 







 







 =

 





 







=

0 sin .

cos .

0 α α e e yA xA

OA

avec

xA + b = λ 2

S0

S3

Pivot // (O, z0) S1

S2 Glissière

// y0

Pivot // (A, z0)

Glissière // x0

S3

S2

S1

S0

X0 Y0

X1

α

O

A C

B

λ3 Fig. 1

(4)

Question B-3 : Représenter complètement le repère R1 et le repère R0 sur une figure plane et donner les coordonnées cartésiennes des vecteurs unitaires X1 et Y1 dans le repère R0.

0

sin cos 1

R

x

 







 







= α

α

et

0

cos sin 1

R

y

 







 





 −

= α

α

Question B-4 : En écrivant une boucle vectorielle passant par les points O, A, B et C, déterminer les lois

« Entrée/Sortie » de ce vibreur : λλλλ3333 ^{= f(} αααα ^{) et} λλλλ2222 ^{= f(} αααα ⁾

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Partie A : « Caméra de surveillance »

1. Présentation du problème

2 X OM = ρ

⋅

2. Travail demandé

Question A-1 : Etablir le graphe de structure de cette caméra.

Question A-2 : Effectuer les produits suivants :

α cos 1 =

⋅ X

X

Y 1 ⋅ X = − sin α

X 1 ⋅ Z 2 = sin β

Z Y

Y ∧ 1 = sin α ⋅

Y ∧ X 1 = − cos α ⋅ Z

X 2 ∧ Y 1 = Z 2

Question A-3 : Le point F est à 3,39 m de la caméra et pour le viser, il faut commander les angles avec les valeurs suivantes : α = 10 ° et β = − 30 ° . En déduire les coordonnées cartésiennes du point F.

Pour passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, il suffit d’exprimer le vecteur X2 dans le repère R0 :

Z X

X 2 = cos β ⋅ 1 − sin β ⋅

X 1 = cos α ⋅ X + sin α ⋅ Y

 







 







⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

 =

 





 







=

β ρ

α β ρ

α β ρ

sin sin cos

cos cos

c

b a

OF

 

 



⋅

−

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⇒

3 . sin

2 . sin

cos

1 . cos

cos

eq c

eq b

eq a

β ρ

α β ρ

α β ρ

 

 

Y ¹ ⋅ X = − ^sin α

X ¹ ⋅ Z ² = ^sin β

Y ∧ ¹ = ^sin α ⋅

^Y ∧ ^X ¹ = − ^cos α ⋅ ^Z

^X ² ∧ ^Y ¹ = ^Z ²

Question A-3 : Le point F est à 3,39 m de la caméra et pour le viser, il faut commander les angles avec les valeurs suivantes : α = 10 ° ^et β = − 30 ° . En déduire les coordonnées cartésiennes du point F.

X ² = ^cos β ⋅ ¹ − ^sin β ⋅

X ¹ = ^cos α ⋅ X + ^sin α ⋅ Y

Question A-5 : Calculer les angles α ^et β pour viser le point P.

^⇒ β ⁼ ^arcsin( ⁻ ⁰ ^, ³¹⁸ ⁾ ⁼ ⁻ ⁰ ^, ³²³ ^rd ⁼ ⁻ ¹⁸ ^, ⁵ ^° α α