DEVOIR SURVEILLE N°4 Sciences Industrielles - Génie Mécanique

DS4-2013_corrigé (version: 23/12/13)

C. Gabrion (déc.13) page 1/4

Lycée Louis VINCENT METZ

TSI 1

DEVOIR SURVEILLE N°4

Sciences Industrielles - Génie Mécanique

Cinématique

19 Dec 2013 1h

« Magic Arms »

Cette partie s’inspire du sujet du concours commun E4A, session 99, filière PSI.

1. Présentation du mécanisme

La figure 2 représente le schéma cinématique simplifié d’un manège de la société WAAGNER-BIRO appelé « Magic Arms » (fig. 1). La version réelle est composée de deux bras articulés et d’une nacelle. La version que je vous propose d’étudier n’est composée que d’un bras S1 et d’une nacelle S2. Le bras effectue des rotations dans le plan vertical et la nacelle tourne autour de l’axe du bras pour le plus grand bonheur des amateurs de sensations fortes !

Ces deux rotations sont pilotées par un calculateur qui commande en vitesse deux moteurs électriques accouplés à des réducteurs.

La nacelle est un plateau circulaire de centre B sur lequel sont disposés 39 sièges. Le point M représente la position d’un des 6 sièges ayant la position la plus éloignée du centre B.

Un « tour » de ce manège se déroule en deux phases :

- La phase 1 : il s’agit d’un « round d’observation » au cours duquel la nacelle ne tourne pas, seul le bras oscille

progressivement pour aboutir à des rotations complètes … et faire tomber tout ce qui est mal fixé.

- La phase 2 : on passe aux choses sérieuses, les deux rotations se combinent pour amener les passagers à l’extase

… ou pour les faire regretter d’être montés.

Le paramétrage de ce mécanisme est donné en figure 3.

On définit 3 repères : - R0 (O, x₀, y₀, z₀) lié à S0 - R1 (A, x₀, y₁, z₁) lié à S1 - R2 (B, x2, y2, z1) lié à S2 et 2 paramètres angulaires :

( z r

₀

, z r

₁

)

α =

^et

⁽ x r

0

^, x r

2

⁾

θ =

Les distances constantes sont les suivantes : OA = a = 4 m ; AB = b = 6 m ; BM = r = 3 m

La cinématique du point B est donnée par les vecteurs suivants :

.

1

. ) 0 /

( B R b y

V = − α ^&

^;

Γ ( B / R 0 ) = − b . α ^{& &} . y

₁

− b . α ^& ². z

₁

Les rotations sont les suivantes :

Ω ( 1 / 0 ) = α ^& . x

₀ ^;

Ω ( 2 / 1 ) = θ ^& . z

1

2. Travail demandé

Question 1 : Calculer les vecteurs vitesse et accélération du point M / R1 : V ( M ∈ 2 / 1 ) et Γ ( M ∈ 2 / 1 )

.

2

) 1 / 2

( M r y

V ∈ = θ ^&

2 2

2

.

. ) 1 / 2

( M ∈ = r θ ^{& &} y − r θ ^& x

Γ

Question 2 : En dérivant le vecteur position, démonter que :

2 1

1

. . sin . . .

. . ) 0 / 2

( M b y r z r y

V ∈ = − α ^& + α ^& θ + θ ^&

( )

0 0

) 0 / 2 (

R

R dt

BM AB OA d dt

OM M d

V 









 + +

 =











=

∈

Fig. 2

Fig. 3 Fig. 1

C. Gabrion / DS4-2013_corrigé (version: 23/12/13) page 2/4

2 2

2 1

1 1 0

0

. 2 / 0 .

. 0 / . 1

) . 0 / 2

( r x

dt x z dr

dt b z db dt

x M da

V

R R

R

∧ Ω

 +







 

 + 

∧ Ω

 +







 

 + 

 





 



= 

∈

(

^{0 1}

)

²

1

0

. 0 .

0 0 ) 0 / 2

( M x b z x z r x

V ∈ = + + α ^& ∧ + + α ^& + θ ^& ∧

2 1

1

. . sin . . .

. . ) 0 / 2

( M b y r z r y

V ∈ = − α ^& + α ^& θ + θ ^&

Question 3 : Vérifier ce résultat en appliquant la formule du champ des vecteurs vitesses.

(

^{0 1}

)

2

1

.

. 0

/ 2 )

0 / 2 ( ) 0 / 2

( M V B MB b y r x x z

V ∈ = ∈ + ∧ Ω = − α ^& − ∧ α ^& + θ ^&

2 1

1

. . sin . . .

. . ) 0 / 2

( M b y r z r y

V ∈ = − α ^& + α ^& θ + θ ^&

Question 4 : Calculer le vecteur accélération du point M / R0, en dérivant le vecteur vitesse du point M.

( )

0 2 1

1 0

. . . sin . . . . )

0 / 2 ) (

0 / 2 (

R

R

dt

y r z r

y b d dt

M V M d

 





 



 − + +

 =







 



 ∈

=

∈

Γ α ^& α ^& θ θ ^&

( ) ( ) ( ) ( )

²

2 2 1

1 1

1

1

. . 2 / 0 . .

. sin . . . . 0 / . 1

sin . . .

. r y

dt y r z d

r y dt b

z r

y b d

R R

θ θ θ

α θ α

α

α & &

&

&

&

&

∧ Ω

 +

 



 

 +  +

−

∧ Ω

 +

 



 



 − +

=

( )

^{1 0}

(

^{1 1}

)

²

(

^{0 1}

) ( )

²

1

. sin . cos . . . . . . sin . . . . . . .

.

. y r z x b y r z r y x z r y

b α ^{& &} + α ^{& &} θ + α ^& θ ^& θ + α ^& ∧ − α ^& + α ^& θ + θ ^{& &} + α ^& + θ ^& ∧ θ ^&

−

=

( )

^{1 2 1 2 1 2 1 2 2}

1

. . .

sin 2 . . . . sin . . . . . cos . sin

. .

. y r z b z r y r y r z r x

b α ^{& &} α ^{& &} θ α ^& θ ^& θ α ^& α ^& θ θ ^{& &} α ^& θ ^& π θ  − θ ^&



 



 + +

+

−

− +

+

−

=

1 2

2 2 1

2 1 2 1

1

. sin . . . . . sin . . . . . 2 . cos .

. . ) 0 / 2

( M ∈ = − b α ^{& &} y + r α ^{& &} θ z − b α ^& z − r α ^& θ y + r θ ^{& &} y − r θ ^& x + r α ^& θ ^& θ z

Γ

Question 5 : Ecrire la formule du champ des vecteurs accélérations entre les points B et M.

( )

0

0 / 0 2

/ 2 0

/ 2 ) 0 / 2 ( ) 0 / 2 (

dt

R

MB d MB

B

M  





 



 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω +

∈ Γ

=

∈ Γ

Le chronogramme ci-contre donne la commande de la rotation du bras pendant les 14 premières secondes.

A la date t0 = 0s :

α ( 0 ) = 0 rd

^et

θ ^{( 0 )} = ^{0 rd}

La vitesse angulaire maximum (entre 2 et 4s et entre 9 et 11s) est :

s 5 rd /

max π

α & = ±

Question 6 : Déterminer l’orientation du bras à la date t6 = 6s : α ( 6 ) ^.

∫

+

=

6

0

).

( ) 0 ( ) 6 (

t

t

dt α t α

α ^&

∫

∫

∫ ^{+ +}

+

=

6

4 4

2 2

0

).

( ).

( ).

( 0 ) 6 (

t

t t

t t

t

dt t dt

t dt

t α α

α

α ^{& & &}

5 2 2 2 5

5 2 ) 2 6

( π π π

α = × − + × − + × ⁻ ⇒ = − = − 144 ° 5

) 4 6

( π rd

α

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Question 7 : Calculer la valeur numérique de la vitesse maximum du point M au cours des 7 premières secondes.

Etant donné que

V ( M ∈ 2 / 0 ) = − b . α ^& . y

₁

+ r . α ^& . sin θ . z

₁

+ r . θ ^& . y

₂ et que pendant les 7 premières secondes

θ ^& = θ = 0

^{, on en}

déduit :

V ⁽ M ∈ ^{2 / 0 )} = ( ) b ^. α ^&

²

= ^{6 .} α ^&

Donc

V M 3 , 77 m / s

. 5 6 max ) 0 / 2

( ∈ = π =

Question 8 : Calculer la valeur numérique de l’accélération du point M/R0 à la date t1 = 1s.

A t1=1s, on a :

•

θ ^& = θ = 0

•

t rd / s

) 10 1

( π

α & = ⁻

•

/ ²

) 10 1

( t π rd s

α & & = ⁻

On en déduit :

( ) ( ) ^{6 0 , 0987 0 , 00974 6 0 , 329}

10 6 10

. .

) 0 / 2

(

₄

4 2 2 4

2 2 2 2

×

= +

= +

= +

=

− +

−

=

∈

Γ ^{M b} α ^{& & b} α ^{& b} α ^{& &} α ^& π π

g s

m

M 2 / 0 ) 1 , 98 / ² 0 , 2

( ∈ ≈ ≈

Γ

La chaîne d’énergie de la rotation du bras est constituée d’un moteur asynchrone triphasé de 45kW et du réducteur représenté ci-contre. Le solide 3 est l’axe du moteur et le solide 1 est le bras du manège. La transmission du mouvement s’effectue grâce aux deux arbres intermédiaires 4 et 5.

Question 9 : Déterminer le rapport de transmission

3 1 ω ω

=

K en

fonction des nombres de dents des différentes roues.

Effectuer l’application numérique avec :

Z3 = 30 Z43 = 60 Z45 = 24

Z54 = 72 Z51 = 20 Z1 = 120

( ) 43 54 1 51 45 1 3

3

1

3

Z Z Z

Z Z K Z

×

×

×

− ×

=

= ω ω

En effectuant l’application numérique, on obtient :

36 1 6 1 3 1 2 1 3

1 = − × × = −

= ω ω K

Question 10 : Proposer une nouvelle cinématique pour ce réducteur, en conservant Z1 et Z3, pour obtenir

40 1 3 1 =

= ω ω

K .

Attention, vous devez éviter les roues dentées (ou couronnes intérieures) trop petites ou trop grandes : 15

< Zi < 150.

Pour obtenir une inversion de sens, on peut ajouter un axe intermédiaire ou alors remplacer l’une des roues dentées par une couronne intérieure.

Pour augmenter le rapport de transmission, on peut ajouter un rapport supplémentaire

40 36 36

1 40

1 = − × −

=

K

ou alors

décomposer le rapport global en trois rapports

5 1 4 1 2

1 40

1 = − × × −

=

K

.

Z1

S0

1

3

4

5

Z51

Z54 Z45

Z43 Z3

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On peut donc retenir les 2 solutions suivantes :

En ajoutant un arbre intermédiaire ou En remplaçant une roue par une couronne et en modifiant les nombres de dents

Z41 = 40 et Z42 = 36 Z54 = 96 et Z51 = 24

Attention ces solutions ne permettent peut-être plus de garantir l’alignement des axes 3 et 1.

Z1

S0

1 3

4

5

Z51

Z54 Z45

Z43 Z3

4’ Z42

Z41

Z1

S0

1

3

4

5

Z51

Z54 Z45

Z43 Z3