Master 1 MEEF 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Alg` ebre 7 Th` eme Arithm´ etique
L’exercice propos´e au candidat L’algorithme d’Euclide permet de d´emontrer l’existence et d´eterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers natu- rels a et b non nuls. Il assure l’existence de deux suites finies d’entiers naturels (qk)16k6N et (rk)06k6N +1, cette deuxi`eme suite ´etant strictement d´ecroissante, avec r0= a, r1= b, rN +1= 0 et ∀k 6 N , rk−1= rkqk+ rk+1.
1. D´emontrer qu’il existe deux suites finies d’entiers (uk)06k6N, (vk)06k6N v´erifiant, ∀k 6 N , rk = a uk+ b vk.
2. Mettre en œuvre cette m´ethode `a l’aide d’un logiciel pour calculer les entiers de B´ezout de deux entiers donn´es.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eves.
1.
La division est d’enlever des carr´es au rectangle. J’ai pris l’exemple le plus compliqu´e, avec dix ´etapes, ¸ca devrait suffire dans tous les cas.
2.
C¸ a stocke toutes les ´etapes dans un tableau, je crois que j’aurai pu m’en sortir seulement avec des variables, mais combien ?
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser les r´eponses des ´el`eves en mettant en ´evidence les comp´etences mises en œuvre.
2. Pr´esentez une correction de cet exercice comme devant une classe dont on pr´ecisera le niveau.
3. Proposer trois exercices sur le th`eme de l’arithm´etique portant sur diff´erents niveaux.
