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Sur les modifications vectorielles inhérentes à l’effet
doppler pour des ondes se propageant dans un milieu
diélectrique
M. Risco
To cite this version:
SUR LES MODIFICATIONS VECTORIELLES
INHÉRENTES
A L’EFFET DOPPLER POUR DES ONDES SE PROPAGEANT DANS UN MILIEUDIÉLECTRIQUE
Par M. RISCO,
Maître de Recherches au C. N. R. S.
Sommaire. 2014 La théorie relativiste du
champ électromagnétique existant dans un milieu matériel montre que, par l’influence du mouvement, le champ électrique et le champ magnétique n’ont plus, dans le nouveau référentiel, les mêmes directions que leurs inductions respectives. En conséquence,
l’étude de la propagation d’ondes planes à travers le milieu mobile, dépend essentiellement de quatre vecteurs différemment orientés. Dans ce travail, on énonce une règle selon laquelle, à partir des formules
exprimant l’orientation du champ électrique ou du champ magnétique, on peut immédiatement écrire celles qui signalent la direction et le sens des inductions correspondantes. C’est une règle de
carac-tère biunivoque. Elle s’applique aussi au vecteur de Poynting et à celui qui représente la quantité de mouvement du champ électromagnétique. Les deux vitesses de propagation, selon le rayon et la
normale aux ondes, sont donc reliées par la règle établie. Celle-ci s’appuie sur la substitution de l’indice de réfraction n
par I/n,
c’est-à-dire sur la substitution de la vitesse u de la lumière dans le diélectrique par c2/u. L’emploi successif de ces deux vitesses permet d’obtenir les deux systèmes de formules de l’effet Doppler par une même méthode : soit par addition de vitesses, soit par transformation de la phase.Les modifications subies par les différents vecteurs sont étudiées. On trouve notamment que pour
arrêter le mouvement des ondes au moyen d’une transformation de Lorentz, deux conditions s’imposent :
1° la vitesse relative v des référentiels, restant plus petite que c, doit être supérieure, ou égale, à la
vitesse de la lumière dans le diélectrique au repos; 2° la direction initiale de propagation des ondes doit former avec l’axe OY, normal à la vitesse v, un angle plus grand que l’angle limite de réfraction,
défini pour une surface séparant le diélectrique du vide. La deuxième condition présente la particularité
remarquable d’attribuer à cet angle limite un rôle concret dans un problème concernant un seul et
unique milieu réfringent, le diélectrique utilisé ayant été considéré comme étant d’extension indéfinie. Bien que ce travail soit consacré à l’étude de la propagation d’ondes planes, il contient également
quelques indications de caractère plus général.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
14,
DÉCEMBRE 1953, PAGE 657.1. Un
champ électromagnétique
existant dans undiélectrique
homogène
etisotrope
subit deschan-gements
profonds, qui
obéissent à deséquations
découvertes par Einstein etLaub,
quand
le milieu matériel se met en mouvementrectiligne
etuni-forme. Pour tout observateur par
rapport
auquel
le milieu est mobile, lechamp
et l’inductionélectriques
n’ont
plus,
engénéral,
la même orientation ; lechamp
et l’induction
magnétiques
sont aussi orientés defaçon
différente.L’étude de l’effet
Doppler
et de l’aberration dans un milieuréfringent dépend
donc essentiellement dequatre
vecteurs : les deuxchamps
et leursinduc-tions
respectives,
cequi
implique
une certainecomplexité
pour lareprésentation analytique
duphénomène. Rappelons
que dans la théorieciné-matique
de l’effetDoppler,
les résultats finals sontexprimés
par deuxsystèmes d’équations
et non paspar un seul comme
lorsqu’il
s’agit
du vide.Dans le
présent exposé
nous allons trouver, pour des ondes lumineusesplanes
etpolarisées
rectili-gnement,
sepropageant
dans undiélectrique
enmouvement, une
règle
qui
relie directementchaque
cosinus directeur du
champ
électrique
oumagné-tique
au cosinusrespectif
de l’inductioncorres-pondante.
C’est unerègle
de caractèrebiunivoque,
d’un
emploi
immédiat etapplicable
aussi aux vecteurssignalant
la direction et le sens des deux sortes depropagation : propagation
selon la normaleaux ondes et
propagation
selon le rayon.A la fin de cette étude nous tâcherons d’éclaircir la
signification
physique
que l’onpeut
attribuer à larègle
enquestion.
2. Considérons deux
systèmes
d’axesayant
même orientation et une vitesse de translation relative uniforme v, dans la direction commune des x. Lesorigines
0 et 0’ des coordonnéesd’espace.
sontsupposées
coïncider àl’origine
destemps.
Admettons que le
diélectrique homogène,
exempt
de
charges
libres,
soit au repos parrapport
ausystème
XYZ. Pour un observateurappartenant
au
système
XYZ’,
lescomposantes
duchamp
électrique
E’, duchamp
magnétique
H’ et desinductions D’ et B’
peuvent
êtrecalculées,
enfonction des
grandeurs
correspondantes
dans le658
système
XYZ, au moyen deséquations
detrans-formation
déjà
citées(1).
Nous lesécrirons,
en utili-sant lesparamètres
sous la forme suivante :
K
désignant
lepouvoir
inducteurspécifique
et fl laperméabilité magnétique.
I,’indice de réfraction n étant considéré comme
plus’grand
quel’unité,
l’on aura :1
Les coordonnées x, y, z, f dont E et H sont des fonctions, doivent être évidemment soumises à la transformation de Lorentz.
Par la suite, nous
employerons
les lettres 1 et l’ pourdésigner
les deux référentiels.Maintenant, avant de traiter la
question
que nous nous sommesproposée
etqui
concernespécifi-quement
les ondesplanes
etpériodiques,
dans les deuxparagraphes
suivants nous allons tirerquelques
conséquences
deséquations générales
que nousvenons de transcrire.
3. Demandons-nous d’abord si un
champ
élec-tromagnétique
agissant
dans le milieu au repospeut
êtrecomposé
exclusivement, dans le nouveauréférentiel,
de deux inductions, lechamp
électrique
’et lechamp
magnétique,
en vertu de latransfor-mation relativiste, s’annulant donc.
’ ’
L’extinction de ces vecteurs est
représentée par
leséquations
suivantes, écrites selon l’ordrequi
convient dans ce cas-ci : ,Les
formules(4) expriment
unepremière
conditionà
remplir :
leschamps
existants dans le référentiel(1) A. EINSTEIN et J. LAUB, Ueber die elektromagnetischen Grundgleichungen für bewegte Kôrper. Ann. Physik, I908,
26, 532.
Les équations dans le cas du vide avaient été découvertes
auparavant par EINSTEIN. Zur Elektrodinamik bewegter -Kôrper. Ann. Physik, igo5, 17, 891.
primitif
Z,
et donc lesinductions,
doivent êtreperpendiculaires
à la vitesse relative v dessystèmes
coordonnés. Bref, il fautpartir
d’unchamp
électro-magnétique,
périodique
ou non, sepropageant
par ondesplanes
perpendiculaires
à l’axe OX(2).
Nouschoisirons le sens,
positif
de cet axe comme sens depropagation.
Les
équations
(5)
constituentséparément
unsystème;
un autre est formé par leséquations
(6).
Évidemment,
pour ne passupprimer
lechamp
électromagnétique
initial,
il est nécessaired’égaler
à zéro les matrices descoefficients,
toutes les deuxéquivalentes.
On aura ainsic’est-à-dire,
en tenantcompte
des valeurs(1)
etconsidérant la vitesse v comme
positive
ou
Cette formule
exprime
une deuxième condition : leschamps
électrique
etmagnétique
nepeuvent
devenir nuls en 2;’ que si ce référentiel sedéplace
avec une vitesse relativerigoureusement égale
à lavitesse de la lumière dans le milieu
diélectrique.
Enfin,
par substitution de la valeur(7),
leséquations
(5)
et(6)
donnentrespectivement
d’où
C’est donc une dernière condition que le
champ
électrique
et lechamp
megnétique
existants dansle référentiel 1 soient
perpendiculaires
l’un à l’autre.Ils forment avec la vitesse v,
qui indique
la direction depropagation,
un trièdretrirectangle.
4. Le
comportement
desinductions,
sousl’aspect
qui
vient d’être étudié, est toutdifférent,
car on nepeut
pas les fairedisparaître
par unchangement
deréférentiel
quel
que soit lechamp
électromagnétique
originel.
Essayons,
en effet, de rendre nulles les inductionsen
posant :
(1) Le cas d’une double propagation selon les deux sens
659
Si nous voulons éviter que E et H soient
identi-quement
nuls, leséquations
qui
composent
lesys-tème
(9)
d’unepart,
ainsi que celles dusystème (10)
d’autre
part,
doivent satisfaire la condition decompatibilité,
commune à ces deux cas,d’où
ou
On aboutit, en somme, à une condition
impos-sible àremplir,
car on nepeut
pas attribuer à lavitesse relative des référentiels une valeur en
qui
estsupérieure
à la vitesse de la lumière dans le vide.Soulignons
que la subsistance des inductionsaprès
toute transformation relativiste est absolument
indispensable pour
ne paspriver
lechamp
électro-magnétique
de laquantité
de mouvement queH. Poincaré lui
assigne
(3).
Dans un despara-graphes
ultérieurs nous reviendrons sur cettequestion.
5. Ne voulant nous occuper, dès
maintenant,
que de lapropagation
d’ondespériodiques
à traversle
diélectrique
en mouvement, considérons dans leréférentiel initial 2 une onde
lumineuse
plane dont
la normale, située dans le
plan
XY,
forme avecl’axe des x un
angle
cp.Désignant
lescomposantes
sinusoïdales du
champ
électrique
paron aura comme condition de transversalité
et le
champ magnétique s’exprimera
parPar
substitution
de ces valeurs dans les for-mules(2)
et(3)
de transformationrelativiste,
on obtient pour les
champs
et les inductionsagissant
(3) Voir, à ce sujet, P. LANGEVIN, oeuvres Scientifiques (Publications du C. N. R. S.), 1950, p. 407.
dans le nouveau référentiel Il les
expressions
sui-vantes :
’
Fixons notre attention sur cet ensemble de valeurs, en
soulignant que,
commed’habitude,
noussupposons les ondes dans un état momentané de
polarisation rectiligne,
cequi
autorise à écrire :Eo
etHo
étant les secteursamplitudes.
En consé-quence, lescomposantes
deEo peuvent
remplacer
celles de E
quand
on se sert des formulesprécé-dentes pour calculer les
angles
d’orientation deE’,
H’,
D’ et B’.Les
équations (14)
montrent que, si l’on substitue npar 11
dans les cosinus directeurs duchamp
élec-n
trique
enZ’,
on obtient les cosinus directeurscorres-pondants
de l’inductionélectrique
et,évidemment,
on
procèdera
de la même manière pour effectuerl’opération
inverse. Cetterègle
estégalement
appli-cable au
champ
et à l’inductionmagnétiques,
commeil ressort des
équations
(15).
Le vecteur S’ de
Poynting
et celui G’qui
repré-sente, par unité de
volume,
laquantité
’demou-vement du
champ électromagnétique,
obéissentaussi,
quant
à leurs orientations dansl’espace,
à larègle
établie. Ilsproviennent,
en effet, desproduits
vectoriels des deux
champs
ou des deuxinductions,
d’après
les formules660
Finalement, pour
ne pasperdre
de vuel’aspect
cinématique,
il convientd’indiquer
que
la vitesse depropagation
des ondes et la vitesse radiale ont aussi des orientations reliées par larègle
enques-tion
(4).
Ce sont, en effet, des vecteursqui
coïncidentrespectivement
avec G’ et S’ à la fois en direction et en sens.Les
composantes
vectorielles de S’ et G’ s’ob-tiennent facilement en substituant les valeurs(14)
et
(15)
dans lesexpressions
(17)
et en tenantcompte
de la condition(12)
de transversalité. On a ainsi6. La
conclusion
àlaquelle
nous sommes parvenuset
qui
s’appuie
sur la substitution de l’indice deréfraction n par sa valeur
inverse - ?
peut
être aussin
énoncée en disant que, dans les formules
qui
donnentles
angles
deposition
des vecteurs E’,H’,
S’ etUn,
la vitesse u de la lumière dans le
diélectrique joue
C2
exactement le même rôle que la
vitesse -
dans lesu
formules définissant l’orientation des vecteurs
D’,
B’,
G’ etuN
(b).
-L’intervention de ces deux vitesses dans la
propa-gation
durayonnement
à travers un milieuréfringent
est un résultatthéorique déjà
connu, mais nous le retrouvons ici par unprocédé
différent de ceuxutilisés
jusqu’à
présent.
Avant l’introduction dans
l’Optique
duconcept
de « vitesse dephase
», c’est-à-direquand
des vitessesordinaires,
ayant
c pourlimite,
étaient les seulesemployées,
on se trouva devant la difficultésuivante,
inattendue,
lorsque
l’on étudia l’effetDoppler
etl’aberration dans un milieu
transparent.
Soumettant la variable
lumineuse
à latransfor-.
’
(4) La règle n’est pas directement applicable aux grandeurs
des vitesses [form. (21) et (24)], mais on peut la maintenir en remplaçant l’une ou l’autre des vitesses u’ (normale ou
2 z
radiale)
par c’ -
La vitesse auxiliaire w’ que l’on fait ainsii;
intervenir est supérieure à c et doit être, en quelque sorte,
considérée comme une « vitesse de phase ».
(5)
u’
etu’
désignent les vitesses radiale et normale. Nous renoncerons par la suite à l’emploi de subindices.mation de’
Lorentz,
onétait
arrivé aux relationsbien connues
mais,
en désaccord avec cerésultat,
l’application
des formules relativistes de lacomposition
devitessesdonnait les valeurs
C’est Laue
(6)
qui
donna uneexplication
satisfai-sante à cette difficulté : les formules
(20)
et(21)
correspondent
à lapropagation
des ondes selon leurnormale,
tandis que lapropagation
del’énergie
obéit aux formules
(23)
et(24), u’,
en ce cas, étant une « vitesse radiale »qui
ressemble à celle dont ilest
question
dans la théorie des milieuxbiréfringents.
Actuellement,
il n’estplus
nécessaire de traiterpar des
procédés
différents les deuxaspects
dupro-blème. En effet, le
long
d’un rayon de lumière sepropageant
dans undiélectrique
au repos, il fauttenir
compte
de l’existence de deux vitesses,1
dont l’utilisation successive
permet
d’obtenir lesformules
(20)
et(21)
et aussi, sanschangement
deméthode, les
(23)
et(24).
Le théorème de la
composition
de vitesses, quenous écrirons sous la forme
conduit,
parexemple,
aux formules de la vitesse radialequand
onl’applique
à la transformationde u;
mais,
aucontraire,
il donne les formules depropagation
selon la normale aux ondeslorsque
l’on soumet à transformation la vitesse dephase,
decomposantes
On voit aisément que, dans ce dernier cas, w’ > c
et, en
conséquence,
pourpouvoir
obtenir lagrandeur
de la vitesse normale u’ et son
angle
d’incliiiaisoin y’
au moyen dusystème d’équations
(25),
il estindis-pensable
(7 )
de poser1
Quant
à la méthode basée sur la transformationde Lorentz, limitons-nous à
indiquer
brièvement
quel’on
peut
même l’utiliser pour trouver les formulesde la vitesse
radiale,
mais à condition d’écrire laphase
sous la forme7. Parmi les facteurs
qui
figurent
souvenudans
les
formules, vectorielles
ouscalaires,
ayant
trait àla
propagation
des ondes dans le référentiell,
il y en a
deux,
qui
offrent un intérêtspécial.
L’annulation du
premier
de ces facteurs seraitabsolument
indispensable,
selon lesexpressions (19),
pour annuler le vecteur G’.
Mais,
enposant
c’est-à-dire
on trouve pour la vitesse relative des référentiels une valeur
qui
dépasse
la vitesse c(8).
@
Én
somme,d’après
la belle découverte de H.Poin-caré, il ne
peut
exister unchamp
électromagnétique
sans être doué d’une certaine
quantité
demouve-ment. En
conséquence,
quel
que soit lechamp
primitif,
aucune transformation relativiste nepermet
de faire
disparaître
cettequantité.
Nous écrironsdonc .
Cette formule
implique,
enparticulier,
que nil’induction
électrique
ni l’inductionmagnétique
nepeuvent jamais
devenir nulles à la suite d’unchan-gement
de référentiel. C’est unepropriété
remar-quable,
et nous avons tenu pour cela à ladémontrer,
dans leparagraphe 4,
par unprocédé
direct et très (7) Sur la transformation relativiste de vitesses supérieuresà celle de la lumière dans le vide, voir H. A. LORENTZ, Problems of modern Physics, 1927, p. 171.
(1) Voir paragraphe 4.
simple,
basé sur leséquations
générales
de transfor-mation duchamp.
Évidemment
les deux inductionsforment,
dansle nouveau
système
1’,
unangle
toujours
différentde zéro et de 1!.
Occupons-nous
maintenant de l’autre facteur(27).
Sous certaines conditions, que nous examinerons
plus
tard(voir § 8),
ilpeut
seproduire
queEn ce
cas,
selon les formules(22),
(21)
et(18),
lafréquence
v’,
la vitesse normale u’ et le vecteur dePoynting
S’ s’annulent, de même que la densitéde
l’énergie
duchamp
électromagnétique,
qui
a pourexpression
Il
s’agit
d’une immobilisation des ondes par suite d’unchangement
d’axes(9).
Mais,
comme nous l’avonsdéjà
dit,
cetteimmo-bilisation
exige
le concours de circonstancesadé-quates.
8. En
partant
del’équation (28),
on trouve que deux conditions sontindispensables pour
arrêter le _mouvement des ondes par rapport à certains
obser-vateurs :
110
Étant
.on a
Une
des
conditions àremplir
est donc que la vitesserelative
desréférentiels,
restantplus petite
que c,soit
supérieure,
ouégale,
à la vitesse de la lumièredans le
diélectrique employé;
20
L’équation
(28)
s’écrit aussi sous la formeMais,
comme v c, il résulte quesoit
En
définitive,
il n’estpossible
d’immobiliser quedes ondes
planes
dont la direction depropagation
(’) A. Battig a fait ressortir l’intérêt que présente la
662
(système Y.)
forme avec l’axe OY unangle plus
grand
quel’angle
limite deréfraction,
défini pour une surfaceséparant
lediélectrique
du vide.Il est très
indiqué
desouligner
quel’angle
limite établi par l’Optiqueclassique
apparaît
ici enjouant
un rôle concret dans un
problème qui
concerne unseul et
unique
milieuréfringent,
lediélectrique
utiliséayant
été considéré comme d’extension indéfinie.9. Outre les vecteurs
G’,
D’ etB’,
lalongueur
d’onde a’ n’est passusceptible
d’annulationquel
que soit la transformation relativiste. En effet(u’
désignant
àprésent
la vitessenormale),
k’ apour valeur,
d’après
les formules(21)
et(22),
Il est facile de
préciser
lasignification qui
doitêtre attribuée à la
longueur
d’onde dans le cassingulier
où l’on soit parvenu à l’immobilisation. Dans de telles circonstances, étant u’ = o et v’ z o,on trouve
pour
la valeurparticulière
Or,
l’annulation de lafréquence implique la
sup-pression
du terme en t dans les variables sinusoï-dalesreprésentatives
des ondes. Ces variables ontdonc
simplement,
dans le nouveausystème
d’axes,
une distribution
périodique
parplans
perpendiculaires
à la direction définie par les formulesqui proviennent
de l’éliminationdey
entre leséquations
(20)
et(28).
Lalongueur
d’onde(30)
est
précisément
lapériode spatiale
de ladistri-bution
statique
dont nous venons deparler.
Donnons,
enfin,quelques renseignements
concer-nant les orientations des vecteurs fondamentaux
.
dans le cas
exceptionnel
où nous nous sommesplacés.
Les
composantes
deschamps
électrique
etmagné-tique
s’obtiennent àpartir
de leursexpressions
générales
(14)
et(15)
en faisantcos cp = ban.
On trouve alorsDe l’examen de ces
formules,
ainsi que desfor-mules
(31),
il s’ensuit que les deuxchamps
ontmaintenant une même direction et un même sens et
qu’ils
sont en coïncidence avec la normale auxpseudo-ondes.
L’induction
électrique
et l’inductionmagnétique
conservent forcément la
propriété
d’être transver-sales. Mais, commetoujours,
par l’effet dumou-vement elles cessent d’être
perpendiculaires
l’une àl’autre,
saufquand y
= o.Quant
à la vitesseradiale,
elle ne devienttrans-versale que dans le cas
critique
icianalysé,
et arriveà l’annulation
(1°) lorsque
= o, a = bn.Soulignons
que les résultats(31)
et(32)
repré-sentent desgrandeurs
réelles,
car nous avonsmontré
(§8) que
est une des conditions
préalables
pour arrêter lemouvement des ondes.
Manuscrit reçu le 2 1 juin r g53.
(10) Selon le théorème connu, la projection de la vitesse
radiale sur la perpendiculaire aux ondes est égale à la vitesse
normale. L’annulation de celle-ci entratne donc la
