HAL Id: jpa-00233925
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Étude à la cuve électrolytique de faisceaux électroniques
compte tenu de la charge d’espace - (Appendice :
Généralisation de la loi de Langmuir)
G. Goudet, R. Musson-Genon
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
-LE
RADIUM
ÉTUDE
A LA CUVEÉLECTROLYTIQUE
DE FAISCEAUXÉLECTRONIQUES
COMPTE TENU DE LA CHARGE D’ESPACE(Appendice :
Généralisation de la loi deLangmuir.)
Par MM. G. GOUDET et R. MUSSON-GENON.Laboratoires L. M. T., Paris.
Sommaire. 2014 Dans
un électrolyte et pour un régime électrique permanent, le potentiel U obéit à l’équa-tion de Laplace 0394 U = o. Il en est de même à l’intérieur d’un tube à vide, si l’on peut négliger la charge d’espace.
Il est classique d’utiliser ce rapprochement pour étudier sur un modèle agrandi, à la cuve
électro-lytique, la distribution de potentiel qui s’établit dans un tube à vide. Malheureusement, dans beaucoup de cas intéressants, cette méthode ne constitue qu’une première approximation assez grossière, l’effet de charge d’espace ayant une grande importance. L’équation du potentiel dans le tube est alors
l’équa-tion de Poisson 0394U + 4 03C003C1 = o.
Nous développons dans l’article ci-dessous une méthode d’approximations successives qui permet
d’utiliser la cuve électrolytique pour représenter la distribution de potentiel dans un tube à vide, en
tenant compte de la charge d’espace. Les trajectoires électroniques peuvent être alors obtenues avec une
précision accrue.
La méthode exposée pourrait d’ailleurs être appliquée à d’autres problèmes régis par une équation du même type que l’équation de Poisson.
N° JUILLET 19>5.
1. Introduction. - Il
est
classique
d’employer
la cuve
électrolytique
pour déterminer ladistri-bution de
potentiel produite
par un ensembled’élec-trodes,
s’il n’existe pas decharges spatiales,
ou sileur effet
peut
êtrenégligé.
Cette dernière condition n’est
généralement
pas satisfaite dans les tubes à vide. C’estpourquoi
nous nous proposons d’introduire dans la méthodeprécé-dente des corrections
qui
permettent
de tenircompte
de l’influence de la
charge d’espace.
2.
Rappel
des résultatsclassiques.
-- Dansle
vide,
en l’absence decharges spatiales,
lepotentiel
électrostatique
U satisfait àl’équation
deLaplace
~ U = o.
Il en est de même dans un
électrolyte homogène
en
régime permanent.
Un ensemble d’électrodes
portées
à despotentiels
fixes donnés fournit donc la même distribution de
potentiel lorsqu’il
estplacé
dans le vide ou dans unélectrolyte
homogène
indéfini.De
plus,
le caractèrehomogène
del’équation
deLaplace
permet
de substituer ausystème
réel toutsystème
homothétique,
et par ailleurs demultiplier
par un même facteur toutes les tensions.
Pratiquement,
il estimpossible
d’utiliser unélectrolyte
sinonindéfini,
du moins danslequel
lesystème
d’électrodes seraitlargement immergé.
En
effet,
la détermination des surfaceséquipo-tentielles s’effectue
généralement
à l’aide d’unesonde;
pour que celle-cin’apporte
pas depertur-bation
sensible,
on évite de lui faire débiter ducourant
grâce
à une méthode de zéro; deplus
onse borne à faire des mesures à la surface libre du
liquide.
Il est donc nécessaire que cette surface constitue une zone de mesure intéressante.Or,
puisqu’elle
sépare
l’électrolyte
d’un milieu+
isolant,
le vecteur densité de courant i et par suite-+
z
le
champ électrique E
lui esttangent
enchaque
point.
L’examen de cette condition aux limites montre
que la distribution de
potentiel
obtenue estidentique
à celle que
produit
lesystème
suivant : Achaque
électrode est associée une électrode
symétrique
etportée
au mêmepotentiel (fit.
1)
et l’ensemble estplongé
dans unélectrolyte homogène
indéfini.Fiv. 1.
Cette
propriété
restreintl’emploi
de la méthodeau cas où l’ensemble étudié
possède
unplan
desymétrie :
on se borne à matérialiser et àplonger
dans
l’électrolyte
la moitiédu
système
situé d’un côté de ceplan
que l’on fait coïncider avec la surface-
libre du
liquide.
Onpeut
alors déterminer à l’aide. de la sonde les
lignes équipotentielles
sur cettesurface seulement. Les résultats obtenus
four-nissent
cependant
une connaissancecomplète
de ladistribution étudiée dans les deux cas suivants :
Le
système
possède
un axe derévolution;
Les électrodes sont des surfaces
cylindriques
àgénératrices parallèles.
io
Système
de révolution. - Unesimplification
supplémentaire
peut
êtreintroduite,
grâce
auxconsidérations de
symétrie qui
viennent d’êtreexposées.
~
Fig. 2.
lOn
se borne à matérialiser unepartie
dusystème
limité par deux
plans
méridiens dont l’un coïncideavec la surface libre du
liquide
et l’autre est constitué par un fond isolant.’
i
- 12°
Électrodes
cylindriques
àgénératrices paraltéles.
- Onpeut
alors limiter lesystème
par deuxplans
de section droite : la surface du
liquide
et un fondisolant
parallèle.
’
Fig. 3.
’
3.
Représentation
de l’effet decharge d’espace.
1 o
Système -
de révolution. - Il est toutindiqué
dans ce cas d’utiliser les coordonnéescylindriques
r,0,
z, l’axe des z coïncidant avec l’axe de révolution.Supposons
que les électrons soient émis par unecathode avec une vitesse initiale
négligeable
etchoisissons comme
potentiel
zéro celui de cettecathode. Soient
Ua
lepotentiel
et - p la densité decharge
en unpoint
M du tube à vide étudié. Cesgrandeurs
sont liées parl’équation
Au
point
M depotentiel Uo positif
peuvent
passerplusieurs
trajectoires
électroniques
il 2, 3, ... ;elles
correspondent
à des densités decharge
-pi, - P2, - P3’ ..., et à des densités de courant de
valeurs
arithmétiques
i,,
Í2,
i3 respectivement;
maistous les électrons ont en M la même vitesse v définie
par
(-~-e
et m étantrespectivement
lacharge
et la massede
l’électron).
On en déduitLa densité de
charge
totale - p estégale
à -(Pl
+ P2 + P3z-...). Désignons
par i la sommearithmétique
De ce
qui précède
résulte la relationEn éliminant p et ç, entre les
équations (1), (2)
et
(3),
nous obtenons. Ou en
cylin-driques
Dans la cuve
électrolytique,
lepotentiel
Uests
au contraire défini parl’équation
Ou en coordonnées
cylindriques
Les
équations (5)
et(6)
étantdifférentes,
il n’est paspossible
dereproduire
dansl’électrolyte
la distributionspatiale U o.
Nous allonscependant
montrer que l’on
peut
déterminer des électrodes etun relief du fond de la cuve de manière que la
distri-bution
Uo,
ou,plus généralement,
une distributionquelconque
depotentiel
donnée apriori,
se trouveréalisée à la surface libre du
liquide.
Choisissons cette surface comme
plan
decoor-données xOz de
façon
que sonéquation
soite==o
et supposons
qu’on
ait su résoudre leproblème posé.
Pour des valeurs de 0 assez
petites
et sous réserve1 - ’ . d,l U
-4-1 1
que les dérivées successives iJ8n
existent,
lepotentiel
I7peut
êtrereprésenté
par undévelop-pement
en série en fonction de 0 dont le termeconstant traduit
précisément
la distribution super-ficielledonnée,
soitOn en déduit
et
En
portant
lesdéveloppements
(7)
et(9)
dansl’équation
deLaplace
(6),
nous obtenonsD’où,
en annulant chacun des coefficientsde 0
D’autre
part,
lechamp électrique
à la surface libre del’électrolyte
étanttangent
àcelle-ci,
lacomposante
tangentielle2013 - est
nulle pour 0 = o.r ()0
L’équation (8)
permet
d’en déduire ~q=0.Il résulte alors de
l’équation
(11)
On démontre ainsi de
proche
enproche
que tousles coefficients Un d’indice
impair
sont nuls. Ledéveloppement (7)
se réduit donc àU= Uo+ U"!. 62 +
U~~B’~+...-+-
U~j,6~n+,... (13)
Ua
étant connu,U2
est déterminé parl’équa-
*
tion
(10);
et ainsi de suite. Lescomposantes
duchamp
électrique
en unpoint
sont :La
présence
du fond de la cuveimpose
unecondi-tion aux limites
qui
diffère suivant la nature decelui-ci.
- A. Fond isolant. - Soit d = 0
(r, z),
l’équation
du fond de la cuve; si le fond estisolant,
sa surfaceest en chacun de ses
points
tangente
auchamp
en cepoint.
Lesparamètres
directeurs de la normaleau fond étant
de
--
1
d6
Cette condition
s’exprime
au fond étant
d r
r
d -.
cettecondition s’exprime
r r s ’
188
ou,
compte
tenu de(12),
Désignons
par.le
champ
électrique
à la surface duliquide,
etposons
L’équation (18)
devientDans toutes les
régions
où lepotentiel
peut
effec-tivement êtrereprésenté
par undéveloppement
Fig. 4.
du
type
(7),
il estpossible,
enprenant
0 suffisammentpetit,
de réduire chacun des membres del’équa-tion
(19)
à sonpremier
terme, d’oùSoit s l’arc d’une
ligne
dechamp
de la surfacedu
liquide
compris
entre uneorigine
arbitraireMa
et le
point
courant M.L’équation (20)
estéquivalente
àEo
étant la valeuralgébrique
duchamp
compté
positive
dans le sens des scroissants,
ouNous avons ainsi trouvé
l’équation intrinsèque
du fond,
exprimée
à l’aide de données relatives à lasurface du
liquide.
Enparticulier,
s’ils’agit
de-
reproduire
la distribution de
potentiel
dans le.
faisceau
électronique
étudié,
l’équation (21)
s’écrit,
compte
tenu de la relation(4),
déduite del’équation
de PoissonL’équation (21)
et(22)
définit enchaque
point
l’angle
Q à une constantemultiplicative près;
celle-cise trouve définie si l’on se donne arbitrairement la valeur de 0 en un
point
dechaque ligne
dechamp.
B. Fondin finiment
conducteur. - La conditionaux limites
imposée
estÜ = const.
Compte
tenu dudéveloppement (13)
limité à sesdeux
premiers
termes et des relations(12), l’équation
du fond estEn
particulier
pour le faisceauélectronique
obéissant à la relation(4), l’équation précédente
devientEnfin,
l’équation (13)
montre que les électrodespeuvent,
pour des valeurs de 0 suffisammentfaibles,
être réduites à des
portions
decylindres
àgénéra-trices
parallèles
àOy.
Elles ont pour trace sur leplan
x 0 z les tracescorrespondant
aux électrodesdans le faisceau
électronique
et sontportées
auxpotentiels respectifs
de celles-ci ou à despotentiels
proportionnels.
En
résumé,
pour obtenir à la surface duliquide
une distribution
Uo
donnée,
il est nécessaire que lefond,
lesélectrodes,
lestensions,
soient définis commeil vient d’être
indiqué.
Réciproquement,
si nous modelons le fond de la cuveélectrolytique
suivant un relief défini parl’une des
équations (21)
ou(23),
et si nousdisposons
les électrodes
précédentes portées
auxpotentiels
appropriés,
nous obtenons effectivement la distri-butionsuperficielle Uo
cherchée. C’est là uneappli-cation
classique
du théorème de Green.Supposons
que, les conditionsprécédentes
étantréalisées,
nous obtenions dansl’électrolyte
unedistribution de
potentiel
U’(r,
(i,
z).
Celle-ci satisfait à
l’équation
deLaplace
3,U’= 0
et aux conditions aux limites sur chacune des électrodes
U’ û const.,
l’élec-trolyte,
lechamp électrique
est
tangent
à celle-ci.Il en résulte que le
potentiel
satisfait aussi à
l’équation
deLaplace,
etqu’il
estnul sur les électrodes.
Le
champ électrique
correspondant
est en
chaque point
de Stangent
à cette surface.-+
Dans ces conditions le
champ
F est nul en tout, -+
point
del’électrolyte.
Eneffet,
le flux du vecteur VF~
Fiâ. 5.
à travers la surface fermée
qui
limitel’électrolyte
est nul
{ f g. 5).
(Sur
lesparties
conductrices 1 de cettesurface,
*"
V est
nul;
sur lesparties
isolantes,
F esttangent.)
D’après
le théorème deGreen,
nous pouvons doncécrire
l’intégrale
étant étendue à tout le volume T del’électrolyte.
-On en déduit ,
La seconde
intégrale
est nulle par suite del’équa-tion de
Laplace
La relation-
(25)
s’écrit doncOn en déduit
en tout
point
du volume considéré. Lepotentiel
V = U’- U a donc une valeur constante
qui
nepeut
être que zéro par suite des conditions auxlimites.
La distribution U’ est donc
identique
à ladistri-bution U et fournit en
particulier,
à la surface duliquide,
la distributionUo
cherchée.20
Électrodes
cylindriques
àgénératrices parallèles.
- Il est
avantageux
de choisir dans ce cas les coordonnées cartésiennesrectangulaires
xyz(fin. 3).
A. Fond isolant. - Le
calcul,
mené defaçon
analogue,
conduit àremplacer
la formule(19)
relative aux coordonnéescylindriques
parOn en déduit comme
précédemment,
en se limitant auxpremiers
termes,l’équation
différentiellequi
définit le fond isolant
B. Fond conducteur. --
L’équation (23) qui
définit le fond conducteur estremplacée
par4. Examen
particulier
de la méthode auvoisinage
d’une cathode. - La méthodeprécé-dente repose essentiellement sur la
possibilité
dedévelopper
U en série entière parrapport
à fi(ou
àz).
Or cettepossibilité
n’existe pas auvoisinage
d’une cathode émettant des électrons sans vitesse
initiale;
eneffet,
d’après
la relation.
i
p==-,
B/
la densité de
charge p
est infinie. Il en résulte quele
laplacien
 U 0
est infini.Si,
d’autrepart,
il existe dans leliquide
une distribution depotentiel
Us’iden-tifiant à
Uo
à la surfacelibre,
sonlaplacien
a pourexpression
auvoisinage
de celle-ciAU 0
étantinfini,
il en est de même decoordonnées
cartésiennes .
Notre méthode de
développement
en série n’estdonc pas
applicable
auvoisinage
d’une cathode.Il est donc nécessaire de trouver dans cette
région
un autre
procédé
pour définir dansl’électrolyte
les conditions aux limites
appropriées.
Il nous faut pour cela
préciser
lespropriétés
èmissives de la cathode. Nous nous bornerons à
190
limité par la
charge d’espace;
c’est là un cas idéaldont on
s’éloigne plus
ou moins enpratique,
maisqui
constitue unepremière approximation
commodepour
représenter
lecomportement
des cathodes àoxydes.
Il est caractérisé par le fait que le
champ
élec-trique
est nul en toutpoint
infiniment voisin de lacathode.
Dans ces
conditions,
il est bien connu que, si lacathode est
plane,
illimitée,
et située en face d’uneanode
plane,
illimitée etparallèle,
la distribution depotentiel
est de la formek étant
indépendant
de z.~
Fig. 6.
La distribution de
potentiel
Uo
dans leplan
incident xOz nedépend
plus
de x; nous sommesainsi ramenés à un
problème classique :
trouver unedistribution
spatiale harmonique
U satisfaisant dans leplan
xOz aux conditions suivantes :U s’identifie à une fonction
Ua
=f (z)
indépen-dante de x;Le
champ
électrique
correspondant
à U est contenu dans ceplan.
Il est aisé de vérifier
(1)
que lapartie
réelle U dela fonction
satisfait à ces conditions :
10 On voit par
simple
dérivation queAfest
nul;
on en déduit aussitôt
2° D’autre
part,
en deuxpoints symétriques
parrapport
àxOz,
les valeurs def
sontimaginaires
conjuguées,
les valeurs de U sont doncégales.
La(1) JEANS, The Mathematical Theory of Electricily and
Magnetism, 5e s
édition, p. 261; PIERCE, Journal of applied Physics, août ig4o, p. 549.
distribution de
potentiel
~I ainsi trouvée étantsymé-trique
parrapport
àxOz,
il en résulte que lechamp
électrique
en unpoint
de ceplan
est effectivementcontenu dans ce
plan (sous
réservequ’il
soitcontinu).
.
Fig. 7.
Dans le
problème particulier qui
nouspréoccupe,
la distribution U est donc définie par
ou en coordonnées
polaires
R,
cp dans leplan !/0~
(fig. 7)
’
Pour assurer l’uniformité de U et sa continuité à travers le demi-axe
Oz,
on choisira ladétermi-nation
de:9
comprise
entre - x et+
7r.Fig.8.
Nous obtenons ainsi une distribution
satisfaisant,
pour toute valeur
positive
de z, aux conditionsimposées
(fig.
8).
On remarque en
particulier
quel’équipotentielle
zéro est constituée par les deux demi-droites
-On
peut
aisément déterminer laligne
dechamp
Sur la
figure
8 on amarqué
en traits discontinus leslignes
dechamp;
cellesqui correspondent
à des valeurspositives
de y sont en mêmetemps
ligne
de courant dans la cuveélectrolytique.
Il est
possible
degénéraliser
la méthodeprécé-dente au cas d’une cathode
plane
associée à unensemble d’électrodes
quelconques (voir
Appendice).
Sur
chaque
normale à lacathode,
lepotentiel
peut
êtrereprésenté
par undéveloppement
en série de z,de la forme
Dans cette formule
io représente
la densité de courant extraite de la cathode aupoint
Mo
de la normale considérée.io,
oc,~,
~,r, ...dépendent
de laposition
deM.
Le domaine de convergence de cedéveloppement
varie évidemment danschaque
casparticulier.
Quoi
qu’il
ensoit’
dans levoisinage
immédiat de la cathode et pourchaque
élément decelle-ci,
la distribution depotentiel peut
être sensi-blementreprésentée
par la loi deLangmuir
avec une densité decourant i.
variable d’un élément au voisin.5.
Application
à la cuveélectrolytique.
- Ilrésulte de ce
qui précède
que nous obtiendrons unereprésentation
correcte de la distribution depoten-tiel
Uo
auvoisinage
d’une cathodeplane
endisposant
dans la cuve
électrolytique
les éléments suivants : Uneparoi plane parfaitement
conductrice,
inclinéeà 3 ,
matérialisant unepartie
del’équipotentielle
8
zéro;
Un fond isolant matérialisant des
lignes
dechamp
de lafigure
8.Naturellement,
àpartir
d’une certaine cote zoqui
dépend
du casétudié,
la loi deLangmuir
nepeut
plus
être considérée comme satisfaisante etle
profil
du fond ne se trouveplus
défini par laméthode
précédente.
On devra choisir laprofondeur
des
lignes
dechamp
utilisée dans cetteméthode,
assez faible pour
qu’à’une
cote z’ 0
inférieure à z~on se trouve
déjà
dans les conditionsd’applications
de la méthodegénérale exposée
auparagraphe
3.Or,
d’après
cetteméthode,
il est clair que la distribution depotentiel
et dechamp
enpoint (xyz)
del’élec-trolyte
se trouve définie sansambiguïté
(si
y estassez
petit)
par la connaissance de la distributionsuperficielle
auvoisinage
duplan
x 0 z.Il en résulte que dans la
région
comprise
entreles
cotes z~
et zo
la distribution depotentiel
et dechamp
donnée par la méthode de Pierce s’identifienécessairement aux distributions obtenues par notre
méthode
générale,
on en déduit la continuité desdistributions obtenues de
part
et d’autre de toutplan
de cotecomprise
entre zo etz;,,
enparticulier,
les
profils
du fond isolant depart
et d’autre de ceplan
se raccordenttangentiellement.
6. Méthode
d’application
des résultatsprécé-dents. - Les résultats
qui
viennent d’être démontréspermettent
de résoudre leproblème
électronique
initialementposé,
grâce
à une méthoded’approxi-mations successives.
1 ~ On
dispose
dans la cuveélectrolytique
des électrodesmétalliques
représentant,
à une échelleFig. 9.
agrandie,
les électrodesréelles,
àl’exception
de lapartie
cathodique susceptible
d’émettre desélectrons;
à celle-ci on fait
correspondre
une électrodeayant
pour trace sur la surface du
liquide
sa propre trace,mais inclinée
à 3 -:
sur l’horizontale(fig. g).
On examine ensuite dans la cuve si
l’équipo-tentielle zéro
possède
des branches distinctes de laFiv. 10.
cathode et on les détermine éventuellement de
façon
à définir en
première approximation
lesparties
émissives de la cathode
( fcg. 10);
20 On retouche la
région cathodique
en ne laissantdes électrodes inclinées
à 1 £
que devant lesparties
émissives de la cathodeprécédemment
définies,
les autres
parties
étantreprésentées
par des électrodes verticales( f g.
g).
On effectue alors le tracé
classique
deslignes
équipotentielles.
On en déduit des
lignes
dechamp
et destrajec-toires
électroniques.
Onpeut
alors calculer lavariation relative de la densité de courant le
long
deces dernières. Pour la connaître en valeur
absolue,
192
correspondants
de la cathode. Onpeut
déduire celle-ci de la variation dupotentiel
auvoisinage
de la
cathode,
lelong
d’uneparallèle
àOz,
parFig. 1 1.
application
de la loi limite deLangmuir
(voir
Appen-dice).
Il est
commode,
à ceteffet,
de tracer la courbeg
représentative
durapport
ù
en f onction de z. Ondétermine par
extrapolation
son ordonnée àl’origine.
Flb. I 2.
L’ensemble des
opérations précédentes
fournit donc des valeursapprochées
dupotentiel Uo,
du- ::;..
champ Eo
et de la densité de courant 1 en un nombre depoints
aussigrand
qu’on
le désire.On utilise ces valeurs pour calculer un relief de
fond de cuve suivant une des formules
(22), (24),
Fig. ~ 3. t.
(27)
ou(28),
et auvoisinage
de la cathode on utilise un relief déduit de lafigure
8.3o On
dispose
dans la cuve le reliefprécédent.
On recommence le tracé des
lignes équipotentielles
et l’on obtient des valeurs améliorées de
v,
Eo
et de i.Fig. ~ 4.
Ces valeurs conduisent elles-mêmes à une déli-mitation
plus précise
desparties
émissives de la cathode et à un relief de deuxièmeapproximation;
correspondant
à deuxapproximations
consécutivessoient
identiques
à laprécision
cherchée.7.
Étude
expérimentale d’un
casparticulier.
- Nous nous
proposons maintenant
d’éprouver
l’efficacité de notre méthode
d’approximations
succes-sives en
l’appliquant
à un cas où le résultat estparfaitement
connud’avance,
afin depouvoir
contrôler le résultat obtenu.
C’est le cas,
déjà
cité,
de la distribution depotentiel
entre une cathode et une anodeplanes,
illimitéeset
parallèles,
l’émissioncathodique
obéissant à la loi deLangmuir.
Ici nous obtiendrions évidemmentle résultat en
appliquant
la méthodeparticulière
duparagraphe
4,
non seulement auvoisinage
de lacathode,
mais sur toute l’étendue de la cuve.Cependant,
notre but étant de montrerl’appli-cation de la méthode
générale,
nous renoncerons àcette facilité et ne retiendrons les résultats du
paragraphe
4 que pour des distances de la cathode inférieure à2
de la distance entre les électrodes.100
L’expérience
a été réalisée avec des électrodesde nickel et un fond en aubanite
(tétrachloro-naphtalène).
Les résultats successifs sont
représentés
par les courbes desfigures
II, 12, 13,i4.
Pour en
permettre
lacomparaison
avec la courbethéorique,
on a tracé cette dernière sur chacunedes
figures.
Deplus,
on areprésenté
au-dessus dechaque
courbe le fondqui
lui a donné naissance etindiqué
la densité decourant io qui
en a été déduite. La densitéthéorique,
déduite de la loi deLang-muir est
Manuscrit reçu le 28 avril 1945.
APPENDICE.
Généralisation de la loi de
Langmuir.
Nous nous proposons de déterminer la
distri-bution de
potentiel
U auvoisinage
d’une cathodeplane
dans le cas où le courant est limité par lacharge d’espace.
La méthode
développée ci-après
permet
de traiterle
problème
dans le cas où cette cathode est associée à des électrodesquelconques.
~
Fi g. 15.
Cependant,
pour lasimplicité
del’écriture,
nousnous bornerons à
expliciter
le calcul dans le cas,envisagé
plus
haut,
où les électrodes sont des surfacescylindriques
àgénératrices
parallèles
àOy
( fig.
3).
Nous sommes alors ramenés à un
problème
à deuxdimensions,
dans leplan
xOz(fig.
15).
Admettons que par un
point
M,,,,,
duplan
nepasse
qu’une trajectoire électronique.
Soient
Mo(zoXo)
lepoint
où celle-ciquitte
la cathodeet t la durée de transit
correspondante.
Nouspouvons définir la
position
deM,
soit par les variables zx, soit par les variablesfxo.
Le
premier couple
de variables est toutdésigné
pour l’écriture deséquations électriques
dupro-blème ;
le deuxième estplus
avantageux
pourl’écriture des
équations mécaniques.
Au
total,
ce dernier nous a semblé leplus
commode et c’est celui que nous avons choisi.Nous déterminerons
donc,
en fonction de 1 et x.,les
grandeurs
suivantes :-- ,
Le vecteur OM
qui
définit laposition
de M.+
La vitesse V des électrons.
+
Le
champ électrique
- E.La densité de
charges
-p. Le
potentiel
U.Nous calculerons d’abord les
quatre
premières
à194
Nous
obtiendrons
alorsU,
parexemple,
à l’aide du théorème des forces vivesPour
intégrer
ceséquations
auvoisinage
de la
-cathode,
essayons dereprésenter
OM par undéve-loppement
en série entièrede t,
les coefficients étantfonctions de xo.
,
-+
L’équation (30)
fournit lescomposantes
de VL’équation (29)
permet
decalculer e-
E
m
+
Dans nos
hypothèses
E est nulpour 1
= o.D’où
b=o,
l=o.De
plus,
leslignes
dechamp
doivent êtreperpen-diculaires à la
cathode,
sauf éventuellement enquelques points
isolés,
tels que lespoints
A et B de lafigure 10.
On en déduitn=o.
Enfin,
les électronsquittent
la cathode sans vitesseinitiale. D’où
a=o, k = o.
Compte
tenu de cessimplifications,
lesdévelop-pements
précédents
s’écriventD’autre
part,
faisonsapparaître
dansl’expression
- +
de div E les dérivées de E par
rapport
à t et à x..L’équation
(31)
s’écritLes dérivées de E= et Ex
peuvent
êtreimmédia-tement déduites de
(38)
et(39);
pour calculerd’
(
dz )
en fonction
de xo
etde f,
dif’férentions leséqua-tions
(34)
et(35)
et écrivons que dx =o,
(le
signe ’
désignant
une dérivée parrapport
àxo)
On en déduit
D’où
Désignons
par D le dénominateur de cetteexpression.
On obtient de même
L’expression
de D ordonnée en 1 estL’équation
(31)
nouspermet
maintenant decalculer
D’où l’on
tire,
pardivision,
+
nous obtenons les
composantes
de p VPortons enfin ces
expressions
dansl’équation (32)
transformée comme nous l’avons fait pour
(31),
nous obtenons :Ou,
en ordonnant,On en déduit
D’où finalement
L’équation (33)
nouspermet
alors de calculer Uv se trouve ainsi
exprimé
par undéveloppement
en série en t dont les coefficients
dépendent
de xo.Le coefficient c a une
signification
simple.
Lesexpressions
(46)
et(47)
montrent en effet que ladensité de courant
au
point
xo de la cathode est reliée à c parPour retrouver une
expression analogue
à laloi de
Langmuir, exprimons
enfin U à l’aide des variablesxo et
z. Il suffit d’utiliser ledévelop-pement
(48)
pour obtenirEn
portant
dans(52)
et en tenantcompte
del’expression
de c, on obtient ainsiio,
ce,~3,
y étant des fonctions de xo.Cette
expression
montre que, auvoisinage
de lacathode,
la distribution depotentiel
est bien donnéede manière
