Étude du magnétron en régime continu, tenant compte de la charge d'espace

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Étude du magnétron en régime continu, tenant compte

de la charge d’espace

A. Blanc-Lapierre, G. Goudet

To cite this version:

ÉTUDE

DU

MAGNÉTRON

EN

RÉGIME

_CONTINU,

TENANT COMPTE DE LA CHARGE D’ESPACE

Par A. BLANC-LAPIERRE et G. GOUDET.

Sommaire. 2014 L’article ci-dessous étudie le magnétron à symétrie cylindrique _en l’absence

d’oscil-lation, compte tenu de la _{charge d’espace.} Nous considérons le cas où c’est précisément celle-ci _qui limite le courant cathodique. Dans ces _conditions, les _{trajectoires électroniques dépendent} de trois _paramètres, par exemple le rayon a de la _cathode, le _{champ magnétique appliqué} H et _{le courant I extrait par}

unité de _longueur.

L’emploi de variables réduites permet de ne plus faire intervenir _qu’une combinaison 03B1 de ceux-ci et simplifie considérablement la discussion des _équations. Les trajectoires se _{déduisent par similitude}

d’une famille de courbes dépendant du paramètre 03B1; quelques aspects typiques de celles-ci sont

décrits. Quand le _rayon du filament ou le _{champ magnétique} tendent vers _zéro, 03B1 _augmente

indéfi-niment. Alors les courbes obtenues convergent très _rapidement vers une trajectoire limite _qui revêt,

de ce fait, une _{importance particulière.} Nous étudions enfin les _{caractéristiques électriques} du magnétron

et l’influence de la charge d’espace sur les durées de transit.

1. Introduction. - Le

magnétron

est actuel-lement un des

_dispositifs

les

_plus

fréquemment

utilisés pour la

production

d’ondes

_{décimétriques}

et

_{centimétriques. Rappelons}

_{que c’est} un tube à deux électrodes : une anode

_cylindrique

et un

filament émissif

_disposé

suivant l’axe de celle-ci. L’anode* est éventuellement fendue en

_plusieurs

Fig. i.

segments

limités _par des

_{génératrices,}

mais

_portés

au même

_potentiel

continu.

L’ensemble du tube est

_placé

dans un

champ magnétique

uniforme

_dirigé

dans la

_majorité

des cas

parallèle-ment à l’axe de

_symétrie

du

système.

L’étude en

_régime

continu du

magnétron

a été

_effectuée,

dès _{192 l,}

par Hull

[ 1 1

qui

a cherché à

déter-miner les lois du mouvement des électrons ainsi que les

caractéris-tiques électriques

du tube. Il se

_place

dans le cas où le filament est infini-ment fin et où le courant émis est limité par la

charge d’espace.

Pour tenir

_compte

de l’effet de cette

dernière,

il admet que la

répartition

de

potentiel

n’est pas modifiée par la

présence

du

champ magnétique ;

cette

répar-tition a été étudiée par

_Langmuir

_[2].

Nous nous sommes

_proposé

de

_reprendre

cette étude en nous affranchissant de cette

_hypothèse.

2.

_Équations

du

_problèmes

Le

_problème

consiste à déterminer les

_équations

du mouvement d’un électron et la

_répartition

du

_potentiel

V. Nous nous

_plaçons

dans le cas où le

_champ

magné-,

-+

tique

H est

_parallèle

à l’axe Oz du

système.

Dans

c~ s

_conditions,

la

_symétrie

des données conduit à

un

_{régime permanent}

dans

_lequel

la distribution de

_potentiel

est de révolution autour de Oz. Pour

des électrodes de

_longueur

infinie,

le

_système

est de translation

_{parallèlement}

à Oz et le

_champ

+

électrique

-- E est radial. Le mouvement des électrons

_{(de charge}

- _e et de masse

m)

s’effectue alors dans un

_plan

de section droite sous l’action

-de la force

_électrique

eE et de la force

magné-2013> ->

uo étant le

pouvoir

inducteur

pécifique

du vide dans le

_système

d’unités

_employé

->

,

et v la vitesse de l’électron.

Nous

_exprimerons

les coordonnées d’un électron

en fonction du

_temps

et nous calculerons le

poten-tiel

_(ou

le

_champ

_électrique)

au

_point

où il se

trouve. Pour déterminer ces trois

_inconnues,

nous

disposons

de trois

_{équations :}

~ ° Deux

_{équations d’origine}

_mécanique

(coordon-nées

_polaires

_r,

_{0) :}

Posons

ou, dans le

_système

d’unités

_{électromagnétiques}

C. G. S. :

Les

_équations

du mouvement s’écrivent

147

L’équation (3) s’intègre

aisément et fournit

Nous _{admettrons que} les électrons

_quittent

le

filament

_(de

_rayon

_a)

avec une vitesse

nulle;

de

1 1 t l" t. , ,

dl _dt est alors nul pour r = a, et

l’équation

précé-dente devient

La vitesse

_angulaire

ne

_dépend

_que de r.

Si a est

nul,

elle a _pour valeur r~; sinon elle lui

ést inférieure.

2 °

_{L’ équation}

de Poisson

dans

_laquelle

_{- o}

_désigne

la densité de

_charge

et Eo

le

_pouvoir

inducteur

_spécifique

du vide dans le

_système

d’unités utilisé.

E ne

_{dépendant que}

de r, cette

_équation

s’écrit

Pour

_intégrer

cette

_équation,

il est

_avantageux

d’introduire le courant I

_qui

traverse le

_cylindre

d’axe

0~,

de hauteur unité et _{de rayon r;} dans un

régime

permanent,

I est, en

_effet,

_indépendant

de r. Si nous _{supposons que} tous les électrons sont

captés

par

l’anode,

il n’existe en

_{chaque point}

. .

qu’une

détermination de v. I s’écrit alors

En

_{éliminant p}

entre

₍₅₎

et

_(6),

on trouve

Supposons l’émission limitée par

la

_charge

d’es-+

pace; E est nul sur la cathode

(r

=

a);

_on obtient

par

intégration

où t 0

est l’instant où l’électron considéré

_quitte

la cathode. Si nous choisissons cet instant comme

_origine

des

_{temps, 1 représente}

la durée de transit de l’élec-tron et

_{l’équation}

_précédente

s’écrit

En éliminant E et 0 entre les

_{équations (2),}

(4)

et

_(7),

nous obtenons

_{l’équation}

en r

Si l’on se _{donne a, w (c’est-à-dire H)} et

I,

l’équa-tion

₍₈₎

_permet

de calculer r en fonction de t; 6 se déduit alors de

₍₄₎

et E de

_(7);

on

_peut

d’ailleurs

obtenir V sans _{passer par l’intermédiaire de E} en

utilisant

_{l’expression}

du théorème des forces vives :

ou,

compte

tenu de

_(4),

En tout

_{point. atteint par}

les

_électrons,

le

poten-tiel V est donc

_supérieur

à une valeur

_critique

Vc

définie par

ou, en réintroduisant la valeur du

_{champ magnétique}

et, pour l’application pratique,

En

_particulier,

si le

_potentiel

d’anode est infé-rieur au

_{potentiel critique correspondant,}

aucun

électron ne

_peut

atteindre cette électrode. Nous

désignerons

donc la relation

₍₁₀₎

sous le nom

« condition de _coupure ».

3.

_Équations

réduites. -

L’équation

(8),

sous

forme

_littérale,

ne se

_prête

_{probablement pas à}

une

intégration rigoureuse. Cependant, par

une méthode que nous _exposerons

_plus

_loin,

on

_pourrait,

_pour

des valeurs

_numériques

_{données des divers} para-mètres

l, et)

et a,

obtenir,

avec toute la

_précision

désirée,

les courbes

_intégrales

et, en

_particulier,

celle

_{qui correspond}

aux conditions initiales du

problème

(pour 1

= _o, r = a

et dr

_{= o).}

dt

La

_{multiplicité}

des

_paramètres

cités rendrait difficile

_{l’application}

de cette méthode. Il est

heureu-sement

_possible

d’abaisser le nombre de ceux-ci _par l’introduction des variables réduites

suivantes,

toutes

1,’équations

du mouvement radial devient alors

Les nouvelles conditions initiales sont mainte-nant, pour = = _o,

L’équation

(4)

fournit

L’équation (9)

s’écrit enfin

Les

_équations

du

_problème

ne

_{dépendent plus}

que d’un paramètre ce.

Quand

le _{rayon a tend} vers

zéro,

oc

augmente

indéfiniment,

les

_{équations (9),}

₍₁₀₎

et

₍₁₁₎

_prennent

respectivement

les formes limites suivantes :

4.

_{Intégration.}

Résultats. -

L’équation (15)

est de la f orme

Pour

déterminer,

au

voisinage

d’un

point A, (zi

~1)

l’intégrale possédant

en ce

_point

une

_ente

(dE/dT)

1

g a

_posseda

_{p p}

1

donnée,

on

_peut

_{remplacer f (1, 1")}

par la valeur

approchée

et constante

_{f (¿l’}

Posons

On obtient successivement

L’application

des formules

_~18)

et

₍₁₉₎

à une

valeur

_numérique

de .1:- fournit les

_{coordonnées -2}

et c’2

d’un

_{point A2}

et la

_pente

dE

2

en ce

point.

dE

La valeur de .1:- sera considérée comme

satisfai-sante si la variation de

_{f (~,}

_r)

entre

_A,

et

_A2

est

assez faible pour

_justifier

notre

_hypothèse.

On

continue ainsi de

_proche

en

_proche.

L’application

de cette méthode

_présente

une

légère

difficulté dans le cas limite de

_{l’équation (15’).}

En

effet,

au

point

de

_départ

de la

courbe et ~

étant

_nuls,

le

terme 9-

a une valeur indéterminée.

.

ç

Il est aisé _{de vérifier par substitution que, pour} des valeurs de T suffisamment

faibles,

l’équa-2

tion

_(15’)

admet

_{l’intégrale approchée E =}

2 3 ‘’;

le deuxième membre de

_{l’équation}

_(15~

est donc infini pour = = _o; il _est,

par

suite,

impossible

d’appli-quer la méthode

précédente

dans le

_voisinage

immé-diat du

_point

_{correspondant}

au filament. Mais

l’inté-grale

approchée

permet

d’obtenir les coordonnées d’un

_point

distinct du filament à

partir duquel

la méthode

_{générale s’applique.}

Fig. 2. ,

La

_figure

2

_représente

les

_{courbes E = E}

_(r)

_pour

diverses valeurs de oc.

_{Quand T}

croît à

_partir

de

_zéro,

1

est d’abord

_croissant,

la

dérivée dE

initialement

d -,

nulle commence _par

_croître,

atteint une valeur

positive

maximum

_{correspondant}

à un

_point

d’in-flexion de la

_{courbe ~}

_(~r),

_puis

décroît

_jusqu’à

la valeur zéro atteinte au

_point

M. Au delà de

_M,

dE

devient

_négatif.

Il est donc nécessaire de limiter à --u

la

_{courbe E}

_(r)

au

_point

M afin de satisfaire notre

hypothèse

suivant

_laquelle

à une valeur

de 1

ne

> _dË

correspond qu’une

seule valeur de v, donc de

_2013’

Cette limitation

_signifie

_{que, pour}

_chaque

valeur de oc, c’est-à-dire pour un

_système

de valeurs de a,

I et

_H,

l’anode doit être située à une distance

_{réduite ~}

inférieure ou

_égale

à l’ordonnée

_~m

du

_point

M

149

Connaissant E (r),

on

_intègre

_{l’équation (16)}

_qui

fournit _{0 par méthode graph que. On obtient}

ainsi,

pour

chaque

valeur de oc, la

trajectoire

réduite.

Fig.3.

Les résultats obtenus sont

_{représentés}

_par les

figures

3,

4,

5 et 6. La

_comparaison

de ces courbes montre une

_grande

analogie

de formes pour toutes

Fig.4. Fig. 5.

les valeurs de a

considérées,

et une

_rapide

conver-gence vers la courbe limite

_(oc

===- c’est-à-dire _a =

o).

Cette courbe lim’te

_peut

être

_{représentée}

sensi-blement _par la relation °

Cette relation est

_analogue

à celle

_qui

fut anté-rieurement donnée par Hull. Cette dernière

s’écrit’

dans notre

_système

de coordonnées

_réduites,

La

_{connaissance,}

_pour une valeur de os, de la

loi 4

(~7)

du mouvement

radial,

permet,

grâce

à

Fig. G. - La courbe _en traits discontinus est celle

qu’on obtient par application de la foi mule _{approchée (20).}

l’équation (17),

d’obtenir la distribution U du

potentiel

réduit

_{correspondant.}

Les courbes obtenues sont

_{portées figure}

_7.

Fig..

On

observe,

comme _{pour les}

_{trajectoires,}

_que ces

courbes tendent

_rapidement

vers la courbe limite

obtenue pour oc oo. Cette

dernière,

arrêtée au

point d’abscisse E

= 3,Q7,

possède,

en ce

_point,

une ordonnée maximum U = 6.

5.

Énoncé

des résultats en coordonnées non

réduites. - Les résultats

quantitativement

le fonctionnement

_statique

du

magnétron

dans tous les cas où

_{l’hypothèse}

faite

au

_paragraphe

2 se trouve satisfaite

_(par

un

_point

ne _passe

_{qu’une trajectoire électronique).}

_Précisions,

par un

_exemple,

le

_parti

_que l’on

_peut

tirer des courbes réduites :

Supposons

donné un

_magnétron

_{de rayon}

ano-dique

b et de rayon a

_négligeable

(ce

=

(fJ).

Donnons-nous

_également

le

_champ

magnétique

H

(d’où

l’on

déduit

_m).

Dans ces

_conditions,

nous _pouvons

calculer le

_potentiel

d’anode Vv

_{correspondant}

à

une valeur donnée I du courant et tracer les

trajec-toires des électrons dans ce

_régime.

La formule

₍₁₁₎

permet,

en

_effet,

de calculer

La formule

₍₁₃₎

fournit alors la

_{valeur ~b}

corres-pondant

à l’anode

La courbe de la

_{figure 7}

_permet

de calculer le

potentiel

réduit U b

_{correspondant.}

On déduit

alors,

de la formule

_(14),

le

_potentiel

Les

_{trajectoires électroniques}

se déduisent de la

trajectoire

réduite oc = _oo

par similitude de

rapport

Leur

_{équation approchée}

est donc

L’arc réellement décrit sur ces

_trajectoires

est naturellement défini par la condition

r __

b.

Si l’on se donne une valeur de I assez élevée ou un

_champ

_magnétique

_(ce)

assez faible pour que

soit

_négligeable

devant

_l’unité,

le deuxième membre

. de

l’équation

réduite

_(15’)

_peut

être confondu avec son

_premier

terme

Yy

On se trouve

_pratiquement

ç

dans le cas étudié par Langmuir, de la diode

cylin-drique

en l’absence de

_{champ magnétique.}

Nous

avons

_indiqué,

dans ce _cas, l’existence d’une solution

On en déduit U = 3 z.

D’où

En revenant aux variables non

_réduites,

on

obtient

ou

_pratiquement

ce

_qui

est

_{précisément}

la relation de

_Langmuir

_pour

un filament infiniment fin. Dans ce _cas, la

_portion

utile de la

_trajectoire

réduite,

limitée

_{à 1 = ;b,}

est extrêmement

_petite.

Elle

_peut

donc être assi-milée à un

_segment

de droite. La similitude de

rapport

el

3 transforme ce

segment

très

petit

.

Eo m w

~

en un

_segment

de

longueur

b.

Si l’on choisit ensuite des valeurs de I

décrois-santes, c,b

ne cesse

_{d’augmenter;}

Ub

augmente

comme

_l’indique

la courbe de la

_{figure 7}

î = f( 1 ) .

( C5 )

Le sens de variation de Vr, donné _{par la} for-mule

₍₂₃₎

_{n’est pas évident. Pour}

l’obtenir,

on

_peut

différentier les formules

_(22),

₍₂₃₎

et

_(25).

On obtient ainsi .

Or,

pour des valeurs infiniment

petites

de ,

f (0 ~ pour expression approchée

.

D’où

,y

est donc

_positif.

On

_peut

vérifier sur le tracé de la

_{figure 7 que}

cette condition ne cesse _pas d’être

remplie,

quel

que soit

~.

Lorsque

I

diminue,

V aug-mente donc aussi.

Enfin,

si

_~b

atteint la valeur

_{3,4~, ’}

c’est-à-lire

pour

le

_potentiel

réduit a _{pour valeur} 6. D’où

La

_portion

utile de la

_trajectoire

est alors la totalité de l’arc tracé sur la

_figure

6, c’est-à-dire que les électrons arrivent sur l’anode avec une

151

(~)

est donc nul. La condition de _coupure

₍₁₀₎

est

satisf aite;

il est aisé de le vérifier sur les

équa-tions

₍₂₈₎

et

_(29).

En éliminant

_Io,

on

_obtient,

en

effet,

Si l’on donne à Vh une valeur inférieure à la valeur

précédente,

nous avons vu _{que les électrons}

ne

_peuvent

_plus

atteindre l’anode. Le courant

capté

par celle-ci est donc nul.

lôig. 8.

En

_résumé,

lé réseau des

_{caractéristiques}

courant

anodique-tension

d’un

_magnétron

donné a

_l’aspect

représenté figure

8.

La courbe de coupure c, lieu

_{géométrique}

des

points

de _coupure

_{quand H}

_varie,

est _{définie par} les

_{équations paramétriques (28)}

et

₍₂₉₎

ou

₍₂₈₎

et

_(30).

En éliminant Ci) entre ces

_équations,

on obtient

ou

pratiquementl

Cette formule est d’un

_type

_analogue

à la formule de

_Langmuir.

Pour

terminer,

on

_peut

se demander

_quelle

est

la

_trajectoire

des électrons

_quand

le

_potentiel

d’anode

est inférieur au

_potentiel

de coupure. C’est là une

question qui

a fait

déjà l’objet

de débats entre divers

auteurs

_[3].

L’examen des

_équations

du

_paragraphe

2 nous

permet

de

_prévoir

au moins deux

_types

de

trajec-toires

_{possibles :}

’

z ° Si l’on admet que les électrons retombent

sur la

cathode,

il résulte des

_{équations (2)}

et

₍₄₎

que le mouvement de retour vers la cathode est

symétrique

du mouvement de

_départ

vers l’anode.

Les

_trajectoires

s’obtiennent en

_complétant

les

courbes tracées par

symétrie

autour _{du rayon}

correspondant

au maximum de

_~.

En un

_point

passent

alors deux sortes d’électrons : les uns

s’éloignent

du filament et les autres s’en

_rapprochent.

Il leur

_{correspond respectivement}

les courants + I et - I. Pour

une valeur donnée de

I,

la densité

de

_{charge d’espace}

se trouve _{doublée par rapport}

au cas

_{précédemment}

étudié.

La relation

₍₆₎

s’écrit donc

( 2013

étant relatif aux électrons

_qui

_{s’éloignent}

du

filament

au lieu de

et la relation

₍₇₎

devient

En

résumé,

il suffit de

_remplacer

dans les

_équations

I _{par 2I pour} avoir un résultat correct.

2° Un autre

_type

de

_trajectoires

_possibles

a été

signalé

par divers auteurs

[Id.

Il

s’agit

de

trajec-toires circulaires

_ayant

_pour axe le filament. On

vérifie aisément

_qu’un

tel

_régime

est

_également

compatible

avec les trois

équations

fondamentales du

_problème.

Dans ce cas, il

n’y

a _pas seulement un courant

_anodique

nul,

mais encore un courant nul émis _par le

_filament,

le _nuage

_{électronique}

tournant autour de celui-ci

_s’opposant

à l’extraction de

nouveaux électrons.

Lorsque,

à

_{champ magnétique}

constant, on fait

décroître

_{progressivement}

la tension

_{anodique jusqu’à}

la valeur

critique

Vc,

le

_{régime qui}

s’établit évolue de

_{façon continue,}

ainsi _que nous l’avons décrit.

Mais si l’on franchit la valeur

critique,

il n’est

_plus

possible d’invoquer

la continuité pour savoir

_quel

est,

_parmi

les deux

_régimes

que nous venons de

mentionner,

celui

_qui

s’établit.

De toutes

_façons,

le _{passage par} la valeur

_critique

correspond

à un

_phénomène

discontinu au cours

duquel

le courant

_anodique

_passe d’une valeur finie

_I,

à zéro et la

_charge

_d’espace

se trouve

profon-dément modifiée.

Comme _{l’a fait remarquer Mac Namara}

_[5],

il semble _{que seul} un examen

_{expérimental}

_permette

de

_prendre

_position.

Une

_expérience

_{relatée par} cet auteur se trouve en faveur du

_premier

des deux

régimes

cités : retour des électrons sur la cathode.

Remarque.

- Nos

_équations

de

_départ

sont

équi-valentes à celles utilisées par L. Brillouin

[6]

dans des articles récents sur le

_magnétron.

Cependant

nos

résultats différent des _{siens. Ces différences} pro-viennent

_{d’apploximations}

Effectuées par cet auteur

sur les

_équations

différentielles.

son intérêt si l’on _{prouve l’existence d’au moins} un maximum pour la

Durées de transit. - Dans cette

hypothèse,

la durée : d’une révolution

_{électronique}

_peut

être déduite de la

_figure

2. L’abscisse maximum atteinte

sur la courbe « == _{co, est}

_égale

à

2,43,

d’où

,

ou

Cette formule

_peut

être

_comparée

avec celle

qu’on

obtient en

_négligeant

la

_charge

_d’espace.

Si le filament est infiniment

_mince,

la’ chute de

potentiel

Vl, est localisée dans le

_voisinage

immé-diat de celui-ci. Les

trajectoires

électroniques

sont alors celles d’électrons lancés avec une vitesse initiale

§/U dans

un

_{champ magnétique}

H

per-diculaire à celle-ci.

Ce sont des cercles. Le _parcours de l’un d’eux

correspond

à une variation de 0

_égale

à z. La durée

de transit est donc .

La

_comparaison

des formules

₍₃₂₎

et

₍₃₃₎

montre

qu’un

des effets de la

_{charge d’espace}

est une

majo-ration de

_plus

de 5o _pour I oo de cette durée de

transit.

APPENDICE.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] HULL, Physical

Review,

1921, 18, p. 31.

[2] LANGMUIR, Physical Review, 1913, 2, p. 455. Cet article

a été _complété ultérieurement : LANGMUIR et

BLOD-GETT, Physical Review, 1923, p. 347.

[3] HULL, The _paths of electrons in the magnetrons, Phys. Rev., 1924, 23, p. 112; MEGAW, An _{investigation} of the magnetron short wave oscillator, I. E. E. Journal

1933, 72, p. 326.

[4] HULL et MEGAW, Loc. cit.; BLEWETT et _{RAMO, Physica}

Review, 1940, 57, p. 635; Léon BRILLOUIN, Physical Review, 1941, 60, p. 385 et Proceedings of the I. R. E., 1944, p. 216.

[5] MAC NAMARA, A note on _{magnetron theory,} P. I. R. E., 1934, 22, p. 1037.

[6] Léon BRILLOUIN, Loc.

_cit.

ERRATUM.

La _{figure 7} de l’article de 11I. J. ABELÉ, publié dans le numéro d’avril, est _incomplète. La courbe tracée en trait continu ne _représente que la moitié de la variation de la fonction _{c~l (z).} Elle doit être _complétée par une seconde

partie, symétrique de la première par rapport à l’origine des coordonnées et formant avec elle un cycle.

Le commentaire de la _figure doit être modifié comme

il suit :

« La seconde _{(courbe) peut} être considérée comme un