Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque

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Analyse fonctionnelle

Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque

Rachid Zarouf

Equipe d’analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Reçu le 4 avril 2009 ; accepté le 9 avril 2009 Disponible sur Internet le 17 mai 2009

Présenté par Gilles Pisier

Résumé

Étant donné un ensemble finiσ du disque unitéD= {z∈C: |z|<1}et une fonctionf holomorphe dansDappartenant à une certaine classeX, on cherchegdans une autre classeY (plus petite queX) qui minimise la norme degdansY parmi toutes les fonctionsgsatisfaisant la conditiong_|_σ =f_|_σ. On montre que dans le casY =H^∞, la constante d’interpolation correspondante c(σ, X, H^∞)est majorée paraϕ_X(1−¹⁻_n^r)oùn=#σ,r=max_λ_∈_σ|λ|etϕ_X(t)est la norme de la fonctionnelle d’évaluation f →f (λ), sur l’espaceX. La majoration est exacte sur l’ensemble desσ avecnetr donné.Pour citer cet article : R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Abstract

Interpolation with constraints on the finite sets of the disc.Given a finite setσ of the unit discD= {z∈C: |z|<1}and a holomorphic functionf inDwhich belongs to a classX, we are looking for a functiongin another classY (smaller thanX) which minimizes the normgYamong all functionsgsuch thatg_|_σ=f_|_σ. ForY=H^∞, and for the corresponding interpolation constantc(σ, X, H^∞), we show thatc(σ, X, H^∞)aϕ_X(1−¹⁻_n^r)wheren=#σ,r=max_λ_∈_σ|λ|and whereϕ_X(t)stands for the norm of the evaluation functionalf →f (λ)on the spaceX. The upper bound is sharp over setsσ with givennandr.To cite this article: R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Abridged English version

The problem considered is the following: givenXandY two Banach spaces of holomorphic functions on the unit discD= {z∈C: |z|<1},X⊃Y, and a finite setσ⊂D, to find the least norm interpolation by functions of the space Y for the tracesf_|_σ of functions of the spaceX, in the worst case off.

The classical interpolation problems – those of Nevanlinna–Pick and Carathéodory–Schur (on the one hand) and Carleson’s free interpolation (on the other hand) – are of this nature. Two first are “individual”, in the sens that one

Adresse e-mail :[email protected].

doi:10.1016/j.crma.2009.04.014

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looks simply to compute the normsfH_|^∞_σ orfH^∞/zⁿH^∞ for a givenf, whereas the third one is to compare the normsal^∞(σ )=maxλ∈σ|a_λ|and inf(g∞: g(λ)=a_λ, λ∈σ ).

Here and everywhere below, H^∞ stands for the space (algebra) of bounded holomorphic functions in the unit disc D endowed with the norm f_∞=sup_z_∈D|f (z)|. Looking at this comparison problem, say, in the form of computing/estimating the interpolation constantc(σ, X, Y )=sup_f_∈_X,_f_X₁inf{gY: g_|_σ=f_|_σ}, which is nothing but the norm of the embedding operator(X_|σ,.X_|_σ)→(Y_|σ,.Y_|_σ), one can think, of course, on passing (after) to the limit – in the case of an infinite sequence{λj}and its finite sections{λj}ⁿ_j₌₁– in order to obtain a Carleson type interpolation theoremX_|_σ=Y_|_σ. But not necessarily. In particular, even the classical Pick–Nevanlinna theorem (giving a necessary and sufficient condition on a function a for the existence off ∈H^∞ such thatf_∞1 and f (λ)=a_λ,λ∈σ), does not lead immediately to Carleson’s criterion forH_|^∞_σ =l^∞(σ ). (Finally, a direct deduction of Carleson’s theorem from Pick’s result was done by P. Koosis [10] in 1999 only.) Similarly, the problem stated for c(σ, X, Y )is of interest in its own. For this paper, the following question was especially stimulating (which is a part of a more complicated question arising in an applied situation in [2] and [3]): given a setσ ⊂D, how to estimate c(σ, H², H^∞)in terms ofn=card(σ )and maxλ∈σ|λ| =ronly? (H²being the standard Hardy space of the disc.)

Here, we consider the case ofH^∞interpolation(Y=H^∞)and the following scales of Banach spacesX:

(a)X=H^p=H^p(D), 1p∞, the standard Hardy spaces on the discD, (b) X =l²_a( ¹

(k+1)^α⁻¹), α 1, the weighted spaces of all f (z) =

k0f (k)zˆ ^k satisfying

k0| ˆf (k)|²×

1

(k+1)^2(α⁻¹⁾ <∞.

An equivalent description of this scale of spaces is:

X=L²_a((1− |z|²)^βdxdy),β=2α−3>−1, the Bergman weighted spaces of holomorphic functions such that

D|f (z)|²(1− |z|²)^βdA <∞.

For the caseβ=0, we shorten the notation toX=L²_a. For these two series of spaces we showc₁ϕ_X(1−¹⁻_n^r) sup{c(σ, X, H^∞): #σ n,|λ|r, λ∈σ}c2ϕX(1−¹⁻_n^r), where ϕX(t ), 0t <1 stands for the norm of the evaluation functionalf →f (t )on the spaceX.

In order to prove the right hand side inequality, we first use a linear interpolation:f→_n

k=1 f, e_ke_k, where .,.

means the Cauchy sesquilinear form h, g =

k0h(k)ˆ g(k), andˆ (e_k)ⁿ_k₌₁is the explicitly known Malmquist basis of the spaceK_B=H²ΘBH²,B=_n

i=1b_λ_i being the corresponding Blaschke product,b_λ=₁^λ₋⁻_λz^z (see N. Nikolski [11], p. 117). Next, we use the complex interpolation between Banach spaces (see H. Triebel [14], Theorem 1.9.3, p. 59). Among the technical tools used in order to find an upper bound for_n

k=1 f, e_ke_k_∞(in terms offX), the most important is a Bernstein-type inequalityfpc_pB∞fpfor a (rational) functionf in the star-invariant subspaceH^p∩BH^p₀ generated by a (finite) Blaschke productB(K. Dyakonov [7]). Forp=2, we give an alternative proof of the Bernstein-type estimate we need.

The lower bound problem is treated by using the “worst” interpolation n-tuple σ =σ_λ,n= {λ, . . . , λ}, a one- point set of multiplicityn(the Carathéodory–Schur type interpolation). The “worst” interpolation data comes from the Dirichlet kernels _n₋₁

k=0z^k transplanted from the origin toλ. We notice that spacesX of (a) and (b) satisfy the conditionX◦b_λ⊂Xbut this is not the case for spacesXdescribed in (c) below forp=2, which makes the problem of upper/lower bound more difficult.

Other spaces considered are the following:

(c)X=l^p_a 1

(k+1)^α⁻¹

, α1, 1p∞; (d)X=L^p_a

1− |z|²β

dA

, β >−1, 1p2.

For these spaces we also found upper and lower bounds forc(σ, X, H^∞)(sometimes for special setsσ) but with some gaps between these bounds.

1. Introduction

Le problème extremal d’interpolation est le suivant : étant donnés λ₁, . . . , λ_n dans D= {z∈C: |z|<1}, B=_n

i=1b_λ_i oùb_λ=₁^λ₋⁻_λz^z, etf ∈Hol(D), on cherche à calculer ou estimerfH^∞/BH^∞ =inf{g_∞: f −g∈ BHol(D)}. Les problèmes classiques de Nevanlinna–Pick (1916) et de Carathéodory–Schur (1908) (voir [8] et [12]

pour ces deux problèmes classiques et pour des références originales), en sont des cas particuliers correspondant respectivement à celui où lesλ_jsontnpoints distincts et au cas oùλ₁=λ₂= · · · =λ_n=0.

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1.1. Le sujet de cette Note est une version de ce dernier problème

Trouver ou majorer/minorer la norme de la meilleure interpolante fH^∞/BH^∞ en fonction de la taille de f mesurée dans un espace de BanachXde fonctions holomorphes dansD, c’est à direfX. De façon plus précise, il s’agit de calculer ou majorer/minorer les constantes

c(σ, X, Y )= sup

f∈X,fX1

inf gY: g_|_σ=f_|_σ , et

Cn,r(X, Y )=sup c(σ, X, Y ): #σn, ∀j =1. . . n,|λj|r ,

lorsque Y =H^∞, r ∈ [0,1[ et n1. Nous pouvons néanmoins faire quelques commentaires sur la constante c(σ, X, Y )lorsqueY est, commeX, un espace de Banach de fonctions holomorphes (inclus dansX).

1.2. Motivations pour ce problème

(a) Le point de départ est une partie d’une question posée par Laurent Baratchart (communication orale) et prove- nant d’un problème d’approximation appliquée (voir [2] et [3]) : trouver une estimation dec(σ, H², H^∞)en fonction de card(σ )=deg(B)et de maxλ∈σ|λ| =r.

Parmi d’autres résultats, voici ci-dessous la réponse obtenue : 1

32n 1−r

¹

2 C_n,r

H², H^∞

2n 1−r

¹

2

.

(b) D’autre part, le problème de calculer/estimerc(σ, X, Y )peut être vu comme uneinterpolation intermédiaire entre celle dite de Carleson et l’interpolation individuelle de Nevanlinna–Pick.

(c) On trouve une autre motivation pour l’estimation de la constantec(σ, X, Y ) dans le calcul matriciel où on s’interesse à la norme du calcul fonctionnel : trouverC >0 optimale telle que siAest une matricen×nvérifiant σ (A)⊂σ ⊂D, telle queAE→E1 par rapport à une certaine norme surCⁿ,E=(Cⁿ,|.|),f (A)Cf_∞, pour tout polynôme analytiquef. Il est facile de voir queC=c(σ, H^∞, W_a), oùW_a est l’algèbre de Wiener des séries de Taylor absolument convergentes. Notons l’apparition d’un cas intéressant pour f ∈H^∞ telle quef_|_σ =

1

z|σ (estimation du conditionnement et des normes d’inverses des matrices n×n) ou telle que f_|σ =_λ₋¹_z_|_σ (pour l’ estimation de la norme de la résolvante d’une matricen×n).

Un résultat de N. Nikolski (voir [13]) nous garanti quec(σ, X, W_a)est majoré par 9n.c(σ, X, H^∞)pour tout espace de BanachXde fonctions holomorphes dansDet que cette majoration est exacte (surXetσ, #σn) à une constante numérique près.

1.3. Les espaces considérés

(a)X=H^p=H^p(D), 1p∞, les espaces de Hardy du disqueD, (b)X=l_a²(α):=l²_a( ¹

(k+1)^α⁻¹),α1, l’espace à poids des fonctionsf (z)=

k0f (k)zˆ ^kvérifiant

k0

f (k)ˆ ² 1

(k+1)^2(α⁻¹⁾<∞ ;

une description équivalente de cette même série d’espaces est :

X=L²_a(β):=L²_a((1− |z|²)^βdxdy),β=2α−3>−1, l’espace de Bergman à poids des fonctions holomorphes f telles que

D

f (z)²

1− |z|²β

dxdy <∞.

Pourβ=0, on raccourcit la notation,X=L²_a. (c) On va un peu plus loin en considérant :

(4)

X=l_a^p(α):=l_a^p 1

(k+1)^α⁻¹

, α1, 1p∞, puisX=L^pa(β):=L^pa

1− |z|²β

dxdy

, β >−1, 1p2.

2. Ce qui est montré

Nous commençons par étudier le cas d’espaces de Banach généraux X etY verifiant les propriétés naturelles suivantes :

pour tout >0,Hol

(1+)D

est continument inclus dansY, (P1)

P ol₊⊂XetPol₊est dense dansX, (P2)

oùP ol₊désigne l’espace des polynômes analytiques à coefficients complexesp,p(z)=_N

k=0a_kz^k, [f ∈X] ⇒

zⁿf∈X,∀n0 and limzⁿf¹ⁿ 1

, (P3)

f ∈X, λ∈D, andf (λ)=0

⇒ f

z−λ∈X

. (P4)

Lemme 0.SoientX, Y deux espaces de Banach vérifiant les propriétés(P_i),i=1, . . . ,4. Pour toutn1,r∈ [0,1), on aC_n,r(X, Y ) <∞.

Puis, en étudiant le cas particulier oùY =H^∞et oùXparcourt les espaces décrits en A.(3)-(a) et A.(3)-(b), nous obtenons des majorations/minorations du type

c₁ϕ_X

1−1−r n

C_n,r

X, H^∞ c₂ϕ_X

1−1−r n

,

oùϕX(t ), 0t <1 est la norme de la fonctionnelle d’évaluationf →f (t )sur l’espaceX.

Plus précisément, en ce qui concerne les espaces de HardyH^pdu A.(3)-(a), on obtient le théorème suivant.

Théorème 1.Soitp∈2Z₊. Il existe une constanteA_pdépendant depuniquement telle que pour toutn1,r∈ [0,1), 1

32^p¹ n

1−r ¹

pC_n,r

H^p, H^∞ A_p

n 1−r

¹

p

.

De plus, la majoration est vraie pour tout réelp,1p+∞.

Quant au cas des espaces à poids (où de façon équivalente celui des espaces de Bergman à poids radial) du A.(3)- (b),X=l_a²(α)=L²_a(2α−3), on obtient l’encadrement suivant.

Théorème 2.Soitα1tel que2α−1soit entier. Il existe des constantesaetAtelles que pour toutn1, r∈ [0,1), a

n 1−r

^2α⁻¹

2 C_n,r

l_a²(α), H^∞

A

n 1−r

^2α⁻¹

2

,

où les constantesaetAsont telles quea₂3N(2N )¹ !etAN^2N,Nétant la partie entière deα. De plus, la majoration est vraie pour tout réelα1.(La notationxysignifie qu’il existe des constantes numériquesc₁, c₂>0telles que c₁yxc₂y.)

Enfin, en ce qui concerne le cas des espacesXdu A.(3)-(c), les résultats obtenus sont plus faibles et ne répondent pas, comme c’était le cas précédemment, à la conjecture faisant intervenirϕ_Xdéfinie ci-dessus. Nous donnons néan- moins des majorations/minorations pour la quantitéc(σ, X, H^∞), parfois pour desσ spécifiques et avec des écarts entre les bornes intervenant dans ces encadrements.

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Théorème 3.(1)Soitα1etX=l_a^p(α). Pour1p+∞, il existe une minoration deC_n,r(X, H^∞)de l’ordre de 1/(1−r)^α⁻^1/p. Pour1p2 (resp.2p+∞), il existe une majoration deC_n,r(X, H^∞)de l’ordre de (₁₋ⁿ_r)^α⁻^1/2(resp. de l’ordre de(₁₋ⁿ_r)^α⁺^1/2⁻^2/p).

(2)Soientλ∈D,β >−1,1p2etX=L^p_a(β). Alors il existe une majoration dec(σ_λ,n, X, H^∞)de l’ordre de(₁_−|ⁿ_λ_|)^(β⁺^2)/p.

3. Les moyens pour montrer cela 3.1. Majorations

(i) Nous avons choisi d’utiliser une interpolation linéaireT:f →_n

k=1 f, e_ke_k, où .,. est la forme sesquili- néaire de Cauchy h, g =

k0h(k)ˆ g(k), etˆ (ek)ⁿ_k₌₁est la base de l’espaceKB=H²ΘBH², dite de Malmquist, connue de façon explicite (voir N. Nikolski [12], p. 117). Ce choix est justifié par le fait que siX=H², l’opérateur T coïncide avec la projection orthogonale deH²surH²ΘBH². Nous conserverons ce choix même dans le cas plus général oùX=Hest un espace de Hilbert différent deH², car pour ce type d’espace la projection orthogonale deH surH ΘBH demeure implicite. D’autre part, siXn’est pas un espace de Hilbert, trouver la “meilleure” interpolante def est encore moins clair, il y aura donc un prix à payer relativement à notre choix. A ce propos, en général la vraie interpolation optimale est non-linéaire, voir S.A. Vinogradov [15] pour les détails.

(ii) Pour le cas A.(3)-(a) (Théorème 1) avecp=2, on profite du fait quee_k∈Hol(|z|<¹_r)oùr=maxλ∈σ|λ|pour majorerg_∞. Pour généraliser au casp1 quelconque on utilise un résultat d’interpolation de P. Jones notamment que[H¹, H^∞]θ=H^p, voir [9].

Pour le cas A.(3)-(b) (Théorème 2), on utilise les points ci-après.

(iii) PourX=l_a²(N+1), on fait apparaître la quantitég^{(N )}H² (qui est comparable àgX) que l’on majore en fonction defH² à l’aide d’une inégalité type Bernstein sur les fonctions rationelles à pôles dans^cD, que l’on montrera. Plus précisément, on démontrera le lemme suivant, qui est un analogue pour le disque d’un résultat de K.

Dyakonov démontré dans le demi-plan, voir [7].

Lemme 1.Soitg∈KB=:H²ΘBH². Alors gH²5

2 n

1−rgH²,

où comme toujours,r=maxλ∈σ|λ|. Par récurrence, g^(k)

H² k! 5

2 k

n 1−r

k

gH²,

pour toutk=0,1, . . ..

Notre preuve est différente de celle de M. Dyakonov et elle donne en particulier une constante (5/2) plus petite.

En général, on notera que les inégalités type Bernstein ont déjà fait l’objet de nombreuses publications. Entre autres, le chapitre 7 du livre de P. Borwein et T. Erdélyi, voir [5], y est consacré. C’est aussi le cas de la thèse de A. Baranov, voir [1], et de l’ouvrage de R.A. DeVore and G.G. Lorentz, voir [6].

(iv) Enfin, comme en (ii), on interpole entrel_a²(N )etl_a²(N+1)(interpolation classique complexe entre espaces de Banach, voir [14] ou [4]).

(v) Pour traiter le cas A.(3)-(c), on fait de même qu’en (iv) mais entrel_a^p¹(α)etl_a^p²(α), puis entreL^p_a¹(β)etL^p_a²(β).

3.2. Minorations

On se rend compte, grâce l’interpolation de Carleson, que la séquence la “pire” est probablement σ =σλ,n= {λ, . . . , λ}(nfois). En effet, dans ce cas la constante de Carleson explose et, au travers de la majoration (qui est vraie pour toute séquenceσ deD),

c

σ, X, H^∞

C_I(σ ) max

1inϕ_λ_i,

(6)

oùϕ_λ(f )=f (λ)et C_I(σ )= sup

al∞1

inf

g_∞: g∈H^∞, g_|_σ=a ,

est la constante de Carleson relative àσ, on comprend que pour σ ayant une constante d’interpolationC_I(σ )“rai- sonnable”, la quantitéc(σ, X, H^∞)se comporte comme maxiϕ_λ_i. En revanche, pour des sequencesσ “serrées”, la constanteC_I(σ )peut être si grande que la dernière majoration peut en devenir très grossière.

(i) On remarque d’abord que c

σ_0,n, H², H^∞

1

pnH²

p_n K_n_∞ 1

√n−1(p_n K_n)(1)1 2

√n, oùKndésigne le noyau de Fejer d’ordren, etpn=n−1

k=0z^k.

(ii) Le casc(σ0,n, X, H^∞)pourXespace de Hilbert du A.(3)-(b) se traite de la même façon, en remplaçantpnpar une puissance dep_n.

(iii) La minoration dec(σ_λ,n, H², H^∞)se “déduit” de (ii) en considérant, au lieu de la fonctionp_n=_n₋₁

k=0z^k, une fonction construite à partir dep_n◦b_λ, ou plus simplementp_n◦b_r, 0r <1 puisque les normes considérées sont invariantes par rotation. On prouve ainsi la minoration du Théorème 1 pourp=2.

(iv) Encore une fois, le cas c(σ_λ,n, X, H^∞)pour X espace de Hilbert du A.(3)-(b) se traite comme en (iii), en remplaçantp_npar une puissance dep_n. L’observation principale réside dans le fait queX=l_a²(α)=ϕ(H²)=H (ϕ◦ K) dans le sens d’Aronszajn–de Branges (voir [12], p. 320, point(k) de l’Exercice 6.5.2), avec ϕ(z)=z^2α⁻¹ et K(λ, z)=k_λ(z)=₁_−¯¹_λz. En particulier, on utilise l’inégalité suivante, vraie pour toutf ∈H²:ϕ◦f²_Xϕ(f²₂).

Il est bon de noter que l’opérateur de composition parbλ stabilise les espaces du A.(3)-(a) et du A.(3)-(b) mais qu’en revanche ce n’est pas le cas pour les espacesl_a^p(α)pourp=2 ce qui rend le problème de minoration mais aussi de majoration plus difficile.

(v) Enfin, pour montrer la minoration du Théorème 3, on utilise simplement que C_n,r(X, H^∞)ψ_rX, où ψ_r(f )=f (r). (Mais la minoration ainsi obtenue n’est pas optimale.)

Remerciements

Je tiens à remercier chaleureusement le Professeur Nikolai Nikolski pour son aide inestimable.

Références

[1] A. Baranov, Inégalités de Bernstein dans les espaces modèles et applications, Thèse soutenue à l’université de Bordeaux 1, 2005.

[2] L. Baratchart, Rational and meromorphic approximation in Lp of the circle: system – theoretic motivations, critical points and error rates, Computational Methods and Function Theory, vol. 11, World Scientific Publish. Co, 1999, pp. 45–78.

[3] L. Baratchart, F. Wielonsky, Rational approximation problem in the real Hardy spaceH2and Stieltjes integrals: a uniqueness theorem, Constr.

Approx. 9 (1993) 1–21.

[4] J. Bergh, J. Löfström, Interpolation Spaces. An Introduction, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1976.

[5] P. Borwein, T. Erdélyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer, New York, 1995.

[6] R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[7] K. Dyakonov, Differentiation in Star-Invariant Subspaces I. Boundedness and Compactness, J. Funct. Anal. 192 (2002) 364–386.

[8] J. Garnett, Bounded Analytic Functions, Academic Press, New York, 1981.

[9] P.W. Jones,L^∞estimates for the∂problem in the half plane, Acta Math. 150 (1983) 137–152.

[10] P. Koosis, Carleson’s interpolation theorem deduced from a result of Pick, in: V. Havin, N. Nikolski (Eds.), Complex Analysis, Operators, and Related Topics, in: Oper. Theory Adv. Appl., vol. 113, Birkhäuser, Basel, 2000, pp. 151–162.

[11] N. Nikolski, Treatise on the Shift Operator, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

[12] N. Nikolski, Operators, Function, and Systems: An Easy Reading, vol. 1, AMS, Providence, 2002.

[13] N. Nikolski, Condition numbers of large matrices and analytic capacities, St. Petersburg Math. J. 17 (2006) 641–682.

[14] H. Triebel, Interpolation Theory, Functions Spaces, Differential Operators, North-Holland Pub. Comp., Amsterdam, New York, Oxford, 1978.

[15] S.A. Vinogradov, Some remarks on free interpolation by bounded and slowly growing analytic functions, Zapiski Nauchn. Sem. Leningrad.

Otdel. Mat. Inst. Steklov (LOMI) 126 (1983) 35–46 (in Russian); Engl. translation: Math. Sci. 27 (1) (1984) 2450–2458.