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Stabilization and approximation of some distributed systems by either dissipative or inde

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Academic year: 2021

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(1)

HAL Id: tel-00862708

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00862708

Submitted on 17 Sep 2013

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systems by either dissipative or inde

Farah Abdallah

To cite this version:

Farah Abdallah. Stabilization and approximation of some distributed systems by either dissipative or inde. Other. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis; Université libanaise, 2013. English. �NNT : 2013VALE0015�. �tel-00862708�

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Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de

VALENCIENNES ET DU HAINAUT CAMBRESIS

et l’Université Libanaise

Mathématiques Appliquées

Présentée et soutenue par ABDALLAH Farah. Le 27/05/2013, à Beyrouth, Hadath, Liban Ecole doctorale :

Sciences Pour l’Ingénieur (SPI)

Equipe de recherche, Laboratoire :

Laboratoire de Mathématiques et ses Applications de Valenciennes (LAMAV)

« Stabilisation et approximation de certains systèmes distribués par

amortisement dissipatif et de signe indéfini »

JURY

Président du jury

- Ayman, Mourad. Professeur. Université Libanaise.

Rapporteurs

- Zuazua, Enrique. Professeur. Université de Madrid. - Cannarsa, Piermarco. Professeur. Université de Rome.

Examinateurs

- Hassan, Ibrahim. Docteur. Université Libanaise.

Directeurs de thèse

- Niçaise, Serge. Professeur. Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis. - Wehbe, Ali. Professeur. Université Libanaise.

Invité

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2) ❜❡ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ A1 2. ❉❡♥♦$❡ ❜② D(A 1 2)′ $❤❡ ❞✉❛❧ &♣❛❝❡ ♦❢ D(A 1 2) ♦❜$❛✐♥❡❞ ❜② ♠❡❛♥& ♦❢ $❤❡ ✐♥♥❡! ♣!♦❞✉❝$ ✐♥ H. ❋✉!$❤❡!♠♦!❡✱ ❧❡$ U ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❍✐❧❜❡!$ &♣❛❝❡ ✭✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐❞❡♥$✐✜❡❞ $♦ ✐$& ❞✉❛❧ &♣❛❝❡✮ ✇✐$❤ ♥♦!♠ ❛♥❞ ✐♥♥❡! ♣!♦❞✉❝$ ❞❡♥♦$❡❞ !❡&♣❡❝$✐✈❡❧② ❜② k.kU ❛♥❞ (., .)U ✽

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❛♥❞ ❧❡% B ∈ L(U, H). ❲❡ ❝♦♥)✐❞❡+ %❤❡ ❝❧♦)❡❞ ❧♦♦♣ )②)%❡♠ ¨ ω(t) + Aω(t) + BB∗˙ω(t) = 0, ω(0) = ω0, ˙ω(0) = ω1, ✭✵✳✶✳✶✮ ✇❤❡+❡ t ∈ [0, ∞) +❡♣+❡)❡♥%) %❤❡ %✐♠❡ ❛♥❞ ω : [0, ∞) → H ✐) %❤❡ )%❛%❡ ♦❢ %❤❡ )②)%❡♠✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ %❤❡ ❡♥❡+❣② ♦❢ )②)%❡♠ ✭✵✳✶✳✶✮ ❛% %✐♠❡ t ❜② E(t) = 1 2  k ˙ω(t)k2+ A12ω(t) 2 . ❙✐♠♣❧❡ ❢♦+♠❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛%✐♦♥) ❣✐✈❡ E(0)− E(t) = Z t 0 (BB∗˙ω(s), ˙ω(s)) ds, ∀t ≥ 0. ❚❤✐) ♦❜✈✐♦✉)❧② ♠❡❛♥) %❤❛% %❤❡ ❡♥❡+❣② ✐) ♥♦♥✲✐♥❝+❡❛)✐♥❣✳ ■♥ %❤❡ )❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣%❡+✱ ♦✉+ ❣♦❛❧ ✐) %♦ )❡❛+❝❤ ❢♦+ ❛ )✉✐%❛❜❧❡ ❞✐)❝+❡%❡ )②)%❡♠ ✇❤✐❝❤ ✜+)% ❛♣♣+♦①✐♠❛%❡) ✭✵✳✶✳✶✮ ❛♥❞ )❡❝♦♥❞ ❤❛) %❤❡ )❛♠❡ )%❛❜✐❧✐%② ♣+♦♣❡+%✐❡) ❛) ✭✵✳✶✳✶✮✳ ❍♦✇❡✈❡+✱ ✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥)✱ ♠♦)% ♦❢ %❤❡ ❝❧❛))✐❝❛❧ ♥✉♠❡+✐❝❛❧ ❛♣♣+♦①✐♠❛%✐♦♥ )❝❤❡♠❡) ❞♦ ♥♦% ♣♦))❡)) %❤❡ )❛♠❡ ❞❡❝❛② +❛%❡ ❛) %❤❛% ♦❢ %❤❡ ❝♦♥%✐♥✉♦✉) ♣+♦❜❧❡♠ ❛❧%❤♦✉❣❤ %❤❡ ❝♦♥✈❡+❣❡♥❝❡ ✐) ♣+❡)❡+✈❡❞✳ ❆% %❤❡ ❞✐)❝+❡%❡ ❧❡✈❡❧✱ )♣✉+✐♦✉) ❤✐❣❤ ❢+❡D✉❡♥❝② ♦)❝✐❧❧❛%✐♦♥) ❛+❡ ❣❡♥❡+❛%❡❞ ❛♥❞ %❤❡+❡❢♦+❡ ❜❛❞ ❜❡❤❛✈✐♦+ ♦❢ %❤❡ ❛♣♣+♦①✐♠❛%❡ )♦❧✉%✐♦♥ ✐) ❝❧❡❛+❧② ♦❜)❡+✈❡❞ ❝❛✉)✐♥❣ ❛ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦+♠ ❞❡❝❛② +❛%❡ ✭)❡❡ ❬✶✹✱✶✾✱✷✵✱✷✺✱✷✼✱✸✸✱✸✹✱✹✸✱✺✺✱✺✽✱✼✷✱✼✸✱✼✻✱✼✽❪✮✳ ❋♦+ ✐♥)%❛♥❝❡✱ ✇❡ )%❛+% %❤❡ )❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣%❡+ ❜② ❝♦♥)✐❞❡+✐♥❣ %❤❡ ✈✐❜+❛%✐♦♥) ♦❢ ❛ ✢❡①✐❜❧❡ )%+✐♥❣ ❥♦✐♥❡❞ ❛% ❡❛❝❤ ♦❢ ✐%) ❡♥❞)✳ ❆❧%❤♦✉❣❤ %❤❡ ❝♦♥%✐♥✉♦✉) ♣+♦❜❧❡♠ ✐) ❡①♣♦♥❡♥%✐❛❧❧② )%❛❜❧❡✱ ✇❡ )❤♦✇ %❤❛% %❤❡ ✜♥✐%❡ ❞✐✛❡+❡♥❝❡ )❡♠✐✲❞✐)❝+❡%❡ ♣+♦❜❧❡♠ ✐) ♥♦% ✉♥✐❢♦+♠❧② ❡①♣♦♥❡♥%✐❛❧❧② )%❛❜❧❡ ❀ ✐✳❡✳✱ %❤❡+❡ ❞♦❡) ♥♦% ❡①✐)% ❝♦♥)%❛♥%) M ❛♥❞ β > 0 ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥% ♦❢ %❤❡ ❞✐)❝+❡%✐③❛%✐♦♥ ♣❛+❛♠❡%❡+ )✉❝❤ %❤❛% Eh(t)≤ Me−βt, ❛) t → +∞, ✇❤❡+❡ Eh(t)+❡♣+❡)❡♥%) %❤❡ ❡♥❡+❣② ♦❢ %❤❡ )❡♠✐✲❞✐)❝+❡%❡ )②)%❡♠✳ ✾

(19)

❙❡✈❡#❛❧ #❡♠❡❞✐❡) ❛#❡ ♣#♦♣♦)❡❞ ,♦ #❡),♦#❡ ,❤❡ ✉♥✐❢♦#♠ ❞❡❝❛② #❛,❡ ♦❢ ,❤❡ ❞✐)❝#❡,❡ ♣#♦❜❧❡♠) ❧✐❦❡ ❚②❝❤♦♥♦✛ #❡❣✉❧❛#✐③❛,✐♦♥ ❬✸✹✱ ✸✺✱ ✻✹✱ ✼✷❪✱ ❛ ❜✐✲❣#✐❞ ❛❧❣♦#✐,❤♠ ❬✸✷✱ ✺✽❪✱ ❛ ♠✐①❡❞ ✜♥✐,❡ ❡❧❡♠❡♥, ♠❡,❤♦❞ ❬✶✹✱ ✶✾✱ ✷✵✱ ✸✸✱ ✺✻❪✱ ♦# ✜❧,❡#✐♥❣ ,❤❡ ❤✐❣❤ ❢#❡I✉❡♥✲ ❝✐❡) ❬✹✸✱ ✹✾✱ ✼✻❪✳ ❆) ✐♥ ❬✻✹✱ ✼✷❪✱ ✇❡ ✐♥,#♦❞✉❝❡ ❛#,✐✜❝✐❛❧ ♥✉♠❡#✐❝❛❧ ✈✐)❝♦)✐,② ,❡#♠) ✐♥ ,❤❡ ❛♣♣#♦①✐♠❛,✐♦♥ )❝❤❡♠❡) ,♦ #✉❧❡ ♦✉, ,❤❡ ❤✐❣❤ ❢#❡I✉❡♥❝② )♣✉#✐♦✉) ♥✉♠❡#✐❝❛❧ ♦)❝✐❧✲ ❧❛,✐♦♥) ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ #❡),♦#❡ ,❤❡ ✉♥✐❢♦#♠ ❞❡❝❛② #❛,❡ ♦❢ ,❤❡ ❞✐)❝#❡,❡ )❝❤❡♠❡✳ ❍♦✇❡✈❡#✱ ❝♦♥,#❛#② ,♦ ❬✻✹❪ ✇❤❡#❡ ,❤❡ ),❛♥❞❛#❞ ❣❛♣ ❝♦♥❞✐,✐♦♥ ✐) #❡I✉✐#❡❞✱ ✇❡ ♦♥❧② ❛))✉♠❡ ,❤❛, ,❤❡ )♣❡❝,#✉♠ ♦❢ ,❤❡ ♦♣❡#❛,♦# A1/2 )❛,✐)✜❡) ,❤❡ ❣❡♥❡#❛❧✐③❡❞ ❣❛♣ ❝♦♥❞✐,✐♦♥✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐❢ {λk}k≥1 ❞❡♥♦,❡) ,❤❡ )❡, ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡) ♦❢ A 1 2 ❝♦✉♥,❡❞ ✇✐,❤ ,❤❡✐# ♠✉❧,✐♣❧✐❝✐,✐❡)✱ ,❤❡♥ ✇❡ ❛))✉♠❡ ,❤❛, ,❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡#❛❧✐③❡❞ ❣❛♣ ❝♦♥❞✐,✐♦♥ ❤♦❧❞) ✿ ∃M ∈ N∗,∃γ0 > 0, ∀k ≥ 1, λk+M − λk ≥ Mγ0. ❚❤❡ ),❛♥❞❛#❞ ❣❛♣ ❝♦♥❞✐,✐♦♥ ✐) )❛,✐)✜❡❞ ❢♦# ,❤❡ ♣❛#,✐❝✉❧❛# ❝❛)❡ ✇❤❡♥ M = 1✳ ❚❤❡#❡✲ ❢♦#❡✱ ✐♥ ,❤❡ )❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣,❡#✱ ✇❡ ,#❡❛, ♠♦#❡ ❣❡♥❡#❛❧ ❝♦♥❝#❡,❡ )②),❡♠)✳ ❆❢,❡# #❡❝❛❧❧✐♥❣ ,❤❡ )✉✐,❛❜❧❡ ❝♦♥❞✐,✐♦♥) ❛♥❞ ♦❜)❡#✈❛❜✐❧✐,② ✐♥❡I✉❛❧✐,✐❡) ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞ ,♦ ,❤❡ ❡①♣♦♥❡♥,✐❛❧ ♦# ,❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ),❛❜✐❧✐,② ♦❢ ,❤❡ )♦❧✉,✐♦♥ ♦❢ ♣#♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✶✮✱ ✇❡ )❡❛#❝❤ ❢♦# ❛ )✉✐,❛❜❧❡ ❞✐)❝#❡,❡ )②),❡♠ ✇❤✐❝❤ ❤❛) ,❤❡ )❛♠❡ ❞❡❝❛② ♣#♦♣❡#,✐❡) ✉♥❞❡# ,❤❡)❡ ❝♦♥❞✐,✐♦♥)✳ ❋♦# ,❤✐) #❡❛)♦♥✱ ❛❢,❡# ✜♥❞✐♥❣ ,❤❡ )✉✐,❛❜❧❡ ❞✐)❝#❡,❡ )②),❡♠✱ ✇❡ ✉)❡ ,❤❡ ❞✐)❝#❡,❡ #❡)✉❧, ♦❢ ❬✺✷❪ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡) ,❤❡ ♥❡❝❡))❛#② ❛♥❞ )✉✣❝✐❡♥, ❝♦♥❞✐,✐♦♥) ❢♦# ✇❤✐❝❤ ❛♥ ❛♣♣#♦①✐♠❛,❡ )♦❧✉,✐♦♥ ✐) ❡①♣♦♥❡♥,✐❛❧❧② ),❛❜❧❡✳ ❆) ❢♦# ,❤❡ ✉♥✐❢♦#♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ),❛❜✐❧✐,②✱ ✇❡ ♣#♦✈❡ ❛ #❡)✉❧, ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡) ♥❡❝❡))❛#② ❛♥❞ )✉✣❝✐❡♥, ❝♦♥❞✐,✐♦♥) ❢♦# ✇❤✐❝❤ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ )❡♠✐❣#♦✉♣) ♦❢ ♦♣❡#❛,♦#) ✐) ✉♥✐❢♦#♠❧② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② ),❛❜❧❡✳ ❚♦ ♦✉# ❦♥♦✇❧❡❞❣❡✱ ♦✉# ✇♦#❦ ✐♥ ,❤❡ )❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣,❡# ✐) ,❤❡ ✜#), ♦♥❡ ✇❤✐❝❤ ❛❞❞#❡))❡) ,❤❡ ✉♥✐❢♦#♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ),❛❜✐❧✐,② ♦❢ ,❤❡ ❞✐)❝#❡,❡ )❝❤❡♠❡)✳ ❆) ❢♦# ,❤❡ ❝♦♥✈❡#❣❡♥❝❡ ♦❢ ,❤❡ ❝❤♦)❡♥ ❛♣♣#♦①✐♠❛,❡ )②),❡♠✱ ✇❡ ✉)❡ ❛ ❣❡♥❡#❛❧ ✈❡#)✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❚#♦,,❡#✲❑❛,♦ ❚❤❡♦#❡♠ ♣#♦✈❡❞ ✐♥ ❬✹✺❪ ,♦ )❤♦✇ ,❤❛, ,❤❡ ❞✐)❝#❡,❡ )♦❧✉,✐♦♥ ,❡♥❞) ,♦ ,❤❡ )♦❧✉,✐♦♥ ♦❢ ✭✵✳✶✳✶✮ ❛) ,❤❡ ❞✐)❝#❡,✐③❛,✐♦♥ ♣❛#❛♠❡,❡# ❣♦❡) ,♦ ③❡#♦ ❛♥❞ ✐❢ ,❤❡ ✶✵

(20)

❞✐"❝$❡&❡ ✐♥✐&✐❛❧ ❞❛&❛ ❛$❡ ✇❡❧❧ ❝❤♦"❡♥✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❡♥❞ ✉♣ &❤❡ "❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣&❡$ ❜② "♦♠❡ ✐❧❧✉"&$❛&✐✈❡ ❡①❛♠♣❧❡" ✇❤✐❝❤ "❤♦✇ &❤❡ ❧✐♠✐&" ♦❢ &❤❡ ♣$❡✈✐♦✉" ✇♦$❦ ❞♦♥❡ ❝♦♥❝❡$♥✐♥❣ &❤❡ ❛♣♣$♦①✐♠❛&✐♦♥" ❛♥❞ ✈❛❧✉❡" &❤❡ ❛&&❛✐♥❡❞ $❡"✉❧&" ♦❢ &❤❡ "❡❝♦♥❞ ❝❤❛♣&❡$✳

■♥ &❤❡ &❤✐$❞ ❝❤❛♣&❡$✱ ✇❡ ♠♦✈❡ ♦♥ &♦ ❛♥♦&❤❡$ "✉❜❥❡❝& ✇❤✐❝❤ &$❡❛&" &❤❡ "&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♦❢ ✇❛✈❡ ❡=✉❛&✐♦♥" ✇✐&❤ ✐♥❞❡✜♥✐&❡ "✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣✳ ❆" ✐♥ ❬✶❪✱ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ &❤❡ "&❛❜✐❧✐&② ♦❢ &✇♦ ♣$♦❜❧❡♠"✳ ❲❡ ❝♦♥"✐❞❡$ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥"✐♦♥❛❧ ✇❛✈❡ ❡=✉❛&✐♦♥ ✇✐&❤ ❛♥ ✐♥❞❡✜♥✐&❡ "✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ❛♥❞ ❛ ③❡$♦ ♦$❞❡$ ♣♦&❡♥&✐❛❧ &❡$♠ ✇❤✐❝❤ ✐" ✐♥&❡$♥❛❧❧② ❞❛♠♣❡❞ ♦❢ &❤❡ ❢♦$♠

utt(x, t)− uxx(x, t) + 2χ(0,1)(x)ut(x, t) + 2αχ(−1,0)(x)ut(x, t) = 0, x∈ (−1, 1), t > 0,

u(1, t) = u(−1, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x),

✭✵✳✶✳✷✮ ✇❤❡$❡ α ✐" ❛ ❣✐✈❡♥ ❝♦♥"&❛♥&✳ ❇❡"✐❞❡"✱ ✇❡ ❝♦♥"✐❞❡$ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥"✐♦♥❛❧ ✇❛✈❡ ❡=✉❛&✐♦♥ ✇✐&❤ ❛♥ ✐♥❞❡✜♥✐&❡ "✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ✐" ❜♦&❤ ✐♥&❡$♥❛❧❧② ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❛$② ❞❛♠♣❡❞ ✉♥❞❡$ &❤❡ ❢♦$♠ utt(x, t)− uxx(x, t) + aut(x, t) = 0, x∈ (0, 1), t > 0, u(0, t) = 0, ux(1, t) =−but(1, t), t > 0, u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), ✭✵✳✶✳✸✮ ✇❤❡$❡ a, b ∈ R✳

■& ✐" ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ &❤❛& ♣$♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮ ✐" ❡①♣♦♥❡♥&✐❛❧❧② "&❛❜❧❡ ✐❢ &❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ &❡$♠ α ✐" ♥♦♥✲♥❡❣❛&✐✈❡ ✭"❡❡ ❬✷✸❪✮✳ ❙✐♠✐❧❛$❧②✱ ✐❢ &❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥&" a ❛♥❞ b ❛$❡ ❜♦&❤ ♣♦"✐&✐✈❡✱ &❤❡♥✱ ✉"✐♥❣ ❢♦$ ✐♥"&❛♥❝❡ ✐♥&❡❣$❛❧ ✐♥❡=✉❛❧✐&✐❡"✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ♣$♦✈❡ &❤❛& ✭✵✳✶✳✸✮ ✐" ❛❧"♦ ❡①♣♦♥❡♥&✐❛❧❧② "&❛❜❧❡✳ ■♥ &❤❡ &❤✐$❞ ❝❤❛♣&❡$✱ ✇❡ ❛$❡ ✐♥&❡$❡"&❡❞ ✐♥ &❤❡ ❝❛"❡ ✇❤❡♥ &❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ &❡$♠" ❛$❡ ❛❧❧♦✇❡❞ &♦ ❝❤❛♥❣❡ &❤❡✐$ "✐❣♥✳ ❖✉$ ❛✐♠ ✐" &♦ ❛♥❛❧②③❡ &♦ ✇❤❛& ❡①&❡♥& &❤❡ ✈❛$✐❛&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ "✐❣♥ ❛✛❡❝&" &❤❡ "&❛❜✐❧✐&② ♦❢ &❤❡ ♣$♦❜❧❡♠✳

O$♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇$✐&&❡♥ ❛" ❛ "②"&❡♠ ♦❢ &❤❡ ❢♦$♠ Ut = AαU ✇❤❡$❡ U =

(21)

(u, ut)⊤ ❛♥❞ #❤❡ ♦♣❡(❛#♦( Aα : D(Aα)→ X ✐* ❞❡✜♥❡❞ ❜② Aα =   0 I d2 dx2 −2χ(0,1)− 2αχ(−1,0)   ✇❤❡(❡ #❤❡ ❡♥❡(❣② *♣❛❝❡ X = H1 0(−1, 1) × L2(−1, 1) ✐* ❡1✉✐♣♣❡❞ ✇✐#❤ #❤❡ ✉*✉❛❧ ✐♥♥❡( ♣(♦❞✉❝# ❞❡✜♥❡❞ ❜② < (f, g)⊤, (u, v)⊤>= Z 1 −1 (f′u′+ gv)dx, ❛♥❞ D(Aα) = (H2(−1, 1) ∩ H01(−1, 1)) × H01(−1, 1). ■♥ #❤✐* ❝❛*❡✱ #❤❡ ❡♥❡(❣② ❛**♦❝✐❛#❡❞ ✇✐#❤ ♣(♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮✱ ❛# #✐♠❡ #✱ ✐* ❣✐✈❡♥ ❜② E1(t) = 1 2 Z 1 −1 (|ux(x, t)|2+|ut(x, t)|2)dx  ✇✐#❤ E1′(t) =−2 Z 1 0 |u t(x, t)|2dx + α Z 0 −1|u t(x, t)|2dx  , ∀(u0, u1)∈ D(Aα). ❚❤❡(❡❢♦(❡✱ ✇❤❡♥ α < 0✱ #❤❡ ❞✐**✐♣❛#✐♦♥ ♦❢ #❤❡ ❡♥❡(❣② ✐* ♥♦# #(✐✈✐❛❧✳ ▼♦(❡♦✈❡(✱ #❤❡ ❝❧❛**✐❝❛❧ #❡❝❤♥✐1✉❡* ✇❤✐❝❤ ❛(❡ ♥♦(♠❛❧❧② ❡♠♣❧♦②❡❞ #♦ *#✉❞② #❤❡ *#❛❜✐❧✐③❛#✐♦♥ ❧✐❦❡ ♠✉❧#✐♣❧✐❡(* ♠❡#❤♦❞✱ ❡♥❡(❣② ❛♥❞ (❡*♦❧✈❡♥# ♠❡#❤♦❞* ❝❛♥♥♦# ❜❡ ✇❡❧❧ ✐♥✈♦❦❡❞ ✐♥ #❤✐* ❝❛*❡ *✐♥❝❡ #❤❡*❡ ♠❡#❤♦❞* ❛(❡ ❜❛*❡❞ ♦♥ ❡*#✐♠❛#✐♦♥* ✇❤✐❝❤ ✐♥✈♦❧✈❡ #❤❡ ❛❜*♦❧✉#❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ #❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥#*✳ ❚❤❡(❡❢♦(❡✱ #❤❡ 1✉❡*#✐♦♥ ♦❢ #❤❡ *#❛❜✐❧✐#② ♦❢ #❤❡ *♦❧✉#✐♦♥ ♦❢ ✭✵✳✶✳✷✮ ✐♥ #❤❡ ❝❛*❡ ♦❢ α < 0 ❜❡❝♦♠❡* ♠♦(❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ♠♦#✐✈❛#✐♦♥ ❜❡❤✐♥❞ #❤✐* 1✉❡*#✐♦♥ *#❛(#❡❞ ✇✐#❤ ❛ ❝♦♥❥❡❝#✉(❡ ✐♥ ❬✷✶❪ ❜② ❈❤❡♥ ❡# ❛❧✳ ✇❤♦ ❝♦♥*✐❞❡(❡❞ #❤❡ ✐♥#❡(♥❛❧❧② ✐♥❞❡✜♥✐#❡ *✐❣♥ ❞❛♠♣❡❞ ✇❛✈❡ ❡1✉❛#✐♦♥ ♦❢ #❤❡ ❢♦(♠ utt− uxx+ 2a(x)ut = 0, x∈ (0, 1), t > 0, ✭✵✳✶✳✹✮ ✶✷

(22)

✇✐"❤ $"❛♥❞❛(❞ ✐♥✐"✐❛❧ ❝♦♥❞✐"✐♦♥$ ❛♥❞ ❉✐(✐❝❤❧❡" ❜♦✉♥❞❛(② ❝♦♥❞✐"✐♦♥$✳ ■" ✇❛$ ❝♦♥❥❡❝"✉(❡❞ "❤❛" ✐❢ "❤❡(❡ ❡①✐$"$ $♦♠❡ γ > 0 $✉❝❤ "❤❛" ❢♦( ❡✈❡(② n ∈ N "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✐$ $❛"✐$✜❡❞ In= Z 1 0 a(x) sin2(nπx)dx≥ γ, ✭✵✳✶✳✺✮ "❤❡♥ "❤❡ ❡♥❡(❣② ❞❡❝❛②$ ❡①♣♦♥❡♥"✐❛❧❧②✳ ❚❤❡ ❤②♣♦"❤❡$✐$ ✐♠♣♦$❡❞ ♦♥ "❤❡ ✉♥✐❢♦(♠ ♣♦✲ $✐"✐✈✐"② ♦❢ In ✐♥ ✭✵✳✶✳✺✮ ②✐❡❧❞$ "❤❡ ♣♦$✐"✐✈✐"② ♦❢ "❤❡ ❛✈❡(❛❣❡ a0 ♦❢ a $✐♥❝❡ In→ a0, ❛$ n→ +∞✳ ❍♦✇❡✈❡(✱ ❋(❡✐"❛$ ✐♥ ❬✷✽❪ ❞✐$♣(♦✈❡$ "❤❡ ❝♦♥❥❡❝"✉(❡ ♦❢ ❈❤❡♥ ❡" ❛❧✳ ❍❡ $❤♦✇$ "❤❛" ✭✵✳✶✳✺✮ ✐$ ♥♦" $✉✣❝✐❡♥" "♦ ❣✉❛(❛♥"❡❡ "❤❡ ❡①♣♦♥❡♥"✐❛❧ $"❛❜✐❧✐"②✳ ❍❡ ✜♥❞$ ♦✉" "❤❛" ✐❢ kakL∞ ✐$ ❧❛(❣❡ "❤❡♥ "❤❡(❡ ♠❛② ❡①✐$" $♦♠❡ ♣♦$✐"✐✈❡ (❡❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡$ ✭$❡❡ ❚❤❡♦(❡♠ ✸✳✻ ♦❢ ❬✷✽❪✮✳ ❙♦ ❧❛"❡( ♦♥✱ ❋(❡✐"❛$ ❛♥❞ ❩✉❛③✉❛ ✐♥ ❬✸✵❪ $✉❣❣❡$" (❡♣❧❛❝✐♥❣ "❤❡ ❢✉♥❝"✐♦♥ a(x)✐♥ ✭✵✳✶✳✹✮ ❜② ǫa(x) ✇✐"❤ ǫ > 0 $♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤✳ ■♥ "❤✐$ ❝❛$❡✱ "❤❡ ❡①♣♦♥❡♥"✐❛❧ $"❛❜✐✲ ❧✐"② ✐$ ♣(♦✈❡❞ ✉♥❞❡( ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✭✵✳✶✳✺✮ ❛♥❞ "❤❡ ❛❞❞✐"✐♦♥❛❧ ❝♦♥❞✐"✐♦♥ a ∈ L∞(0, 1)∩BV $♦ "❤❛" ✐"$ ❞❡(✐✈❛"✐✈❡ ✐$ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ "❤❡ ✇❡❛❦ $❡♥$❡✳ ❋✉("❤❡(♠♦(❡✱ ✐♥ ❬✺✶❪✱ "❤❡ ❛✉"❤♦($ ✜♥❞ ❛♥ ✉♣♣❡( ❜♦✉♥❞ ♦❢ ǫ ❢♦( ✇❤✐❝❤ "❤❡ ♣(♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡$ ❡①♣♦♥❡♥"✐❛❧❧② $"❛❜❧❡ ✉♥❞❡( ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✭✵✳✶✳✺✮ ❛♥❞ "❤❡ ❛$$✉♠♣"✐♦♥ "❤❛" a ∈ L∞(0, 1)✇✐"❤♦✉" "❤❡ ♥❡❡❞ ❢♦( "❤❡ ❛$✲ $✉♠♣"✐♦♥ "❤❛" a ∈ BV ✳ ❖♥ "❤❡ ♦"❤❡( ❤❛♥❞✱ ✐♥ ❬✺✼❪✱ ❘❛❝❦❡ ❛♥❞ ❘✐✈❡(❛ ❤❛✈❡ (❡♠♦✈❡❞ "❤❡ ❢❛❝"♦( ǫ ❛♥❞ ❝♦♥$✐❞❡(❡❞ "❤❡ ✇❛✈❡ ❡U✉❛"✐♦♥ utt− uxx+ a(x)ut = 0 ♦♥ (0, L) ❢♦( $♦♠❡ L > 0 ✇❤❡(❡ a ∈ L∞(0, L) ✐$ ❛❧❧♦✇❡❞ "♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐"$ $✐❣♥ $✉❝❤ "❤❛" ✐"$ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡ a0 (❡♠❛✐♥$ ♣♦$✐"✐✈❡✳ ■♥ ❬✺✼❪✱ "❤❡ ❡①♣♦♥❡♥"✐❛❧ $"❛❜✐❧✐"② ✐$ ♣(♦✈❡❞ ✉♥❞❡( ♦♥❡ ♦❢ "❤❡$❡ ❝♦♥❞✐"✐♦♥$ ✿ ❊✐"❤❡( kakL∞ ✐$ ♣♦$$✐❜❧② ❧❛(❣❡ ✇✐"❤ $✉✣❝✐❡♥"❧② $♠❛❧❧ ka − a0kL2 ♦( kakL∞ ✐$ $✉✣❝✐❡♥"❧② $♠❛❧❧ ❜✉" "❤❡ ♣❛✐( (a, L) ❤❛$ "♦ $❛"✐$❢② $♦♠❡ ❡$"✐♠❛"❡$ ✇❤❡(❡ ✐" ✐$ ♣♦$$✐❜❧❡ "♦ ❣❡" ❛ ♥❡❣❛"✐✈❡ ♠♦♠❡♥" Ik✳ ■♥ "❤❡ "❤✐(❞ ❝❤❛♣"❡(✱ ♦✉( ✇♦(❦ ❞✐✛❡($ ❢(♦♠ "❤❡ ♣(❡✈✐♦✉$ (❡$✉❧"$ $✐♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦" ✇❛♥" "♦ ✐♠♣♦$❡ ♥❡✐"❤❡( ❛ $♠❛❧❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ "❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❢❛❝"♦( a ♥♦( ❛ $♠❛❧❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ka − a0kL2✳ ■♥❞❡❡❞ ❢♦( $②$"❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮✱ "❤✐$ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡ ✐$ ❡U✉❛❧ "♦ √2|1 − α| ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞♦ ♥♦" ♥❡❡❞ "♦ ❜❡ $✉✣❝✐❡♥"❧② $♠❛❧❧✳ ▼♦(❡♦✈❡(✱ "❤❡ ✉♣♣❡( ❜♦✉♥❞ ♦❢ ǫ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬✺✶❪ ✶✸

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✐! ♥♦$ ❡❛!② $♦ ❝❤❡❝❦ ❢♦, !②!$❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮✳ ❋,♦♠ $❤❡ ❛!②♠♣$♦$✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦, ♦❢ $❤❡ !♣❡❝$,✉♠ ♦❢ Aα✱ ✇❡ ✜♥❞ $❤❛$✱ ❛❝❝♦,❞✐♥❣ $♦ $❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ α✱ ♣,♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✷✮ ✐! ❡✐$❤❡, ✉♥!$❛❜❧❡ ♦, ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧❧② !$❛❜❧❡✳ ❯!✐♥❣ ❞❡$❛✐❧❡❞ !♣❡❝$,❛❧ ❛♥❛❧②!✐!✱ ✇❡ ✜♥❞ $❤❡ ❝❤❛,❛❝$❡,✐!$✐❝ ❡A✉❛$✐♦♥ !❛$✐!✜❡❞ ❜② $❤❡ ❡✐❣❡♥✲ ✈❛❧✉❡! ♦❢ Aα ❛♥❞ $❤❡♥ ✇❡ !❤♦✇ $❤❛$ $❤❡ ,♦♦$ ✈❡❝$♦,! ♦❢ Aα ❢♦,♠ ❛ ❘✐❡!③ ❜❛!✐! ♦❢ $❤❡ ❡♥❡,❣② !♣❛❝❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ✜♥❞ ❛ ❝,✐$✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ α ❢♦, ✇❤✐❝❤ $❤❡ !♦❧✉$✐♦♥ ♦❢ ✭✵✳✶✳✷✮ ❜❡❝♦♠❡! ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧❧② !$❛❜❧❡✳ ❆❧$❤♦✉❣❤ $❤❡ ❝,✐$✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✜♥❞ ❢♦, α ✐! ♥♦$ ♦♣$✐♠❛❧✱ $❤✐! ✈❛❧✉❡ ,❡♠❛✐♥! ❝♦❤❡,❡♥$ ✇✐$❤ $❤❛$ ❣✐✈❡♥ ❜② $❤❡ ♣❡,$✉,❜❛$✐♦♥ $❤❡♦,② ♦❢ !❡♠✐❣,♦✉♣!✳ ■♥ $❤❡ $❤✐,❞ ❝❤❛♣$❡,✱ ✇❡ ♣❡,❢♦,♠ ❛ !✐♠✐❧❛, ❛♥❛❧②!✐! ❢♦, ♣,♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✸✮✳ ❆! ✉!✉❛❧✱ ❜② $❤❡ !$❛♥❞❛,❞ ,❡❞✉❝$✐♦♥ ♦❢ ♦,❞❡, ♠❡$❤♦❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ,❡✇,✐$❡ ❢♦,♠❛❧❧② ✭✵✳✶✳✸✮ ✐♥ $❤❡ !✐♠♣❧❡, ❢♦,♠ Ut = AaU✱ ✇✐$❤ U = (u, ut)⊤ ❛♥❞ $❤❡ ♦♣❡,❛$♦, Aa : D(Aa) → X ✐! ❞❡✜♥❡❞ ❜② Aa =   0 I d2 dx2 −a   ✭✵✳✶✳✻✮ ✇❤❡,❡ $❤❡ ❡♥❡,❣② !♣❛❝❡ X = Hl(0, 1)× L2(0, 1) ✐! ❡A✉✐♣♣❡❞ ✇✐$❤ $❤❡ ✉!✉❛❧ ✐♥♥❡, ♣,♦❞✉❝$ ❞❡✜♥❡❞ ❜② < (f, g)⊤, (u, v)>= Z 1 0 (f′u+ gv) dx,

✇❤❡,❡ Hl(0, 1) = {u ∈ H1(0, 1); u(0) = 0} ❛♥❞ $❤❡,❡❢♦,❡✱ D(Aa) = {(u, v)⊤ ∈

H2(0, 1)∩ H l(0, 1)× Hl(0, 1); ux(1) =−bv(1)}✳ ❚❤❡ ❡♥❡,❣② ♦❢ ✭✵✳✶✳✸✮ ✐! ❣✐✈❡♥ ❜② E2(t) = 1 2 Z 1 0 |u t|2+|ux|2  dx, ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❢♦,♠❛❧❧② E2′(t) =−a Z 1 0 |u t|2dx− b|ut(1)|2. ✶✹

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❋!♦♠ $❤✐' ✐❞❡♥$✐$②✱ ✇❡ !❡♠❛!❦ $❤❛$ Aa ✐' ♥♦$ ♥❡❝❡''❛!✐❧② ❞✐''✐♣❛$✐✈❡ ✇❤❡♥ ab < 0✳ ❚❤❡!❡❢♦!❡✱ ✇❡ ❛!❡ ✐♥$❡!❡'$❡❞ ✐♥ $❤❡ ❝❛'❡ ✇❤❡♥ a ❛♥❞ b ❛!❡ ♦❢ ♦♣♣♦'✐$❡ '✐❣♥'✳ ◆♦$❡ $❤❛$ ❢♦! '✉❝❤ ❛ ♣!♦❜❧❡♠✱ ♣❡!$✉!❜❛$✐♦♥ $❤❡♦!② ♦❢ ❝♦♥$!❛❝$✐✈❡ '❡♠✐❣!♦✉♣' ❝❛♥♥♦$ ❜❡ ✇❡❧❧ ✐♥✈♦❦❡❞✳ ❯'✐♥❣ ❞❡$❛✐❧❡❞ '♣❡❝$!❛❧ ❛♥❛❧②'✐'✱ ✇❡ ✜♥❞ $❤❡ ❝♦♥❞✐$✐♦♥' $❤❛$ a ❛♥❞ b ♠✉'$ '❛$✐'❢② '♦ $❤❛$ ♣!♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✸✮ ❜❡❝♦♠❡' ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧❧② ♦! ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② '$❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ♣❛!$✐❝✉❧❛! ❝❛'❡ b ∈ (−1, 0) ❛♥❞ a > 0 !❡$❛✐♥' ♦✉! ❛$$❡♥$✐♦♥ ✇❤❡!❡ ✇❡ ✜♥❞ ♦♣$✐♠❛❧ !❡'✉❧$' ❢♦! ✇❤✐❝❤ ✭✵✳✶✳✸✮ ✐' ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧❧② ♦! ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❧② '$❛❜❧❡✳ ❋✐♥❛❧❧② ✐♥ $❤❡ ❢♦✉!$❤ ❝❤❛♣$❡!✱ ❛' ✐♥ ❬✷❪✱ ✇❡ ❣❡♥❡!❛❧✐③❡ $❤❡ ❛♥❛❧②'✐' ♦❢ $❤❡ $❤✐!❞ ❝❤❛♣$❡! $♦ '$✉❞② $❤❡ ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧ '$❛❜✐❧✐$② ♦❢ $❤❡ ✇❛✈❡ ❡G✉❛$✐♦♥ ♦♥ ❛ '$❛! '❤❛♣❡❞ ♥❡$✇♦!❦ ✇✐$❤ ✐♥❞❡✜♥✐$❡ '✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ✇❤✐❝❤ ✐' ♦❢ $❤❡ ❢♦!♠                                ui tt(x, t)− uixx(x, t) + 2ǫai(x)uit(x, t) = 0, x∈ (0, Li), t > 0, ui(L i, t) = 0, ui(0, t) = uj(0, t), ∀i 6= j, N X i=1 uix(0, t) = 0, ui(x, 0) = ui 0(x), x∈ (0, Li), ui x(x, 0) = ui1(x), x∈ (0, Li). ✭S1✮ ✇❤❡!❡ Li ∈ R+✱ ❛♥❞ ai ∈ W1,∞(0, Li)✳ ❲❡ ❢✉!$❤❡! ❝♦♥'✐❞❡! $❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤②♣♦$❤❡'✐' ♦♥ $❤❡ ❣❡♦♠❡$!② ♦❢ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✿ ✭❍✮ ❚❤❡!❡ ❡①✐'$' q ∈ N∗ '✉❝❤ $❤❛$ ❢♦! ❛❧❧ i = 2, ..., N✱ $❤❡!❡ ❡①✐'$' p i ∈ N∗ ✇❤❡!❡ Li = pi qL1✳ ■♥ $❤❡ ✜!'$ ♣❛!$ ♦❢ $❤❡ ❢♦✉!$❤ ❝❤❛♣$❡!✱ ✇❡ '$✉❞② $❤❡ '$❛❜✐❧✐$② ♦❢ '②'$❡♠ ✭S1✮ ✇❤❡♥ ǫ = 1✳ ❲❡ ❣✐✈❡ ♥❡❝❡''❛!② ❛♥❞ '✉✣❝✐❡♥$ ❝♦♥❞✐$✐♦♥' ❢♦! ✇❤✐❝❤ '②'$❡♠ ✭S1✮ ❜❡❝♦♠❡' ❡①♣♦♥❡♥$✐❛❧❧② '$❛❜❧❡ ✉♣ $♦ ❛ ✜♥✐$❡ ❞✐♠❡♥'✐♦♥❛❧ '♣❛❝❡✳ ❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐' ✐♥'♣✐!❡❞ ❢!♦♠ ❬✻✺❪ ✇❤❡!❡ $❤❡ ❝❤❛!❛❝$❡!✐'$✐❝ ❡G✉❛$✐♦♥ ♦❢ ✭S1✮ ✐' ❛♣♣!♦①✐♠❛$❡❞ ❜② ❛♥♦$❤❡! ❢✉♥❝$✐♦♥ ✉'✐♥❣ $❤❡ '❤♦♦$✐♥❣ ♠❡$❤♦❞✳ ❚❤✐' ❛♣♣!♦①✐♠❛$✐♦♥ ❛❧❧♦✇' ✉' $♦ ❞❡$❡❝$ $❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦! ♦❢ $❤❡ ✶✺

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❤✐❣❤ ❢$❡&✉❡♥❝✐❡* ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❞❡❞✉❝❡ -❤❡ ❝♦♥❞✐-✐♦♥* ♦♥ -❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥-* ai ❢♦$ ✇❤✐❝❤ -❤❡ ❤✐❣❤ ❢$❡&✉❡♥❝✐❡* ❛$❡ *✐-✉❛-❡❞ -♦ -❤❡ ❧❡❢- ♦❢ -❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛$② ❛①✐*✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛❢-❡$ ✇❡ ♣$♦✈❡ -❤❛- -❤❡ ❣❡♥❡$❛❧✐③❡❞ $♦♦- ✈❡❝-♦$* ❢♦$♠ ❛ ❘✐❡*③ ❜❛*✐* ✇✐-❤ ♣❛$❡♥-❤❡*❡*✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ -❤❡ ❡①♣♦♥❡♥-✐❛❧ *-❛❜✐❧✐-② ♦❢ ✭S1✮ ✉♣ -♦ ❛ ✜♥✐-❡ ❞✐♠❡♥*✐♦♥❛❧ *♣❛❝❡ ❣❡♥❡$❛-❡❞ ❜② -❤❡ $♦♦-* ✈❡❝-♦$* ♦❢ -❤❡ ❧♦✇ ❢$❡&✉❡♥❝✐❡*✳ ■♥ -❤❡ ✜$*- ♣❛$-✱ ✇❤❡♥ N = 2✱ ✇❡ $❡❝♦✈❡$ -❤❡ $❡*✉❧- ♦❢ ❚❤❡♦$❡♠ ✸✳✷✳✶ ♦❢ -❤✐* -❤❡*✐*✳ ■♥ -❤❡ *❡❝♦♥❞ ♣❛$-✱ ✇❡ ❝♦♥*✐❞❡$ *②*-❡♠ ✭S1✮ ✇✐-❤ ǫ ♣♦*✐-✐✈❡ ❜✉- *♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤ *♦ -❤❛- ✇❡ ❡①-❡♥❞ -❤❡ $❡*✉❧-* ♦❢ ❋$❡✐-❛* ❛♥❞ ❩✉❛③✉❛ ✐♥ ❬✸✵❪ ✇❤❡$❡ N = 2✳ ■♥ ❢❛❝-✱ ❢♦$ ǫ > 0 *♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤✱ ✉♥❧✐❦❡ ❬✸✵❪✱ ✇❡ ❞❡❛❧ ✇✐-❤ ♠✉❧-✐♣❧❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡* ✇❤❡♥ *♣❧✐--✐♥❣ ♠❛② ♦❝❝✉$ ❛* ǫ ✐♥❝$❡❛*❡*✳ ❋✐$*-✱ ✇❡ ❝♦♥*✐❞❡$ ai ∈ R ❛♥❞ Li = 1 ❢♦$ ❛❧❧ i = 1, ..., N ❛♥❞ -❤❡♥ ✇❡ ❝♦♥*✐❞❡$ ai ∈ L∞(0, 1)✳ ■♥ ❢❛❝-✱ ✇❤❡♥ ǫ > 0 *♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤✱ -❤❡ *-✉❞② ♦❢ -❤❡ ❡①♣♦♥❡♥-✐❛❧ *-❛❜✐❧✐-② ♦❢ ✭S1✮ ❡♥-❡$* ✐♥ -❤❡ ❢$❛♠❡✇♦$❦ ♦❢ -❤❡ ❛❜*-$❛❝- -❤❡♦$② ❞♦♥❡ ✐♥ ❬✺✶❪✳ ❯*✐♥❣ -❤❡ ❝♦♥❝❡♣-* ✐♥-$♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬✹✻❪ ❛❜♦✉- -❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦$ ♦❢ -❤❡ *♣❡❝-$✉♠✱ ✇❡ *❤❛❧❧ ✐♥-❡$♣$❡- -❤❡ ❤②♣♦-❤❡*✐* ✐♠♣♦*❡❞ ✐♥ ❬✺✶❪ -♦ ✜♥❞ ❡①♣❧✐❝✐- ❝♦♥❞✐-✐♦♥* ♦♥ -❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥-* ❢♦$ ✇❤✐❝❤ ✭S1✮ ✐* ❡①♣♦♥❡♥-✐❛❧❧② *-❛❜❧❡✳ ■♥ -❤❡ ♣$❡*❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❘✐❡*③ ❜❛*✐* ✇✐-❤ ♣❛$❡♥-❤❡*✐*✱ ✇❡ *❡❛$❝❤ ❢♦$ *✉✣❝✐❡♥- ❝♦♥❞✐-✐♦♥* ❢♦$ ✇❤✐❝❤ -❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡* ❛$❡ *✐-✉❛-❡❞ *-$✐❝-❧② -♦ -❤❡ ❧❡❢- ♦❢ -❤❡ ✐♠❛❣✐♥❛$② ❛①✐*✳ ❲❡ ✜♥❞ ♦✉- -❤❛- -❤❡ ♣♦*✐-✐✈✐-② ♦❢ -❤❡ ♠❡❛♥ ♦❢ -❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥-* ✐* ♥♦- ❡♥♦✉❣❤ -♦ ❣✉❛$❛♥-❡❡ -❤❡ ❡①♣♦♥❡♥-✐❛❧ *-❛❜✐❧✐-② ♦❢ ✭S1✮ ✐♥ -❤❡ ✇❤♦❧❡ ❡♥❡$❣② *♣❛❝❡✳ ■♥ -❤✐* *❡❝♦♥❞ ♣❛$-✱ ✇❡ $❡❝♦✈❡$ -❤❡ $❡*✉❧- ♦❢ ❚❤❡♦$❡♠ ✷✳✶ ♦❢ ❬✸✵❪ ✇❤❡♥ -❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥- ✐* ♣✐❡❝❡✇✐*❡ ❝♦♥*-❛♥- ❜✉-✇✐-❤♦✉- -❤❡ ❛**✉♠♣-✐♦♥ ♦♥ -❤❡ ♣♦*✐-✐✈✐-② ♦❢ -❤❡ ✐♥-❡❣$❛❧* In❣✐✈❡♥ ✐♥ ✭✵✳✶✳✺✮✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❡♥❞ ✉♣ -❤❡ ❢♦✉$-❤ ❝❤❛♣-❡$ ❜② ❣✐✈✐♥❣ *♦♠❡ ❝♦♥❝$❡-❡ ❡①❛♠♣❧❡* ♦❢ {ai}Ni=1 ❛♥❞ N✳ ✶✻

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❋♦" ♠♦"❡ ❝♦❤❡"❡♥❝❡✱ ✇❡ *✉♠♠❛"✐③❡ /❤❡ ♠❛✐♥ ❣♦❛❧* ❛♥❞ /❤❡ ♥❡✇ "❡*✉❧/* ❛//❛✐♥❡❞ ✐♥ /❤✐* 3❤✳❉✳ /❤❡*✐* ✐♥/♦ /❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦✐♥/* ✿ ✭✐✮ ❙❡❛"❝❤ ❢♦" ❛ *✉✐/❛❜❧❡ ❛♣♣"♦①✐♠❛/❡ *②*/❡♠ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥✈❡"❣❡* /♦✇❛"❞* ♣"♦❜❧❡♠ ✭✵✳✶✳✶✮ ❛♥❞ ❤❛* /❤❡ *❛♠❡ ❞❡❝❛② ♣"♦♣❡"/✐❡* ❛* ✭✵✳✶✳✶✮ ✐♥ /❤❡ ♣"❡*❡♥❝❡ ♦❢ /❤❡ ❣❡♥❡"❛❧✐③❡❞ ❣❛♣ ❝♦♥❞✐/✐♦♥✳ ✭✐✐✮ ❆♥❛❧②③❡ /❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ /❤❡ ❞✐*❝"❡/❡ *❝❤❡♠❡* ✇❤❡♥ /❤❡ ❝♦♥/✐♥✉♦✉* ♣"♦❜❧❡♠ ❤❛* *✉❝❤ ❛ ❞❡❝❛② ❛♥❞ ♣"♦✈❡ ❛ "❡*✉❧/ ❛❜♦✉/ ✉♥✐❢♦"♠ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ */❛❜✐❧✐/② ❢♦" ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ *❡♠✐❣"♦✉♣* ♦❢ ♦♣❡"❛/♦"*✳ ✭✐✐✐✮ ❯*❡ ❛ ❣❡♥❡"❛❧ ✈❡"*✐♦♥ ♦❢ /❤❡ ❚"♦//❡"✲❑❛/♦ ❚❤❡♦"❡♠ ♣"♦✈❡❞ ✐♥ ❬✹✺❪ /♦ ♣"♦✈❡ /❤❡ ❝♦♥✈❡"❣❡♥❝❡ ♦❢ /❤❡ ❞✐*❝"❡/❡ *♦❧✉/✐♦♥ /♦✇❛"❞* /❤❡ *♦❧✉/✐♦♥ ♦❢ ✭✵✳✶✳✶✮ ❛* /❤❡ ❞✐*❝"❡/✐③❛/✐♦♥ ♣❛"❛♠❡/❡" ❣♦❡* /♦ ③❡"♦ ❛♥❞ ✐❢ /❤❡ ❞✐*❝"❡/❡ ✐♥✐/✐❛❧ ❞❛/❛ ❛"❡ ✇❡❧❧ ❝❤♦*❡♥✳ ✭✐✈✮ ❙/✉❞② /❤❡ */❛❜✐❧✐/② ♦❢ ✇❛✈❡ ❡K✉❛/✐♦♥* ✐♥ /❤❡ ♣"❡*❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥❞❡✜♥✐/❡ *✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ✇❤❡"❡ /❤❡ ❝❧❛**✐❝❛❧ ♠❡/❤♦❞* ❢♦" */✉❞②✐♥❣ /❤❡ */❛❜✐❧✐③❛/✐♦♥ ❢❛✐❧ /♦ /"❡❛/ *✉❝❤ ♣"♦❜❧❡♠*✳ ✭✈✮ ❈♦♥*✐❞❡" ✐♥❞❡✜♥✐/❡ *✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥/* ✇❤♦*❡ L∞♥♦"♠ ✐* ♥♦/ ♥❡❝❡**❛"✐❧② *♠❛❧❧✳ ✭✈✐✮ ❯*❡ ❞❡/❛✐❧❡❞ *♣❡❝/"❛❧ ❛♥❛❧②*✐* /♦ ✜♥❞ ❝"✐/✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡* ♦❢ /❤❡ ❞❛♠♣✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥/* ❢♦" ✇❤✐❝❤ ✇❛✈❡ ❡K✉❛/✐♦♥* ✇✐/❤ ✐♥❞❡✜♥✐/❡ *✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ ❜❡❝♦♠❡ */❛❜❧❡✳ ✭✈✐✐✮ ●❡♥❡"❛❧✐③❡ /❤❡ ❛♥❛❧②*✐* ♦❢ /❤❡ */❛❜✐❧✐/② ♦❢ ✇❛✈❡ ❡K✉❛/✐♦♥* ✇✐/❤ ✐♥❞❡✜♥✐/❡ *✐❣♥ ❞❛♠♣✐♥❣ /❡"♠* ♦✈❡" ❛ */❛" *❤❛♣❡❞ ♥❡/✇♦"❦✳ ✶✼

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✶✳✶ ❙❡♠✐❣'♦✉♣+

▼♦!" ♦❢ "❤❡ ❡✈♦❧✉"✐♦♥ ❡F✉❛"✐♦♥! ❝❛♥ ❜❡ 2❡❞✉❝❡❞ "♦ "❤❡ ❢♦2♠    ˙x(t) = Ax(t), t > 0, x(0) = x0, ✇❤❡2❡ A ✐! "❤❡ ✐♥✜♥✐"❡!✐♠❛❧ ❣❡♥❡2❛"♦2 ♦❢ ❛ ❈0 !❡♠✐❣2♦✉♣ T (t) ♦✈❡2 ❛ ❍✐❧❜❡2" !♣❛❝❡ H✳ ❚❤❡2❡❢♦2❡✱ ✇❡ !"❛2" ❜② ✐♥"2♦❞✉❝✐♥❣ !♦♠❡ ❜❛!✐❝ ❝♦♥❝❡♣"! ❝♦♥❝❡2♥✐♥❣ "❤❡ !❡♠✐❣2♦✉♣!✳ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✶✳✶✳✶✳ ▲❡" X ❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ )♣❛❝❡✳ ✶✮ ❆ ♦♥❡ ♣❛0❛♠❡"❡0 ❢❛♠✐❧② T (t)✱ t > 0✱ ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛0 ♦♣❡0❛"♦0) ❢0♦♠ X ✐♥"♦ X ✐) ❛ )❡♠✐❣0♦✉♣ ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛0 ♦♣❡0❛"♦0) ♦♥ X ✐❢ ✭✐✮ T (0) = I ❀ ✶✾

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✭✐✐✮ T (t + s) = T (t)T (s) ❢♦% ❡✈❡%② s, t ≥ 0✳ ✷✮ ❆ ,❡♠✐❣%♦✉♣ ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛% ♦♣❡%❛6♦%,✱ T (t)✱ ✐, ✉♥✐❢♦%♠❧② ❝♦♥6✐♥✉♦✉, ✐❢ lim t→0kT (t) − Ik = 0. ✸✮ ❆ ,❡♠✐❣%♦✉♣ T (t) ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛% ♦♣❡%❛6♦%, ♦♥ X ✐, ❛ ,6%♦♥❣❧② ❝♦♥6✐♥✉♦✉, ,❡♠✐❣%♦✉♣ ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧✐♥❡❛% ♦♣❡%❛6♦%, ♦% ❛ ❈0 ,❡♠✐❣%♦✉♣ ✐❢ lim t→0T (t)x = x. ✹✮ ❚❤❡ ❧✐♥❡❛% ♦♣❡%❛6♦% A ❞❡✜♥❡❞ ❜② Ax = lim t→0 T (t)x− x t , ∀x ∈ D(A), ✇❤❡%❡ D(A) =  x∈ X; lim t→0 T (t)x− x t ❡①✐,6,  ✐, 6❤❡ ✐♥✜♥✐6❡,✐♠❛❧ ❣❡♥❡%❛6♦% ♦❢ 6❤❡ ,❡♠✐❣%♦✉♣ T (t)✳ ❚❤❡♦$❡♠ ✶✳✶✳✷✳ ▲❡6 T (t) ❜❡ ❛ ❈0 ,❡♠✐❣%♦✉♣✳ ❚❤❡♥ 6❤❡%❡ ❡①✐,6 ❝♦♥,6❛♥6, ω ≥ 0 ❛♥❞ M ≥ 1 ,✉❝❤ 6❤❛6 kT (t)k ≤ Meωt, ∀t > 0. ■♥ $❤❡ ❛❜♦✈❡ $❤❡♦&❡♠✱ ✐❢ ω = 0✱ $❤❡♥ T (t) ✐- ❝❛❧❧❡❞ ✉♥✐❢♦&♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ✐❢ ♠♦&❡♦✈❡& M = 1✱ $❤❡♥ T (t) ✐- ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❈0 -❡♠✐❣&♦✉♣ ♦❢ ❝♦♥$&❛❝$✐♦♥-✳

❋♦& $❤❡ ❡①✐-$❡♥❝❡ ♦❢ -♦❧✉$✐♦♥-✱ ✇❡ ♥♦&♠❛❧❧② ✉-❡ $❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲✉♠❡&✲(❤✐❧❧✐♣-❚❤❡♦&❡♠ ♦& ❍✐❧❧❡✲❨♦-✐❞❛ ▲✉♠❡&✲(❤✐❧❧✐♣-❚❤❡♦&❡♠✳

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