B ULLETIN DE LA S. M. F.
C. L E P AIGE
Sur les déterminants bordés
Bulletin de la S. M. F., tome 8 (1880), p. 128-132
<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1880__8__128_1>
© Bulletin de la S. M. F., 1880, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http:
//smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/
conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
128 -
Note sur les déterminants bordés; par M. G. LE PAIGE.
(Séance du 2 avril 1880.)
Soit un déterminant symétrique du n^6 ordre
A ==
<ÏH fî^ . . . Otn
^21 ^22 - • • ^î»
ani anî • • • "nn
que Pon peut toujours regarder comme le discriminant d'âne forme quadratique à n variables
/==! a ik'Ti^.
Le déterminant symétrique que l'on obtient en bordant A de
- 129 -
p rangées el de p colonnes composées chacune de n éléments et de p zéros peut toujours se mettre sous une forme assez élégante.
^Nous nous bornerons à le faire voir pour / î = = 5 , ^ = = 3 , afin d'éviter la longueur des formules; mais on s'apercevra aisément que la méthode de démonstration est générale.
Soit
^11 agi
^51
\
/A! Vl
^12
^22
^52
>2
^2
^2
^13
^23
^63
^3
^3
^3
^14
«24
^54
^4
^4
^
^18
^25
^55
^
"0
^0
\
\
^
0 0 0
^1
^2
^0
0 0 0
^1
^2
^3 0 0 0
Soit
la forme adjointe de/1 Multiplions A { par
^2 ^3 ^
F===2A,^<^
A4:
Ail
A«
AS!
0 0 0
A,, . . . A,, . . .
A» ...
0 . . . 0 . . . 0 . . .
A»
A«
A,5
0 0 0
0 0
0
I 0 0
0 0
0 0 I 0
0 0
0 0 0 I
nous aurons
2^^:=
2 A
0
0
\ y'i
v! 0
2A
0
\
^2 V2
0
0
0
>3
^3
^3 0
0
0
>4
^4
^4 0
0
2 A
>5
^S '^
^F(^)
^)ii dF(\)
^î
cITW d^
0 0 0
rfF(^) rffti
^F((.) dy-t
dV[y.}
^
0 0 0
rfFM A, rfF(.)
À,
rfF(v) A,
0 0 0 V 1 1 I .
— 130
Mais il est visible, par le théorème de Laplace, que ce dernier dé- terminant peut se mettre sous la forme de produit de deux déter- minants rectangulaires.
En conséquence,
^ A l A ^ =4 A2
X
^1 ^2
^1 V-î
v! ^ dï{\}
d\
d¥(y.}
^
^F(.)
^i
^ ^4
^3 (^4
"3 v»
rfF(>) .•n, rfF((x)
^V-î df(.)
d^
\
^
V6
fIT d d¥
^
dî d
^}
^3 (f)
^3 (")
•'3
rfF(>) (<),4 rfF(p)
dy.,,
dF(v)
,h,
dT(\}
^
dF(,x)
^5
rfF(v)
^s
En appliquant la règle de multiplicalion à ces deux détermi- nants rectangulaires, on trouve
V^/^W V),/^l V^^-i
^1 ' (^A( / J </pl; ^^ A;
î , V ^^^î Y ^^f) V fiv('
A . A ^ ^ ^ ^^^ ^f t' ^ 2 ^ ' ^^t
rfF(a
V ,
rfFrfF(^)^ V ,
rfF(
tt) V
^F(zZ ' ^ T - 2/'^T 2r/^' ^j '^'
/ ^, ^ ^,
En général, si nous désignons par D le déterminant fonctionnel du second membre, nous aurons
ou
2" Ai A"-1 == '2.n~^) A^'^D
^ A l A ^ r r r D .
Cette relation est Lien connue pour^== i. Elle donne, par exemple, l'équation langentielle d'une conique ou d'une surface du second degré dont on connaît l'équation en coordonnées ponctuelles.
Pour n === 4» p === 2? elle a été employée par Hesse dans la théorie des surfaces du second ordre (<) .
Cependant la manière dont l'illustre géomètre démontre l'iden-
(') Forîesunfçen liber analytîsche Géométrie des RaumeSy 3"' AuO., S. 179.
lité des équations
D == o. Ai == o
semblerait porter à croire que le théorème général ne lui était pas connu.
Cette même propriété, pour n ==3, p== 2, a été employée par Clebsch(<).
Enfin, pour p === 2, n quelconque, elle résulte, comme Fa fait voir M. Salmon (2 ), d'une propriété générale des mineurs du second ordre d'un déterminant; mais cette démonstration n'est plus appli- cable dès que p surpasse 2.
Si l'on observe que
^11 a\ï ai3 ^l |
W =
a^ a^ a^ ^
^31 ^3Î ^33 \ P-i ^2 ^3 ^
: > i ^ A n - h ^ ^ A i 2 - + - . . .-+-\^A^
= = ) . i ( ^ A n 4 - ^ A l a ) 4- ^A^}-}-. . .,
on voit que
m \ l \^ dvl-^
^)=:^,-^.
Cette relation s'applique naturellement aux déterminants d'ordre quelconque.
Par suite, la formule donnée plus haut peut encore s'écrire
<y(^) <?()^) ^(\v)
A ^ \ a ) = S(^) rJ(^) ^v)
^ ( ^ ) ^(^) (?(w)
et, en général,
A^-1^, ^ V , ..., C T ) = = = L [ < y ( ^ ) ^ ( ^ ) ( y ( w ) . . . ^ ( C T C T ) ] .
Une démonstration absolument semblable donnerait le j-héo- rème plus général
1 ^ , V ) S(\^) / ^ A ,
AP-Î / ^ , . . . , r r v ' ^ ^ . . . . " J -
S(f..V) S(^y.')
5{r,,V) S(^y.')
S(^')
(') Vorlesungeit uber Géométrie, i"1" B., a'^Theil, S. 909.
(') Lessons on hi^her Aîgehra, ffi éd., p. 29,
9-
- 432 -
Sous cette dernière forme, on voit que la relation supplique encore lorsque le déterminant A n^st pas symétrique.
On a donc ce théorème général :
Le produit du déterminant que l'on obtient en bordant un déterminant du n^"^ ordre A, de p colonnes de n éléments
\, p., ..., t7 et de p rangées X', ^', ..., CT', par la puissance p— i de A, est égal à un déterminant dup16^ ordre dont les éléments sont les formes bilinéaires obtenues en bordant A d'une colonne et d'une rangée prises dans les ip lignes X, ^x,..., rs\ V, y!^ ..., CT'.
Nous pensons que cette relation, tout au moins sous sa forme générale, n'est pas connue; du moins ne l'avons-nous point ren- contrée jusqu'ici.
Elle se prête à différentes applications à la théorie des formes algébriques et à la Géométrie.
