Partie A : Évaluation des ressources 15,5points Exercice 1 4,5points 1.

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LYCEE DE NKOLMESSENG Année scolaire : 2020-2021 Département de mathématiques Classes : TC

Durée : 4 h Coefficient : 7

Compétence attendue : -résoudre une situation problème en utilisant l‘arithmétique

Acquise En cours d’acquisition Non acquise

Partie A : Évaluation des ressources 15,5points Exercice 1 4,5points

1. Résoudre dans ℤ² l’équation (𝐸) : 3𝑥 − 𝑦 = 4 0,5pt 2. Soit (𝑢_𝑛) la suite réelle définie dans ℕ par :{ 𝑢₀ = 5

𝑢_𝑛+1 = 3𝑢_𝑛− 4

a) Montrer que pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑢_𝑛 = 2 + 3^𝑢𝑛+1 0,75pt b) En déduire que pour tout entier 𝑛, 𝑢_𝑛 est impair. 0,5pt c) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛 et 𝑢_𝑛+1 son premier entre eux. 0,5pt d) Déterminer alors le 𝑝𝑔𝑐𝑑(6 + 3¹⁰⁰²; 6 + 3¹⁰⁰³) 0,75pt 3. Résoudre dans ℕ² les systèmes (𝑠1) {𝑎²− 𝑏² = 4704

𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎; 𝑏) = 7 et (𝑠2) {13𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎; 𝑏) − 2𝑝𝑝𝑐𝑚(𝑎; 𝑏) = 4

3 < 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎; 𝑏) < 7 1,5 pt

Exercice 2 3 points

Le plan complexe P est rapporté à un repère (0, 𝑢⃗ , 𝑣 ). On considère le polynôme complexe 𝑃(𝑧) = 𝑧³− 4𝑧 + 𝑎, où 𝑎 ∈ ℝ.

1. Soit 𝑧₀ ∈ ℂ. Démontrer que si 𝑃(𝑧₀) = 0 alors 𝑃(𝑧̅ ) = 0. 0,5pt ₀ 2.On sait que l’équation 𝑃(𝑧) = 0 admet trois solutions distinctes ou confondues. Montrer

qu’elle possède au moins une solution réelle que l’on notera 𝛼. 0,5pt 3. Déterminer 𝑎 pour que l’équation 𝑃(𝑧) = 0 admette une racine complexe non réelle de module 2. 1pt 4. Résoudre l’équation 𝑃(𝑧) = 0 pour chacune des valeurs de 𝑎 ainsi trouvées. 1pt

Exercice 4 4 points

Soit 𝜑, 𝜃 des nombres réels tels que 0 < 𝜃 < 𝜋 ; 𝑍₁ et 𝑍₂ deux nombres complexes définis par :𝑍₁ = 1−cos 𝜃+𝑖 sin 𝜃

1+𝑐𝑜𝑠 𝜃−𝑖 sin 𝜃 , 𝑍₂ = 1 + cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃

1-a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe 1 + cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑. 0,5pt b) En déduire l’expression de (1 + cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)^𝑛 pour tout entier naturel 𝑛 ≠ 0. 1pt 1. 2-a) Calculer le module et l’argument de 𝑍₁ et 𝑍₂ en fonction de 𝜃. 1pt

3- Résoudre dans ℂ les équations (𝐸1): 𝑧⁴ = 1 et (𝐸2): (^𝑧−𝑖

𝑧−1)⁴ = 1 1,5pt

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Exercice 5 4 points

Démontrer chacune des propriétés suivantes :

P1) ∑ ¹

4𝑘²−1 = ^𝑛

2𝑛+1; ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2

𝑘=𝑛𝑘=1 0,5pt

P2) ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛(𝑛²+ 5) ≡ 0[6] 0,5pt P3) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ^∗, si 𝛿 = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎; 𝑏) alors 𝛿ℤ = {𝑎𝑢 + 𝑏𝑣; 𝑢 ∈ ℤ 𝑒𝑡 𝑣 ∈ ℤ } 0,5pt P4) L’ensemble des nombres premiers est infini 0,5pt P5) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ^∗, 𝑝𝑔𝑐𝑑(13𝑎 + 8𝑏; 5𝑎 + 3𝑏) = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎; 𝑏) 0,5pt P6) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ^∗, 𝑠𝑖 ^𝑎

𝑏 est irréductible alors ^𝑎+𝑏

𝑎²+𝑎𝑏+𝑏² et est aussi irréductible 0,5pt P7) ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑝𝑔𝑐𝑑(2𝑛²+ 2𝑛; 2𝑛 + 1) = 1 0,5pt P8) ∀𝑛 ∈ ℕ^∗, 9^𝑛+ 2^6𝑛−5 est divisible par 11 0,5pt Évaluation des compétences 4,5 points

Situation

On dispose de trois coffres forts. Le code du premier code est un entier naturel 𝑛 de 4 chiffres tels que les restes respectifs de la division euclidienne par 12977 et 40007 par 𝑛 soient respectivement 41b et 23. Le code du deuxième coffre est un entier naturel 𝑚 qui s’écrit 𝑎𝑏𝑐𝑐𝑎̅̅̅̅̅̅̅̅^{𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑞} et 𝑏𝑏𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅^{𝑏𝑎𝑠𝑒 ℎ𝑢𝑖𝑡}. Le code du troisième coffre est le nombre de diviseurs positifs 𝑁(𝑆) de l’entier naturel 𝑆, dont une écriture est :

𝑆 = (2⁰× 2¹× … × 2¹³) × (7⁰× 7¹× … × 7¹⁵) × (11⁰ × 11¹× … × 11¹⁰⁰)

Tâche 1 : Déterminer le code 𝑛 du premier coffre-fort 1,5pt

Tâche 2 : Déterminer le code 𝑚 du deuxième coffre-fort 1,5pt Tâche 1 : Déterminer le code 𝑁(𝑆) du troisième coffre-fort 1,5pt

~~~~ NZITCHOUM NGUIAMBA~~~~~