Stanislas
Exercices
Espaces vectoriels
préhilbertiens réels
Chapitre XIII
2020-2021PSI
E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n. I. Espaces préhilbertiens
Exercice 1. (-)SoientE=C1([0,1],R)etN :E →R+ dénie par N(f) =
s
f2(0) + Z 1
0
f0(t)2dt.
1.Montrer que N dénit une norme surE.
2.ComparerN etk·k∞.
Exercice 2. (-)Soientn>2etx∈Rn. Montrer qu'il existe y∈Rn non nul tel quehx, yi= 0.
Attention : ce résultat devient faux sin= 1.
Exercice 3. (-) Soient n > 3, r > 0 et x, y deux vecteurs distincts de Rn. On note d = kx−yk et Er = {z∈Rn ; kz−xk =kz−yk =r}. Montrer que :
1.Si2r < d, l'ensembleEr est vide.
2.Si2r =d, l'ensembleEr est un singleton.
3.Si2r > d, l'ensembleEr est inni.
Exercice 4. (Matrice de GRAM, ♥) Soit (x1, . . . , xp) une famille d'élé- ments deE. On dénit
G(x1, . . . , xp) = det[(hxi, xji)i,j∈
J1,pK].
1. Montrer que la famille (x1, . . . , xp) est liée si et seulement si G(x1, . . . , xp) = 0.
On pourra montrer que si la famille(x1, . . . , xp)est libre, alorsG(x1, . . . , xp)>0.
2. Soit (λ, λ2, . . . , λp) ∈ Rp+1 et x = x1 +
p
P
i=2
λixi. Montrer que G(x, x2, . . . , xp) =G(x1, . . . , xp) etG(λx1, . . . , xp) =λ2G(x1, . . . , xp). 3. On suppose que (x1, . . . , xp) est une famille libre et on note F = Vect{x1, . . . , xp}. Montrer que
d(x, F)2 = G(x, x1, . . . , xp) G(x1, . . . , xp) .
Exercice 5. (♥) Soit C([0,1],R) muni du produit scalaire : hf, gi = Z 1
0
f(x)g(x) dx. On considère le sous-espace vectoriel F = {f ∈E ; f(0) = 0}.
1.Déterminer F⊥.
2.En déduire que (F⊥)⊥6=F.
Exercice 6. [Centrale] Soit A ∈ Mn(R) tel que χA soit scindé dans R.
Montrer queA est semblable à une matrice triangulaire dans une base orthonormée.
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Exercice 7. [TPE] On souhaite montrer que pour toute matrice carrée réelleA= [A1· · ·An],|detA|6
n
Q
i=1
kAik.
1. Montrer l'inégalité si la famille (A1, . . . , An) des colonnes de A est liée ?
2.On suppose que la famille (A1, . . . , An)est libre. Montrer qu'il existe une matrice triangulaire supérieureT et une matrice orthogonaleOtelles queA=OT, puis conclure
Exercice 8. [X]SoientK une partie fermée non vide de Rnetx∈Rn. 1. Montrer qu'il existe c ∈ K tel que pour tout c0 ∈ K, kx−ck 6 kx−c0k.
2.Dans le cas où K est convexe, montrer l'unicité.
II. Projections & Symétries
Exercice 9. (♥)Soit p ∈L(E). Montrer que p est un projecteur ortho- gonal si et seulement sip◦p=pet∀ (x, y)∈E2,hp(x), yi=hx, p(y)i. Exercice 10. [Centrale]On munit R4 du produit scalaire canonique.
1.SoitF le sous-espace deR4 déni par(x−y−z+t= 0,2x−z−t= 0). Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport àF dans la base canonique deR4.
2.Déterminer l'ensemble des endomorphismes deR4qui commutent avec toute symétrie orthogonale.
Exercice 11. [Centrale]On se place dans le plan euclidien usuel. Soit Φ l'application qui envoie l'origine sur l'origine, et le point M = (x, y) sur le projeté orthogonal de M sur la droite (QP) avec P = (x,0) et Q= (0, y).
1.Exprimer les coordonnées deΦ(M) en fonction dex ety.
2. Soit (Mn) dénie par M0 = M et Mn+1 = Φ(Mn). Étudier la suite (Mn).
Exercice 12. [ENSAM]SoientE =C1([0,1],R) et ϕ : E →R,(f, g)7→
Z
[0,1]
(f g+f0g0).
1.Montrer que ϕdénit un produit scalaire.
2. On noteV = {f ∈E ; f(0) =f(1) = 0} et W = {f ∈E ; f =f00}. Montrer queV etW sont supplémentaires orthogonaux. Déterminer la projection orthogonale surW.
3. On pose Ea,b = {f ∈E ; f(0) =a, f(1) =b}. Déterminer m =
f∈Einfa,b Z
[0,1]
(f2+ (f0)2).
Exercice 13. (-)Déterminer inf
(a,b)∈R2
Z +∞
0
(t2+at+b)2e−tdt.
Exercice 14. (Polynômes deLAGUERRE,♥)On munitR[X]de l'applica- tion
hP, Qi= Z +∞
0
P(t)Q(t)e−tdt.
1. Montrer que h·,·i est bien dénie et dénit un produit scalaire sur R[X].
2. Construire une base orthonormée de R3[X] pour ce produit scalaire en orthonormalisant la famille(1, X, X2, X3).
3. Soit P = 1 +X+X3. Déterminer Q ∈ R2[X] tel que kP −Qk soit minimale.
Exercice 15.Soient p ∈ N∗ et (x1, . . . , xp) ∈ Ep. On considère (Yi) une famille de variables aléatoires i.i.d. telles queP(Yi = 1) =P(Yi =−1) =
1
2 et on pose Y =
p
P
i=1
Yixi. On suppose qu'il existe M > 0 tel que
∀(ε1, . . . , εp)∈ {−1,1}p,
p
P
i=1
εixi
6M. Montrer que Pp
i=1
kxik2 6M2. Exercice 16. [Mines] Soit n > 2 et X1, . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[. On pose M =tU U, oùU = X1 · · · Xn
. 1.Déterminer la loi de probabilité deRg(M)et de Tr(M).
2.Quelle est la probabilité que M soit une matrice de projection ?
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3. On pose V = t 1 · · · 1
∈ Mn,1(R) et S = tV M V. Déterminer l'espérance et la variance deS.
Exercice 17. [Mines]SoientE un espace euclidien etH1,H2 deux hyper- plans deE. On notesila symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan Hi. Montrer que H3 =s2(H1) est un hyperplan et ques1◦s2 =s2◦s3, oùs3 est la symétrie orthogonale par rapport à H3.
Exercice 18. [Centrale] Soit (E,h,i) un espace euclidien de dimension n∈N∗.
1. Soit f ∈ L(E,R). Montrer qu'il existe un unique y ∈ E tel que :
∀x∈E, f(x) =hx, yi.
2.Soientv ∈E\ {0} et(λ1, . . . , λn)∈Rn\ {0Rn}. a)Existe-t-il une base (e1, . . . , en) de E telle que v=
Pn
i=1
λiei? b) Existe-t-il une base orthonormée (e1, . . . , en) de E telle que v =
n
P
i=1
λiei?
III. Avec Python
Exercice 19. [Centrale]Soit ϕle produit scalaire déni par
∀ (P, Q)∈R[X]2, ϕ(P, Q) = Z 1
0
P(t)Q(t)dt.
1. a)Déterminer le projeté orthonormalpX3 de X3 surR2[X].
b)Montrer que X3−pX3 est scindé sur R et déterminer des valeurs approchées de ses racines.
2. Soient α = (α1, α2, α3) ∈R3, y = (y1, y2, y3) ∈ R3 etQ ∈R[X]. On dénitJy,α(Q) =
3
P
k=1
αkQ(yk).
a)Programmer le calcul deJy,α(Q).
b)Trouver une condition nécessaire et susante pour que, pour tout Q ∈ R2[X], il existe un unique triplet λ ∈ R3 vériant
Z 1
0
Q(t)dt = Jy,λ(Q).
Mathématiciens
Laguerre Edmond (9 avr. 1834 à Bar le Duc-14 août 1886 à Bar le Duc).
Gram Jorgen Pedersen (27 juin 1850-29 avr. 1916 à Copenhague).
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