Exercice 1
Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes sur un intervalle bien choisie
3 x 3 x 2 x 5 ) x ( f = 4 + 3 − 2 − ; x 3 x x 2 ) x ( f = 3 − + ; f(x)=2cosx−3sinx ) 3 x 4 sin( 3 ) 1 x 2 cos( 2 ) x ( f =− − + + ; 2 2 4 x 3 x 2 x ) x ( f = − + ; x x 1 x 2 ) x ( f 2 + − − = ; 2 3 ) 2 x x )( 1 x 2 ( ) x ( f = − + − − x 6 x 2 ) 3 x 2 ( ) x ( f = − + 2 − ; 1 x tan 1 ) x (
f = 2 + ; f(x)=cos4 x ; f(x)=tan3 x+tanx
x cos x sin x x cos x 2 ) x ( f 2 2 + = ; x cos 1 x cos ) x ( f 2 − = ; f(x)=cos3 xsinx ; 2 3 x 2 x 1 ) x ( f =− + Exercice 2
Soit fla fonction définie sur IR\
{
1}
par 22 3 ) 1 x ( 5 x x x ) x ( f − + − − =
1) Déterminer trois réels a, bet c tels que pour tout x∈IR\
{
1}
on a : 2) 1 x ( c b ax ) x ( f − + + =
2) Déterminer une primitive de f sur
]
1 , +∞[
Exercice 3
Soit fla fonction définie sur −π π
2 ,
2 par : f(x) tan x sin x 2 2 − = 1) Montrer que ∀∈−π π 2 , 2 on a : f(x) (tan x)(sin x) 2 2 =
2) Montrer que la fonction Fdéfinie sur−π π 2 ,
2 par : 4(4tanx+sin2x-6x) 1 = ) x ( F est une primitive de f
3) Déterminer la primitive de fsur −π π
2 , 2 tel que F(0)=1 Exercice 4
Soit fla fonction définie sur
[
0 , +∞[
par : 2x 1 1 ) x ( f + =
1) Montrer fadmet une unique primitive Fsur
[
0 , +∞[
tel que F(0)=02) Soit G la fonction définie sur π 2 ,
0 par : G(x)=F(tanx)
a) Montrer que G est dérivable sur π 2 , 0 et déterminer G′(x) b) En déduire que ∀x∈ π 2 , 0 on a G(x)=x
c) En déduire que la fonction U(x)=tanx est la fonction réciproque de F c) Calculer : F
( )
1 ; F( )
3 ; 3 1 F http://mathematiques.tk/Exercice 5
Soit fla fonction définie sur I=
]
−1 , 1[
par :2 x 1 1 ) x ( f − =
1) Montrer fadmet une unique primitive Fsur I tel que F(0)=0
2) On pose ∀x∈I h(x)=F(−x)+F(x). a) Montrer que ∀x∈I on a : h′(x)=0
b) En déduire h(x)
c) Montrer alors que la fonction Fest impaire 3) Soit G la fonction définie sur J= −π π
2 ,
2 par : G(x)=F(sinx)
a) Montrer que G est dérivable sur Jet déterminer G′(x)
b) En déduire que ∀x∈Jon a G(x)=x c) Calculer : 2 1 F ; 2 2 F ; 2 3 F Exercice 6
Soit fla fonction définie sur−π π 2 , 2 par : f(x) tan x 2x 1 2 + − =
1) Montrer que f admet au moins une primitive F sur −π π
2 , 2
2) Déterminer la fonction F qui prend la valeur 1 en 0
Exercice 7
Soit fla fonction définie sur
]
0 , +∞[
par 2 2 4 x 4 x 2 x 3 ) x ( f = − +1) Montrer que f admet au moins une primitive F sur
]
0 , +∞[
2) Déterminer la fonction F tel que F(1)=0Exercice 8
Soit f la fonction définie sur
[
-2 , 2]
par 2 x 4 ) x ( f = −1) a) Montrer que f admet au moins une primitive sur
[
-2 , 2]
b) Soit F la primitive de f sur
[
-2 , 2]
qui s’annule en 0. Etudier la parité de F2) Soit G la fonction définie sur
[
0 , π]
par G(x)=F(2cosx) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,i, j) a) Calculer π 2 Gb) Montrer que le point
π 0 , 2
I est un centre de symétrie de (C)
c) Montrer que G est dérivable sur
[
0 , π]
et que ∀x∈[
0 , π]
on a : G′(x)=−4sin2x3) a) En déduire que ∀x∈
[
0 , π]
on a : G(x)=π−2x+sin2x b) Etudier les variations de Gc) Calculer F(1), F(2) et F( 2)
Exercice 9
Soit les fonctions f et g définies sur IR par f(x)=xcos x et g(x) =xsin x
1) Calculer f′(x)+g(x), en déduire une primitive G de g sur IR 2) Déterminer une primitive F de f sur IR
Exercice 10
Soit les fonctions f et g définies sur IR par f(x)=cos x .cos3x et g(x)=sin x .sin3x 1) a) Déterminer une primitive de chacune des fonctions f +g et f −g
b) En déduire les primitives sur IR des fonctions f et g
2) Soit la fonction h définie sur IR par :h(x)= (1+cosx)sin4x. Déterminer la primitive de h qui s’annule en π
Exercice 11
