PROFESSUR A. LAAMYEM

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PAR LE

PROFESSUR A. LAAMYEM

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W. Wien Compton

Bohr Dirac

Planck Einstein

Schrödinger

Heisenberg

L. deBroglie Ehrenfest

Rayleigh

COHEN

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INTRODUCTION

Jusqu'en 1900 environ, les prédictions des théories de la physique (Mécanique, Electromagnétisme et Thermodynamique) ont toujours été en accord avec les résultats expérimentaux. Grossièrement, ces théories traduisaient par des modèles ce que l'homme observait directement. Les phénomènes observés étaient du domaine MACROSCOPIQUE et il est donc normal que la physique de cette époque et macroscopique aillent de pair.

A partir de cette date, les techniques expérimentales ont permis d'atteindre l'aspect MICROSCOPIQUE de la matière et les phénomènes mis en jeu sortent du domaine de la perception directe. Les théories existantes étaient insuffisantes pour expliquer les résultats mis en évidence et sont qualifiées depuis de "classiques".

Ainsi, s'affirme la nécessité d'une nouvelle théorie permettant de comprendre les effets microscopiques, rebelles aux théories classiques. Cette théorie, la MÉCANIQUE QUANTIQUE, est dans son formalisme actuel le fruit collectif d'une conjonction exceptionnelle de physiciens et de mathématiciens. Une vingtaine d'années fut nécessaire pour que l'on donne une forme précise à cette théorie basée sur la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie et Schrödinger et sur le formalisme de Dirac unifiant la méthode matricielle d'Heisenberg et la mécanique ondulatoire

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Tous les phénomènes nouveaux que l'on a pu découvrir au cours de ces cinquante dernières années n'ont jamais remis en cause la validité de la théorie quantique. Ses concepts ont permis non seulement l'interprétation des phénomènes atomiques (dont les distances caractéristiques sont de l'ordre de l'Angström et les énergies typiques de l'ordre de quelques électron-volt) mais aussi, ils s'appliquent avec le même succès à l'étude des particules élémentaires - constituants des noyaux et des atomes- (pour lesquelles les distances caractéristiques sont 10⁶ fois plus petites et les énergies 10⁹ fois plus élevées).

Aujourd'hui, on considère que la mécanique quantique est universelle, c'est à dire utilisable pour comprendre tous les phénomènes physiques.

C'est une description du comportement de la matière et de la lumière dans tous leurs détails. Toutefois cette hégémonie de la mécanique quantique n'est que de principe car dans de très nombreux domaines la théorie classique suffit pour interpréter de façon satisfaisante les observations.

Nous verrons par exemple que la mécanique quantique ne fait pas intervenir dans ses concepts la notion de trajectoire d'un mobile ou la notion de force. Il est évident que les ingénieurs qui lancent des satellites autour de la terre n'abandonnent pas ces notions qui se révèlent excellentes dans une large gamme de conditions physiques. Ceci découle de ce que la mécanique classique apparaît comme une approximation de la mécanique quantique. En fait, le champ d'application de cette nouvelle théorie couvre un vaste domaine:

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- dans le domaine macroscopique (échelle macroscopique > Å), elle est équivalente à la physique classique;

- dans le domaine microscopique, où la physique classique n'est plus valable (échelle microscopique < μ), elle permet de justifier les résultats expérimentaux.

Il ne faut d'ailleurs pas croire que la théorie quantique ne serve qu'à interpréter des phénomènes étranges, éloignés du quotidien. Ainsi, l'existence et la stabilité de corps solides de taille quelconque ne peut s'expliquer que par la théorie quantique appliquée aux assemblages d'atomes. Les lasers, les transistors des appareils de radio, de télévision, des ordinateurs, que nous côtoyons tous les jours n'ont un fonctionnement compréhensible que dans le cadre de la théorie quantique. Les théories classiques sont incapables d'expliquer la stabilité de la matière, pas même celle d'un atome; des paramètres aussi simple que la densité, la chaleur spécifique, l'élasticité d'un solide ne sont calculables que dans le cadre de la théorie quantique.

Il faut savoir que la mécanique quantique continue à postuler l'existence de particules et de la théorie ondulatoire; elle permet une étude plus précise du mouvement et de l'interaction des particules en imposant un certain nombre de notions nouvelles que nous examinerons dans ce cours (nécessairement incomplet) et qui peuvent être citer de la façon suivante:

* la notion de localisation ponctuelle est remplacée par celle de probabilité de présence dans un certain volume;

* l'interprétation ondulatoire de la particule est nécessaire, à chaque particule est associé "un paquet d'onde";

* la notion de grandeur physique fait place à une grandeur dont la valeur ne peut être exactement prévue ou qui ne peut prendre que des valeurs discrètes.

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Nous étudierons donc successivement

• Dans le premier chapitre, quelques expériences de la physique atomique mettant en échec les théories classiques. Nous introduirons la notion de photon, particule associée à la lumière et la notion d'onde associée à la matière. Enfin, nous illustrons sur des exemples le domaine d'utilisation de la mécanique quantique.

• Dans le deuxième chapitre, nous donnerons le formalisme mathématique de la mécanique quantique en se limitant aux notions nécessaires à notre cours.

• Dans le troisième chapitre, nous étudierons les postulats de la mécanique quantique.

• Dans le quatrième chapitre, nous donnerons quelques aspects de la mécanique ondulatoire et nous examinerons en

particulier la fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger;

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Chapitre 1

INSUFFISANCES DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE DÉBUT DE LA THÉORIE QUANTIQUE

A/ CORPUSCULES LUMINEUX

1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck 2) L'effet photoélectrique

3) Le photon

B/ ONDES DE MATIERE

1) Hypothèse de Louis de Broglie. Diffraction de particules matérielles

2) Interprétation probabiliste

C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE D/ CONCLUSION

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A la fin du siècle dernier, des résultats expérimentaux ont posé de sérieux problèmes aux physiciens car les théories existantes étaient incapables de donner une interprétation satisfaisante. Les chercheurs ont été amenés à émettre des hypothèses révolutionnaires. Nous allons donner quelques exemples d'échecs de la physique classique, puis des solutions historiquement proposées

A/ CORPUSCULES LUMINEUX

1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck

Un corps noir est un système qui absorbe intégralement tout rayonnement qui frappe sa surface (système idéal). On peut constituer un corps noir en utilisant une enceinte imperméable aux rayons lumineux (donc il y fait très noir) porté à une température élevée et on sait qu'un corps porté à haute température émet un rayonnement lumineux (transformation de l'énergie calorifique en énergie lumineuse).

Par un orifice percé dans cette enceinte, des radiations lumineuses sont émises et on peut, à l'aide de dispositifs appropriés, mesurer la densité

d'énergie U(l ,T) de ces radiations dans l'intervalle de longueur d'onde [l, l+dl] (densité d'énergie "monochromatique") et construire ainsi pour

une valeur fixée T de la température la courbe U=f(l ).

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On note expérimentalement que, pour chaque valeur de T, U(l) passe par un maximum pour une longueur d'onde lm et décroît rapidement vers les courtes longueur d'onde. Les résultats obtenus se traduisent par les lois empiriques suivantes:

- La longueur d'onde maximale est inversement proportionnelle à la température:

lm .T = cte c'est la loi de déplacement de Wien (1896) - La densité totale d'énergie est proportionnelle à T⁴; soit :

 

0

U  l ,T d l  a T ⁴ loi de Stefan 1879

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Ces lois ne peuvent pas être expliquées par la théorie classique car cette dernière conduit, pour la densité d'énergie U, à la loi de Rayleigh-Jeans:

U(l,T) = 8p.kT.l^-4 , avec k la constante de Boltzmann. On voit donc que cette loi n'est en accord satisfaisant avec l'expérience que pour des grandes longueurs d'onde (infrarouge et visible) alors que pour les ondes courtes, elle présente un accroissement monotone et de plus très rapide en contradiction flagrante avec les courbes et les lois empiriques précédentes. Cette échec de la théorie classique fut appelé par Ehrenfest

"catastrophe ultraviolette". Il est important de savoir que la loi de Rayleigh- Jeans est basée sur l'hypothèse classique d'un échange énergétique continu entre l'énergie calorifique et l'énergie lumineuse.

Pour tenter d'expliquer ce problème, Planck fut amené à proposer le 14 Décembre 1900, l'hypothèse suivante: L'échange d'énergie (calorifique ---> lumineuse) se fait de façon discontinue; autrement dit, l'énergie lumineuse est émise par paquets ou QUANTA; un quantum possédant l'énergie E=hn (n=c/l) où h est une nouvelle constante universelle ayant les dimensions d'une action et appelé constante de Planck. La mesure la plus précise de h est actuellement:

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h = (6,626196 ± 0,000006 ) 10^-34 J.s

Il faut seulement mais absolument retenir que h ₁₀^-34 _J.s

Cette hypothèse, jointe aux méthodes de la mécanique statistique, a permis d'expliquer les résultats relatifs au rayonnement du corps noir, Planck a montré en effet que densité U(l,T) est de la forme:

U 

,T  8phc

l⁵

1

exp   hc

l

kT    1

Dans certains cas, il est commode d'exprimer la formule de Planck en fonction de n et T. Sachant que n=c/l et que U(l,T) dl= U(n,T) dn, on aura

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U 

,T   8ph

c

1 exp   h

kT    1

où le produit kT a les dimensions d'une énergie.

On voit donc que quand l tend vers zéro, U(l,T) tend aussi vers zéro, ce qui lève la "catastrophe ultraviolette". On peut aussi remarquer que pour l très grande on retrouve (par développement limité de la fonction exponentielle) la loi classique de Rayleigh-Jeans. D'une manière générale, les lois classiques peuvent être considérées comme limites, dans des conditions données, de lois quantiques.

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2) L'effet photoélectrique

C'est l'émission d'électrons par un métal sous l'action d'un rayonnement électromagnétique. Cet effet fut mis en évidence par Hertz en 1887.

Le dispositif dans lequel l'interaction de la lumière se manifeste par effet photoélectrique est une cellule photoélectrique. Il s'agit d'une ampoule vide d'air que l'on a équipée de deux électrodes: l'une est formée d'une plaque métallique et l'autre d'un fil fin en forme d'anneau afin que les rayons lumineux puissent atteindre la plaque. On relie ces deux électrodes aux bornes d'un générateur de telle sorte que la plaque constitue la cathode et le fil constitue l'anode. un microampèremètre est placé sur le circuit et permet ainsi de détecter le passage d'un courant électrique.

Le caractère essentiel de l'effet photoélectrique est l'existence d'un seuil en fréquence: on n'observe le passage du courant électrique que pour certaines radiations. En termes plus précis:

• si la lumière incidente a une fréquence n supérieure ou égale à une certaine fréquence n_s, le courant électrique circule ce qui signifie que des électrons sont arrachés de la cathode et sont attirés par l'anode. La fréquence n_s est caractéristique du métal et est indépendante de l'intensité du rayonnement incident.

• si la lumière incidente a une fréquence inférieure à n_s, il n'y a pas de courant qui circule.

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Par ailleurs, on note expérimentalement l'absence d'un seuil de flux

lumineux: on enregistre un courant électrique même pour des valeurs très faibles du flux lumineux. Ces résultats ne peuvent pas être interprétés par la théorie classique. En effet, si les électrons ne sortent pas du métal c'est qu'il existe une barrière d'énergie entre le métal et le vide. On pense qu'alors le courant électrique est dû à certains électrons qui ont une énergie supérieure à cette barrière, mais la théorie ondulatoire (théorie classique) impose dès lors que l'énergie des électrons est proportionnelle à la densité d'énergie électromagnétique c'est à dire au flux lumineux. On devrait donc obtenir un seuil en flux et non un seuil en fréquence, ce qui est en contradiction avec les résultats précédents.

C'est Einstein en 1905 qui, reprenant l'hypothèse des quanta de Planck, donna une interprétation satisfaisante à l'effet photoélectrique. Il postule donc que les radiations lumineuses sont composées de quanta (grains, paquets, morceaux) d'énergie.

Un quantum transporte l'énergie E=hn où h est la constante de Planck et n la fréquence de la radiation excitatrice. Quand un quantum "tombe" sur la cathode, il disparaît et son énergie peut être partagée en deux quantités: une quantité, Ws, est utilisée pour extraire l'électron du métal (appelée travail d'extraction) et l'autre quantité est communiquée à l'électron sous forme d'énergie cinétique. La conservation de l'énergie s'écrit donc:

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h n  W _s  ¹

2 m v

relation d' Einstein

Nous pouvons poser Ws = hn_s et dès lors les radiations de fréquence inférieure à n_s ne permettent pas l'extraction de l'électron. Il existe donc bien un seuil en fréquence. Notons de passage que l'effet photoélectrique est l'une des méthodes utilisées pour la mesure de la constante h de Planck.

3) Le photon

Nous avons montré que les résultats des deux expériences précédentes ne peuvent pas être expliqués par la théorie qui attribue à la lumière la notion d'onde (théorie ondulatoire de la lumière). Ces résultats ne peuvent être correctement interprétés qu'en supposant l'existence d'une particule associée à la lumière que l'on appelle le photon. Le photon est une particule d'énergie E = h n de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière c et de quantité de mouvement p = h n/ c.

Ainsi on associe à l'onde électromagnétique, une particule de caractéristiques (E, p) qui sont liées aux caractéristiques de l'onde (w, k):

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E  h

 h

2p

 

^{ E } 

p  h

2p



c   k  p   k

avec  _ ^h

2p  1,054

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J.s

La lumière possède alors le double aspect ondulatoire-corpusculaire.

Autrement dit, la lumière manifeste des propriétés spécifiques d'une nature ondulatoire et également des propriétés de nature corpusculaire. Si l'on fait abstraction de l'une ou de l'autre, on se trouve dans l'impossibilité d'expliquer l'ensemble des faits expérimentaux observés sur les champs électromagnétiques. on doit donc admettre que la lumière possède

"simultanément" ces deux natures dont les paramètres caractéristiques sont reliés par la relation E = ђ qui est la relation de planck Einstein.

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B/ ONDES DE MATIÈRE

1)Hypothèse de L. de Broglie. Diffraction de particules matérielles

En 1924 (peu de temps avant la thèse de L.de Broglie), Thomson a observé lors de la traversée d'une feuille métallique (NaCl) par des électrons, une figure de diffraction analogue à celle que l'on observe avec les rayons X. Ce phénomène ne peut pas s'expliquer par la théorie classique qui exclut tout comportement ondulatoire d'un corpuscule.

Louis de Broglie posa l'hypothèse suivante:

Non seulement la lumière, mais aussi la matière possède le double aspect ondulatoire-corpusculaire. A toute particule de matière de quantité de mouvement p = mv est associée une

onde de longueur d'onde l donnée par:

l  h

p h est la constante de Planck.

lest appelée longueur d'onde de L. de Broglie.

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Par analogie avec le rayonnement lumineux, l'énergie de la particule et la pulsation (ou la fréquence) de l'onde associée sont liées par la relation E=ђ w. Cette relation et la relation de L. de Broglie permettent ainsi de relier les deux aspects ondulatoire et corpusculaire de la matière.

Remarques:

Pour des objets macroscopiques la longueur d'onde associée est toujours infime. Une particule de masse 10-5 g se déplaçant à la vitesse v=1cm/s aura une longueur d'onde de L. de Broglie de l'ordre de 6,6 x10-22 cm ce qui est une valeur ridiculement petite, de telle sorte que l'aspect ondulatoire de son mouvement est indécelable. C'est pourquoi les ondes de matière ne sont pas évidentes en physique macroscopique. Ainsi la physique non quantique

(physique classique ou relativiste) reste une excellente approximation pour l'étude des mouvements à notre échelle.

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2) Interprétation probabiliste

De la même manière que pour le photon, le carré du module de l’amplitude de l'onde de L. de Broglie donne la probabilité de présence d'une particule.

Ceci est justifié expérimentalement. En effet, dans l'expérience de diffraction des électrons on observe (sur plaque photographique) des endroits de noircissement maximal. Ce sont donc des régions où l'intensité c'est à dire le carré de l'amplitude de l'onde, est maximale. Ces noircissements sont crées par les impacts des électrons.

Il est donc naturel d'envisager une relation de proportionnalité entre l'intensité de l'onde et la densité d'électrons, n.

Si l'on désigne par F l'amplitude de l'onde, son intensité est donnée par IFI2, soit IFI² = a. n

Si d³P est la probabilité de trouver un électron à l'instant t dans l'élément de volume d³r, on a:

d

P  nombre d' électrons arrivant dans le volume d

r

nombre d' électrons arrivant dans tout l' espace  n . d

r

www.al3abkari-pro.com N

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En posant IY I² = A IF I² avec A=1/a N (= cte) , on obtient alors:

d³P = IYI² d³r

et, on dit que IYI² est une densité de probabilité de présence de la particule. On voit donc que seule IYI² (et non Y) a une réalité physique.

Cette interprétation impose une condition évidente sur la fonction Y (r,t) : la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est

égale à 1; soit:



C'est la condition de normalisation. En d'autres termes, la fonction Y(r,t) doit être une fonction bornée dans tout l'espace de façon à ce que l'intégrale converge; on dit que Y(r,t) est une fonction de carré sommable. De plus Y(r,t) doit être continue et admettre une dérivée première également continue.

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La condition de normalisation exprime donc que la particule est

nécessairement localisée dans une région finie de l'espace, en dehors de laquelle la densité de probabilité de présence doit être nulle. On s'attendra donc à ce que l'onde associée à une particule sera

d'étendue limitée spatialement et on pourra à chaque instant définir IYI² comme une fonction de la position dans l'espace. Ainsi il sera possible à partir de cette onde de localiser avec une certaine

probabilité la particule qui lui est associée .

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C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE.

On sait que la mécanique classique, telle que l'on peut la tirer de la loi fondamentale de la dynamique cesse d'être applicable quand les vitesses

relatives des particules deviennent comparables à la vitesse c (c=3x10⁸ m/s). Un tel critère est donc basé sur l'existence de la constante c (constante fondamental de la mécanique relativiste). Par analogie, on

peut formuler un critère pour décider quand on doit appliquer la mécanique quantique ou quand la théorie classique convient. En effet, la constante h de Planck va servir à définir la frontière entre les domaines de validité des théories classique et quantique. Remarquons d'abord que d'après la relation de Planck-Einstein (E=hn ), h a pour dimensions: (énergie) x (temps) = [ML²T^-1]; de même d'après la relation de L. de Broglie

(l=h/p),

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Ces dimensions ne sont rien d'autres que celles du moment cinétique. Une telle grandeur physique s'appelle une action et la constante h s'appelle le quantum (fondamental) d'action. Dans le système S.I., l'unité d'une action est le Lagrange (L). On a donc:

1 L = 1 Kg . m².s^-1 = 1 J.s = 10³⁴ h

Le critère est le suivant, si dans un système physique une quelconque grandeur ayant les dimensions d'une action prend une valeur numérique de l'ordre de celle de la constante de Planck h, le comportement du système doit être décrit dans le cadre de la mécanique quantique. Si au contraire une grandeur physique homogène à une action a une valeur très grande par rapport à h, les théories classiques sont largement suffisantes pour comprendre les phénomènes qui se produisent. Notons enfin qu'il n'est pas possible qu'un phénomène physique possède une action très inférieure à h;

si une combinaison de grandeurs physiques conduit à une telle action, cette combinaison n'a pas de sens physique.

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Conclusion générale

Les expériences réalisées depuis la fin du XIXème siècle posaient de sérieux problèmes aux physiciens et l'essentiel de ces problèmes peut se résumer ainsi:

-Au point de vue des théories des ondes électromagnétiques, les phénomènes ondulatoires tels que la diffraction ou les interférences semblaient exclure toute théorie corpusculaire de la lumière. Néanmoins des expériences telles que celles que nous avons présentées dans ce chapitre ont conduit les chercheurs à inventer un corpuscules lumineux: le photon.

- Au point de vue de la théorie corpusculaire, c'est à dire des particules telles que l'électron, il est totalement impossible de rendre compte par les théories classiques du comportement ondulatoire de particule de matière.

Pour traiter les ondes de matière, on doit renoncer à la mécanique classique qu'il faut remplacer par la mécanique quantique.

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Cette théorie conduit à:

i) décrire l'état d'une particule par une fonction d'onde, Y(r,t), qui contient toutes les informations qu'il est possible d'obtenir sur la particule. Cette notion de fonction d'onde remplace pour la particule la notion classique de trajectoire dont on déduisait en mécanique classique la position, la vitesse et l'accélération de la particule à tout instant.

ii) interpréter IY(r,t)I² comme une densité de probabilité de présence de la particule à l'instant t. Autrement dit: d³P = IYI².d³r représente la probabilité de trouver la particule à l'instant t dans le volume infinitésimal d³r entourant le point r. Cette physique n'est donc pas déterministe mais, contrairement à la physique classique, elle est probabiliste. Le caractère probabiliste de cette théorie impose la condition de normalisation ou plus généralement la convergence de l’intégrale I:Y(r,t) est dite une fonction de carré sommable.

I =



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Chapitre 2

LE CADRE MATHÉMATIQUE DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

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INTRODUCTION

I. ESPACE DES FONCTIONS D'ONDES

II. BASES ORTHONORMÉES. RELATION DE FERMETURE 1) Bases discrètes

2) Bases continues

III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR-KET. VECTEUR-BRA

IV. OPÉRATEURS 1) Définitions

2) Opérateur adjoint

3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire 4) Opérateur hermétique

V. RELATIONS D'ORTHONORMALISATION ET DE FERMETURE EN NOTATION DE DIRAC

VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES D'UN OPÉRATEUR 1) Définitions

2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur VII. OBSERVABLES. THÉOREMES FONDAMENTAUX. E. C. O. C.

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INTRODUCTION

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la fonction Y(r,t) qui décrit l'état d'une particule matérielle à l'instant t doit satisfaire à une condition qui découle de l'interprétation de IY(r,t)I² comme représentant une densité de probabilité (celle de trouver la particule en r à l'instant t). La condition requise est que Y(r,t) doit faire partie des fonctions de r de carré sommable; c'est à dire pour lesquelles l'intégrale I:

I = IY(r,t)I² d³r

ait un sens (intégrale convergente). Les fonctions qui satisfont cette propriété appartiennent à un espace de Hilbert, dénoté L2, (espace vectoriel des fonctions de module carré intégrale).



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Cependant l'espace L² est trop vaste pour nos besoins; en effet, étant donné la signification attribuée à IY(r,t)I², les fonctions utilisées doivent posséder des propriétés de

régularités: fonctions partout définies, continues, bornées et

indéfiniment dérivables; (une véritable discontinuité ne

pouvant physiquement être distinguée d'une variation très

rapide sur un domaine de variation de r plus petit que ce qui

est accessible à nos observations). Nous considérons donc

que les fonctions d'onde font partie d'un ensemble F qui

sera un sous-espace de L^2.

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I.ESPACE F DES FONCTIONS D'ONDE

• L'ensemble des fonctions de carré sommable possède la structure d'un espace vectoriel:

Si Y(r,t) et F(r,t) à F et

l,m

• L'espace F est muni d'un produit scalaire:

À tout couple F(r,t) et Y(r,t) appartenant à F, pris dans cet ordre, correspond un nombre complexe, noté (F,Y) et appelé produit scalaire de Fpar Y . Ce nombre vaut par définition:

(F,Y) = F*(r,t) Y(r,t) d

r

où F*(r,t) est l'expression conjuguée de F(r,t).

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes:

- linéarité à droite : (F,lY1+ mY2) = l(F,Y1) + m(F,Y2) - antilinéarité à gauche : (lF1+mF2,Y) = l* (F1,Y) + m* (F2,Y) - symétrie hermétique: (F,Y) = (Y,F)*.





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II. BASES ORTHONORMÉES. RELATIONS DE FERMETURE.

1)Bases discrètes.

Soit un ensemble de fonctions u_i ( r ) repérées par un indice i entier ( i = 1,2,3,...). Cet ensemble est dit discontinu ou discret et le note : {u_i ( r )} .

• {u_i ( r )} est orthonormal si

(u_i, u_j ) = u_i*( r ) u_j ( r ) d³r = d_ij

(où d_ij est le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et à 0 si i # j ).

• {u_i( r )} constitue une base de F si toute fonction Y( r ) appartenant à F peut être mise sous la forme d'un développement:

Y( r ) = c_i u_i ( r )

les c_i étant les nombres complexes qui constituent les coordonnées

(ou les composantes) de Y( r ) sur la base des u_i ( r ). Il est évident que c_i = (u_i, Y).



i



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Ce second point peut être exprimé par une relation, dite relation de fermeture, que l'on peut établir à l'aide de la distribution dde Dirac. Celle-ci peut être définie par les relations suivantes:

f ( r ') d( r - r ' ) d³r = f ( r ) et d( r - r ' ) = 0 si r # r '

dse conduit comme une fonction presque partout nulle sauf en r = r' où elle n'est pas définie en tant que fonction. C'est donc une distribution qui fait correspondre à une fonction sa valeur en un point donné.

La fonction Y( r ) peut s'écrire:

Y( r ) = ci u_i ( r ) = (u_i, Y) u_i ( r )

=

i



i



i

 



i

www.al3abkari-pro.com 

33

et, compte tenu de la définition de d, on peut alors identifier Siui*( r ') ui ( r )

à la fonction de Dirac : d( r - r '):

soit :

u_i*( r ') u_i ( r ) = d( r - r ') appelée relation de fermeture

Ainsi, un ensemble de fonctions u_i ( r ) forme une base orthonormée de

F si les relations suivantes sont satisfaites:

(u_i, u_j ) = d_ij relation d'orthonormalisation (en abrégé R.O.)

u_i*( r ') u_i ( r ) = d( r - r ') relation de fermeture (en abrégé R.F.)

i



i



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34

Notons enfin que le produit scalaire de Fpar Ys'écrit:

avec F( r ) = b_i u_i ( r ) et Y( r ) = c_j u_j ( r )

(F , Y) = b_i*c_j d³r u_i*( r ) u_j ( r ) = b_i*c_j (u_i, u_j )

= b_i*c_j d_ij

===> (F , Y) = b_i*c_i .

En particulier (Y , Y) = c_i*c_i Ic_iI² ; soit pour Ynormée à l'unité : Ic_iI² = 1.



i



i

j





i



i



j



i



i



j



j



i



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2) Bases continues.

Plus généralement, nous pouvons choisir pour base un ensemble continu de fonctions W_a( r ), repérées par un indice continu a. {W_a( r )} est base orthonormée si:

• ( W a , W a ' ) =  ^{d3r W} a *( r ) W a ' ( r ) = d(aa') R.O.

•  ^{da W} _a ^{*( r ') W} _a ( r ) = d(r r ') R.F.

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36

(L'intégrale sur apouvant être simple, double ou triple).

Cette dernière relation exprime que toute fonction Y( r ) peut être développée sur les W a (r), soit:

Y(r) =  ^{da.c(a) W} _a ( r )

avec c(a) = ( W a , Y) =  ^d

^{r W} _a *(r)Y( r ).

Le produit scalaire de Fpar Ys'écrit dans ce cas:

(F,Y)=  ^{da b*(a)}  ^da'c(a')  ^d

^rW _a ^*(r)W _{a ' (r)}

=  ^{da b*(a)}  da' c(a') d(aa')

===> (F , Y) =  da b*(a) c(a)

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37

Exemples:

- L'ensemble des fonctions d'onde planes:

Vp0( r ) = (2 pђ )-3/2 ei p0.r /

- L'ensemble des distributions de Dirac:

d r0 ( r ) = d ( r - r0)

On montre sans difficultés que chacun de ces ensembles vérifient

R.O. et R.F. En conséquence, on peut écrire:

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38

On considère les fonctions  (px) et Y(x) transformées de Fourier l'une de l'autre définies par :

 

 (px) =

 Y(x) e-ipx.x /

dx = T.F[Y(x)]

Y(x) =

p 2

1

 ^ (px) e+ipx.x /

dpx = T.F[  (px)]

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39

• Pour {Vp0( r )}:

Y(r)= ( p0).Vp0(r)d³p0=(2p)-^3/2  ( p0)ei p0.r /^ d³p0 avec

( p0) = (Vp0, Y) = (2p)-^3/2  e-i p0.r / Y( r ) d³r

( p0) et Y( r ) sont donc transformées de Fourrier l'une de l'autre.

• Pour {dr0 ( r )}:

Y( r ) =  ( r0) dr0 ( r ) d³r0 =  ( r0) d( r - r0) d3r0

avec ( r0) = (dr0 , Y) =  d( r - r0) Y( r ) d³r = Y(r0)

On voit donc sur ce dernier exemple que les composantes ( r0) de Y( r ) s'identifient toutes à la valeur de la fonction Y au point

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III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR - KET. VECTEUR - BRA

Nous avons vu que la fonction d'onde Y( r ) associée à une particule peut aussi bien être représentée par :

ses "coordonnées" c_i sur une base discrète {u_i ( r )} appelée Représentation discrète: [i]

ses "coordonnées" ( p₀) sur une base continue {V_p0( r )} appelée Représentation impulsion: [p₀];

ses "coordonnées" Y( r₀) sur une base continue {d_r0 ( r )} appelée Représentation position: [r₀].

À noter que les représentations [ r₀] et [ p₀] sont connectées par transformations de Fourrier.

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41

En mécanique quantique, on utilise la notation IY> pour écrire un vecteur de l'espace E des états et selon Dirac, le vecteur IY> est appelé un vecteur ket ou tout simplement un ket (ici ket "psi"). Une représentation étant choisie, le ket IY>

appartenant à E s'écrit sous forme d'une matrice à une colonne:

[i] [ r₀] [ p₀]

c₁ . .

c₂ . .

. . .

. Y(r₀) (p₀)

. . .

. . .

IY> ---->   . IY> ----> . IY> ----> .

. Y(r'₀) (p'₀)

. . .

. . .

. . .

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42

Dans l'espace E, on définit le produit scalaire, IF>, IY>, du ket IF> par le ket IY> et selon Dirac ce produit s'écrit <FIY> où la notation <FI désigne un vecteur appartenant à un autre espace vectoriel noté E* (dual de E). <FI est appelé vecteur bra ou tout simplement bra (ici bra "fi"). A tout ket on fait correspondre un bra; ce dernier est caractérisé, dans une représentation donnée, par une matrice à une ligne dont les éléments sont complexes conjugués des composantes du ket associé.

dans [i] dans [ r0] dans [ p0]

<IY---->(c1*, c2*, ...); (...Y*(r0 )...Y*(r0')...) ; (...*(p0)...*(p0')...)

Entre les bras et les kets, on a la correspondance:

IY><=========> <YI

IlY>= lIY> <=========> <lYI = l*<YI

IlY+ mF> = lIY> + mIF> <=========> <lY + mFI = l*<YI + m*<FI où let msont des nombres complexes.

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43

<FIY> = (F , Y) = F*( r ) Y( r ) d³r

Effectuons le produit au sens matriciel d'un bra <FI par un ket IY>, par exemple dans la représentation [i] où IF>est représenté par ses composantes b_i et IY>par ses composantes c_j:

c1 c2 c3

<FIY> = (b1*, b2*, b3*, . . . .) . = Si bi*ci . .

.

Ce produit s'identifie au produit scalaire des fonctions d'onde F( r ) par Y( r ). On a donc:



www.al3abkari-pro.com 

44

Ce qui justifie que l'on peut transporter toutes les propriétés obtenues pour le produit scalaire des fonctions d'onde au produit matriciel d'un bra par un ket à savoir: linéarité à droite pour le ket, antilinéarité à gauche pour le bra et la symétrie hermétique:

<FIY> = <YIF>*.

La notation <FIY> peut donc s'interpréter comme:

-le produit scalaire dans l'espace F des fonctions d'ondes F( r ) et Y( r ) : (F , Y)

-le produit scalaire du ket IF> par le ket IY>: (IF>, IY>) -le produit matriciel du bra <FI par le ket IF> : <FIY>.

Le symbole < I > s'appelle "braket" (crochet) d'où l'origine de l'appellation bra pour la partie gauche < I et ket pour la partie droiteI >du symbole.

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Dans les exemples précédents des deux bases continues, position et impulsion, on adopte pour des raisons de simplification d'écriture, la notation :

Idr₀ >  Ir₀ > et IVp₀ >  Ip₀ >.

Le développement d'un ket IY>s'écrit donc:

dans la base {Ir₀ >} : IY>= _ d³r₀ Y( r₀) Ir₀ > avec Y( r₀) = <r₀IY>

dans la base {Ip₀ >} : IY> = _ d³p₀ ( p₀) Ip₀ > avec ( p₀) =<p₀IY>

De ce point de vue, la fonction Y( r ) elle même s'écrit <r I Y>et peut donc s'interpréter de la façon suivante:

Y( r ) est une composante de IY> dans la représentation position [ r ], appelée aussi représentation de Schrödinger;

 ou la projection du vecteur IY>sur le vecteur Ir > de la base {Ir >};

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IV. OPÉRATEURS

1)Définitions.

Un opérateur, A, est un être mathématique qui à tout ket IY>

appartenant à E fait correspondre un autre ket If>appartenant à

E. C'est donc une application de E dans E :

IY>---> A IY> = If>.

• A est un opérateur linéaire si:

A ( l IY>+ mIF>) = lAIY>+ m AIF>let m sont des complexes.

• Somme : (A + B) IY> = A IY> + B IY>

• Produit : (AB) IY>= A (B IY>) 

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47

On conçoit donc que l'action du produit AB sur IY>ne donne pas en général le même résultat que l'action du produit BA. C'est pourquoi on définit le commutateur de A et B que le note [A,B] et est égal à AB-BA.

[A,B] = AB-BA

Si [A,B] = 0, on dit que A et B commutent.

• Soient IY>et IF>deux kets appartenant à E, le nombre complexe <FIAIY>est appelé élément de matrice entre IF>et IY>.

• Étant donné une base, un opérateur A est représenté par une matrice dont les éléments sont:

cas discret : { Iu_i > } --->

<u

I A I u

>A

cas continu : {IW_a>} --->

<W

I A I W

>A(a,a')

i et a indices ligne; j et a' indices colonne.

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48

2) opérateur adjoint de A.

• soit A un opérateur linéaire agissant sur les éléments de E, on désigne par A⁺ l'opérateur adjoint de A défini par:

<FI A⁺IY><YI A IF>* IF> et IY>E

• Dans une base, la matrice représentant A⁺ est donc la transposée conjuguée de la matrice représentant A dans cette base. Par exemple dans {Iui >}:

A_ij⁺ = <u_iI A⁺ Iu_j ><u_jI A Iu_i >*A_ji*

• Si AIY>= If>===> <fI = <YIA⁺.

En effet, quelque soit Iu_i >appartenant à E, on a:

<fIu_i >= <u_i If>*= <u_i I A IY>*= <YIA⁺Iu_i > ===> <fI = <YIA⁺.

• On peut établir sans difficultés les propriétés suivantes:

(A⁺)⁺ = A , (lA)⁺ = l* A⁺ , (A + B)⁺ = A⁺ + B⁺ et (AB)⁺ = B⁺ A⁺.

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49

Avec la notion de A

, on peut établir l'adjoint d'une expression quelconque contenant tous les symboles utilisés en notation de Dirac. Pour cela, il suffit de remplacer ket IY>par bra <YI, bra <FI par ket IF>, opérateur A par opérateur adjoint A

, nombre complexe l par nombre complexe conjugué l* et inverser l'ordre d'écriture de ces symboles

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50

3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire

• A

est un opérateur inverse de A si AA

= A

A = 1 où 1 est l'opérateur identité; (opérateur qui ne modifie pas le ket auquel on l'applique: 1IY>= IY>).

Dans ces conditions, si AIY> = If > alors IY> = A

If >

( puisque A

If>= A

AIY>= 1IY> = IY>).

• A est un opérateur unitaire si AA

= A

A = 1 c'est à dire si son adjoint coïncide avec son inverse.

Un tel opérateur ne modifie pas le braket, donc la norme d'un ket.

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4) Opérateur hermétique

Un opérateur A est dit hermétique s'il est identique à son adjoint, soit A = A

ou encore

<FI A IY><YI A IF>*IF> et IY>SE

 Exemple:

l'opérateur projecteur P sur l'état I> défini par

P

= I ><I où <I >1.

On peut alors remarquer que:

•Une combinaison linéaire à coefficients réels d'opérateurs hermétiques est hermétique.

•Le produit de deux opérateurs hermétiques est hermétique si ces opérateurs commutent.

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V. R.O. et R.F. EN NOTATION DE DIRAC

• R.O. Un ensemble discret {Iui >}ou continu {IWa>}est orthonormé si:

<uiIui >dij et <WaIWa'>d(aa')

• R.F.

{Iui >}est base ===>

IY>= Sici Iui>avec ci= <uiIY>

IY>= Si<uiIY>Iui>= (SiIui><uiI) IY>

par conséquent:

SiIui> <uiI = (opérateur identité).

De même pour le cas continu: {IWa>}constitue une base:

IY>= da.c(a)IWa>= da<WaIY> IWa>=  daIWa> <WaIY>;

soit:

 da IWa> <WaI = .

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VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES D'UN OPÉRATEUR

1) Définitions

Soit A un opérateur et IY>un ket. Nous dirons que IY>est vecteur propre de A si le transformé de IY> par action de A est un vecteur proportionnel à IY>; soit:

A IY>lIY>létant un nombre à priori complexe).

On dit alors que lest une valeur propre de A et IY>vecteur propre associé à cette valeur propre l. L'équation A IY>lIY>est appelée équation aux valeurs propres de A et l'ensemble des valeurs propres constitue ce que l'on convient d'appeler spectre de l'opérateur A; il peut être soit discret, soit continu, soit en partie discret et en partie continu. Afin de distinguer entre les diverses vecteurs propres de A, on utilise un indice n qui affecte aussi les valeurs propres correspondant et l'équation aux valeurs propres se note:

A IY_n>l_nIY_n>.

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Si à une valeur propre donnée l_n, correspond un seul ket propre (à un coefficient de proportionnalité près), l_n est dite une valeur propre simple. Si par contre un nombre g_n supérieur à 1 de kets propres linéairement indépendants (c'est à dire dont aucun ne peut être écrit sous forme d'une combinaison linéaire des autres) sont associés à la valeur propre l_n, on dira que l_n est une valeur propre dégénérée, son ordre de dégénérescence étant égal à g_n. Dans ce cas on rajoute un autre indice, p, pour distinguer entre les différents vecteurs propres associés à la même valeur propre et l'équation s'écrit donc en général:

A IY

>l

IY

>

Notons enfin que dans ce cas, on pourra par combinaison linéaire des g_n kets propres linéairement indépendants engendrer tout un sous-espace vectoriel, de dimension g_n, de kets qui sont tous kets propres de A pour la valeur propre l_n. Ce sous-espace, noté E_n, est dit "sous-espace propre" associé à la valeur proprel_n^.

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2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur

soit {Iu_i>} une base orthonormée dans E que nous supposerons de dimension finie N (i =1,2,3,...,N). Alors tout ket IY>peut s'écrire:

IY>= S_ic_i Iu_i>,avec c_i=<u_iIY> et S_iIu_i><u_iI=1 (relation de fermeture).

L'opérateur A sera représenté dans cette base par ses éléments de matrice:

<u_iI A Iu_j >A_ij.

L'équation aux valeurs propres est : A IY>  l IY>. En la projetant sur les différents kets Iu_i>de la base, nous aurons N équations:

<u_iI A IY>l<u_iIY>= lc_i

qui s'écrivent en insérant la relation de fermeture entre A et IY>:

S_j <u_iI A Iu_j ><u _jIY>lc_i

soit : S_j A_ijc_j lc_i

ou encore : S_j ( A_ijld_ijc_j 0

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A₁₁lA₁₂ A₁₃ ... A_1N

A₂₁ A₂₂l A₂₃ ... A_2N . .

Dét . . =0 . .

A_N1 A_N2 A_N3 ... A_NN l

Les valeurs propres cherchées sont donc les diverses racines de l'équation en l (dite "équation caractéristique" ou encore "équation séculaire").

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