Commutation des observables

Commutation des observables

Chapitre 7

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cours

2ème année

mécanique quantique

transparents présentés en cours

12 février 2003

Commutation des observables

Quelles sont les quantités conservées dans un problème donné de mécanique quantique ?

Comment tirer parti des symétries d'un système ?

A quelle condition peut-on connaître simultanément deux grandeurs physiques A et B, associées aux observables et ? Si , il est possible de préparer le système dans un état où les deux grandeurs physiques A et B sont bien déterminées.

ˆ ˆ , 0

 A B  =

 

A ˆ B ˆ énergie, impulsion, moment cinétique...

Théorème d'Ehrenfest

1.

Quelques relations de commutation utiles

Résultats utiles

ˆ

2

ˆ

ˆ, 2

p

x

x p i

m m

 

  =

 

!

"

Position – énergie cinétique :

Moment cinétique : ˆ

_x

ˆ ˆ

_z

ˆ ˆ

_y

L = yp − zp

ˆ

_y

ˆ ˆ

_x

ˆ ˆ

_z

L = zp − xp

ˆ

_z

ˆ ˆ

_y

ˆ ˆ

_x

L = xp − yp

ˆ

_x

, ˆ

_y

ˆ

_z

L L i L

  =

  "

+ deux autres relations déduites par permutation circulaire

ˆ ˆ ˆ

L ! = × r ! ! p

2.

Evolution temporelle de la valeur moyenne d'une observable

Le théorème d'Ehrenfest

Le théorème d'Ehrenfest

Système quantique d'hamiltonien et préparé dans l'état

H ˆ ( ) t

ψ Valeur moyenne d'une observable : A ˆ

( ) ( ) ˆ ( ) a t = ψ t A ψ t

Que vaut ? d a dt

V(x)

ψ (x,t) x

Pour une observable indépendante du temps : 1 ( ) ˆ ˆ , ( )

d a t A H t

dt = i " ψ ^  ^  ψ

A ˆ

Exemple : oscillation d'un condensat dans un piège magnétique On se limite au mouvement selon un axe. On a vu :

p

x

d x

dt = m d p

^x

dV

dt = − dx avec V(x) = m ω

²

^x

²

^{/ 2} (piège harmonique)

Equation du mouvement analogue à l'équation classique :

2

2

2

0

d x

dt + ω x = x t ( ) = x

⁰

cos( ω ϕ t + )

0

0 1 2 3

2

-2

Déplacement ( µ m)

Temps (s)

3.

Quantités conservées en mécanique quantique

La conservation de l'énergie

Considérons un système isolé, dont l'hamiltonien est indépendant du temps et prenons :

ˆ ˆ

A = H

On a alors :

a = E et dE 0

dt =

La conservation de l'impulsion pour une particule libre

Considérons une particule libre, dont l'hamiltonien est

ˆ

2

ˆ 2 H p

= m

Les observables commutent avec cet hamiltonien.

Par conséquent :

ˆ

_x

, ˆ

_y

, ˆ

_z

p p p

0, , ,

d p

i

i x y z

dt = =

Remarque : ceci n'est plus vrai si

ˆ

2

ˆ

ˆ ( )

2

H p V r

= m + !

Mouvement dans un potentiel central

Hamiltonien :

ˆ

2

ˆ

ˆ ( )

2

H p V r

= m + !

avec V r ( ) ! = V r ( ) Exemple : atome d'hydrogène

2

0

( ) 4

V r q

πε r

= −

Alors d L

ⁱ

0, , ,

i x y z

dt = = avec L ! ˆ = × r ! ! ˆ p ˆ

En effet, on pourra vérifier que :

ˆ

2

ˆ , 0

i

2 L p

m

 

  =

 

ce qui entraîne :

ˆ

_i

, ( ) ˆ 0 L V r

  =

 

ˆ

_i

, ˆ 0

 L H  =

 

Un cas particulier important : système dans un état stationnaire Si le système est préparé à l'instant t =0 dans un état , état propre de associé à la valeur propre E

_α

, on a :

ψ

α

H ˆ

d a 0

dt = a = ψ ( ) t A ˆ ψ ( ) t même si et ne commutent pas. En effet : A ˆ H ˆ

ˆ ˆ

( ) t A ( ) t

_α

A

_α

ψ ψ = ψ ψ ( ) t e

^{iE tα}/ _α

ψ =

^{− "}

ψ ψ ( ) t = e

^{+iE tα/"}

ψ

_α

4.

Ensemble d'observables qui commutent

Si deux observables commutent, il existe une base formée de vecteurs propres communs à ces deux observables.

{ } ^ψ

ⁱ

^{A ˆ} _ˆ ^ψ

ⁱ

^{= α ψ}

^{i i}

i i i

B ψ = β ψ ˆ ˆ , 0

 A B  =

 

Généralisation au cas de plusieurs observables

Exemple : l'oscillateur harmonique à deux dimensions

( )

2 2

2 2 2

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ ˆ

2 2 2

x

p

y

H p m x y

m m ω

= + + +

On peut mettre sous la forme , où l'on a posé : H ˆ ˆ ˆ ˆ

x y

H = H + H

2

2 2

ˆ 1

ˆ ˆ

2 2

x x

H p m x

m ω

= +

2

2 2

ˆ 1

ˆ ˆ

2 2

y y

H p m y

m ω

= +

ˆ , ˆ

_x

ˆ , ˆ

_y

ˆ

_x

, ˆ

_y

0

H H H H H H

   =   =  =

     

Base de fonctions propres communes à et ˆ H

x

ˆ

H

y

1,2

( , )

1

( )

2

( )

n n

x y φ

n

x φ

n

y

Ψ = φ

n

: fonctions de Hermite

L'oscillateur harmonique à deux dimensions (suite)

Energies propres pour : ˆ

H

x ₁

1 n 2 ω

 + 

 

  "

2

1

n 2 ω

 + 

 

  "

Energies propres pour : ˆ H

y

Energies propres pour : H ˆ ( ^{n + 1} ) ^{" ω avec} n = + n

1

n

2

E

ω

"

2 ^" ω 3 ^" ω 4 ^" ω

1 2 0

n =n =

1 1 2 0

n = n = n1=0 n2=1

1 0 2 2

n = n =

1 1 2 1

n = n =

1 2 2 0

n = n =

1 3 2 0

n = n = n₁=2 n₂=1 n₁=1 n₂=2 n₁=0 n₂=3

Ensemble Complet

d'Observables qui Commutent

Mathématiquement : ˆ ˆ , ,..., ˆ

A B K forment un ECOC s'ils commutent entre eux et si la base propre commune est unique (à une phase près).

Physiquement :

Si on mesure successivement les grandeurs physiques A,B,…,K, le

système est dans un état parfaitement déterminé après ces mesures.

Un ECOC pour l'oscillateur harmonique 1D

2

2 2

ˆ 1

ˆ

2 2

p

x

H m x

m ω

= +

H ˆ est un ECOC à lui tout seul. En effet, une mesure de l'énergie détermine sans ambiguïté l'état du système.

ˆ 1

n

2

n

H φ = ^   n + ^   " ω φ

Un ECOC pour l'oscillateur harmonique 2D

( )

2 2

2 2 2

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ ˆ

2 2 2

x

p

y

H p m x y

m m ω

= + + +

E

ω

"

2 ^" ω 3 ^" ω

1 2 0

n =n =

1 1 2 0

n = n = n1=0 n2=1

1 0 2 2

n = n =

1 1 2 1

n = n =

1 2 2 0

n = n =

H ˆ n'est pas un ECOC à lui tout seul. Se donner une énergie propre (par exemple ) ne détermine pas l'état propre de manière non ambiguë. En revanche, forme un ECOC ^{2 " ω} { ^{H H ˆ}

^x

^{, ˆ}

^y

}

Exemples de systèmes quantiques complètement préparés

Un condensat de Bose-Einstein : un million d'atomes au fond d'un piège harmonique

Un ou plusieurs ions refroidis par laser dans un piège électrostatique Une cavité électromagnétique initialement vide dans laquelle un ou

plusieurs atomes excités viennent déposer chacun un photon 5.

Symétries de l'hamiltonien et recherche de ses états propres

Les symétries de l'hamiltonien et la recherche de ses états propres Quand l'hamiltonien a une symétrie (réflexion, rotation, translation), on peut chercher un opérateur (hermitien ou unitaire) associé à cette symétrie et qui commute avec l'hamiltonien

H ˆ

O ˆ

ˆ , ˆ 0

 H O  =

 

On trouve d'abord une base propre de , puis on cherche une base propre de parmi les états propres de H ˆ

O ˆ

O ˆ

V(x)

x

Exemple : potentiel 1D pair H ˆ commute avec l'opérateur parité P ˆ

ˆ ( ) ( )

P ψ x = ψ − x ˆ

2

1

P = Valeurs propres : 1 ±

On cherche les états propres de sous forme de fonctions paires ou impaires

H ˆ

Mouvement dans un potentiel central 2D Equation aux valeurs propres pour

2 2

r = x + y

Recherche des états propres en coordonnées cartésiennes :

2 2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , )

2 V x y x y E x y

m x y

ψ ψ ψ ψ

 ∂ ∂ 

−   ∂ + ∂   + =

"

très difficile…

2

ˆ

2

ˆ ˆ ( ) ˆ

2 2

x

p

y

H p V r

m m

= + +

Recherche des états propres en coordonnées polaires :

2 2 2

2 2 2

1 1

( ) ( , ) ( , )

2 V r r E r

m r r r r

ψ ψ ψ ψ ϕ ψ ϕ

ϕ

 ∂ ∂ ∂ 

−   ∂ + ∂ + ∂   + =

"

pas simple non plus…

( , r 2 ) ( , ) r ψ ϕ + π ψ ϕ = avec

Comment tirer parti de la symétrie centrale ?

Pour un potentiel central dans le plan xy :   H L ˆ ˆ ,

_z

  = 0 On cherche d'abord les états propres de ˆ

L

z

ˆ

_z

ˆ ˆ

_y

ˆ ˆ

_x

L xp yp i

ϕ

= − = − ∂

" ∂ ( , ) i ψ αψ ϕ r

ϕ

− ∂ =

" ∂ ψ ϕ ( , ) r = f r ( ) exp( i αϕ / ) "

Facile :

où f (r) est arbitraire et où ( , r 2 ) ( , ) r ψ ϕ + π ψ ϕ =

/ n

α " = entier

( , ) r f r ( ) exp( i n )

ψ ϕ = ϕ

On cherche ensuite les états propres de sous la forme :

H^ˆ

Comment tirer parti de la symétrie centrale ? (suite) On reporte la forme de cette fonction d'onde dans l'équation aux valeurs propres pour H ˆ

2 2 2 2

2 2

1 ( ) ( ) ( )

2 2

d f df n

V r f r E f r

m dr r dr mr

   

−  +   + +  =

   

" "

( , ) r f r ( ) exp( i n )

ψ ϕ = ϕ et

Equation différentielle (une seule variable) que l'on peut

résoudre numériquement, si ce n'est analytiquement.

Un modèle simple de conducteur électrique

modèle 1D : chaîne linéaire de N atomes

n n+1 n+2

n-1 n-2

électron

Energie sur un site n donné : E

₀

Saut du site n vers le site n±1: potentiel de couplage -A

(cf. molécule d'ammoniac)

-A E

₀

-A -A E

₀

-A -A E

₀

-A

Hamiltonien décrivant le mouvement de l'électron dans la base

0

0

... ...

E

₀

-A

-A E

₀

H =

-A

-A n

Recherche des états propres de l'hamiltonien

Difficile à effectuer au premier abord...

On introduit l'opérateur décalage , qui fait passer du site n D ˆ au site n+1

ˆ 1

D n = + n D ˆ est unitaire ( D ˆ

^†

= D ˆ

⁻¹

)

On peut diagonaliser et simultanément ˆ ˆ , 0

 H D  =

  H ˆ D ˆ

Valeurs propres de ? D ˆ ( ) ^{D ˆ}

^N

^{= 1 où N} est le nombre total d'atomes Les valeurs propres sont les racines N-ièmes de l'unité :

exp 2

j

i j N

λ = ^   π ^   j = 0,1,..., N − 1

ˆ 1

D N =

Vecteurs propres de (et donc de ) ^{D ˆ H ˆ}

exp 2

j

i j N

λ = ^   π ^   0,1,..., ,..., 1 2

j = N N − on suppose N pair

0

1

λ =

1 1 1

1 N

   

   

   

#

électron délocalisé sur tous les sites avec la même amplitude

état propre de avec l'énergie :

H ˆ

0

2

E = E − A

/ 2

1

λ

N

= −

1 1 1

N 1

    −

   

    #

état propre de avec l'énergie :

H ˆ

0

2

E = E + A

λ

j

quelconque

2

1

1

j

N

j

λ λ

 

 

 

 

 

 #  état propre de avec l'énergie :

H ˆ

0

2 cos 2 j

E E A

N π

 

= −    

Passage du microscopique au macroscopique

0

2 cos 2 j

E E A

N π

 

= −    

E

₀

+2A

E

₀

-2A E

₀

4 atomes 8 atomes N $ 1

E

₀

+2A

E

₀

-2A

Bande d'énergies permises :

conducteur ou isolant

(avec le principe de Pauli)