Calcul Moulien

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

JACKYCRESSON

Calcul Moulien

Tome XVIII, n^o2 (2009), p. 307-395.

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Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques

pp. 307–395

Calcul Moulien

Jacky Cresson⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— Ce texte est une introduction au calcul moulien, d´evelopp´e par Jean ´Ecalle. On donne une d´efinition pr´ecise de la notion de moule ainsi que les principales propri´et´es de ces objets. On interpr`ete les diff´eren- tes sym´etries (alterna(e)l,symetra(e)l) des moules via les s´eries formelles non commutatives associ´ees dans des big`ebres gradu´ees not´eesA^etE^,

correspondant aux deux types de colois ´etudi´ees par Ecalle, `a savoir

∆(a) = a⊗1 + 1⊗aet ∆_∗(ai) =

l+k=i

al⊗ak. On illustre en d´etail l’application de ce formalisme dans le domaine de la recherche des formes normales de champs de vecteurs et diff´eomorphismes.

ABSTRACT.— This paper is an introduction to mould calculus, as in- troduced by Jean ´Ecalle. We give a precise definition of moulds and de- scribe their main properties. We translate mould symmetries (alterna(e)l and symetra(e)l) using non commutative formal power series in two given bialgebrasA^andE, corresponding to two coproducts structure given by

∆(a) =a⊗1 + 1⊗aand ∆_∗(ai) =

l+k=i

al⊗ak. We apply this formalism to the problem of normal forms for vector fields and diffeomorphisms.

(∗) Re¸cu le 23/08/06, accept´e le 23/01/08

(1) Universit´e de Pau, Laboratoire de Math´ematiques appliqu´ees, CNRS, UMR 5142 France, et Observatoire de Paris, IMCCE (Institut de M´ecanique C´eleste et de Calcul des Eph´em´erides) CNRS UMR 8028 France.

jacky.cresson@univ-pau.fr

Table des mati` eres

Avant-propos sur le calcul moulien . . . .309

Introduction . . . .311

Les raisons du texte. . . .311

Plan du m´emoire . . . .312

Remerciements. . . .313

Premi`ere partie – I. Pr´eliminaires. . . .314

1. Alg`ebre associative et alg`ebre de Lie libre . . . .314

2. Cog`ebres et big`ebres . . . .318

Deuxi`eme partie – II. Calcul Moulien . . . .323

1. Moules . . . .323

2. Les big`ebres A etE . . . .324

3. Combinatoire sur AetE, battage et battage contractant . . . .325

4. ´El´ements primitifs de Aet E. . . .332

5. ´El´ements«group-like» de A etE . . . .337

6. Exemples de moules alterna(e)l, sym´etra(e)l . . . .340

Troisi`eme partie – III. Alg`ebre composition des moules .346 1. Structure d’alg`ebre . . . .346

2. Composition . . . .347

3. Groupe alterna(e)l et sym´etra(e)l . . . .349

Quatri`eme partie – IV. Sym´etries secondaires et d´erivations . . . .351

1. Sym´etries alternil et sym´etril . . . .351

2. D´erivations et sym´etries des moules. . . .354

3. Automorphismes et sym´etries. . . .360

4. Dualit´e des alg`ebres A etE . . . .362

Partie V. Th´eorie des formes normales d’objets locaux . .364

1. Objets locaux : champs de vecteurs et diff´eomorphismes. . . .364

2. Conjugaison des objets analytiques locaux. . . .367

3. Lin´earisation formelle . . . .371

4. Pr´enormalisation . . . .376

5. Arborification : une introduction. . . .383

Notations . . . .393

Bibliographie . . . .394

Avant-propos sur le calcul moulien

parJean Ecalle

Lesmoulessont des objets on ne peut plus concrets et banals : ce sont de simples fonctions d’un«nombre variable de variables»; ou si l’on pr´ef`ere, des fonctions d´efinies sur un monoide. Mais l`a-dessus viennent se greffer :

(i) trois op´erations de base, plus une douzaine de secondaires.

(ii) quatre grands types de «sym´etrie» ou d’«alternance», plus une douzaine de secondaires

(iii) une batterie de r`egles et recettes simples, qui disent comment telle ou telle op´eration affecte, conserve, transforme, etc. . . , telle ou telle propri´et´e (iv) une transformation de grande port´ee, l’arborification, qui sert surtout

`

a rendre convergentes des s´eries mouliennes divergentes, mais qui poss`ede aussi la propri´et´e inattendue de «respecter» l’expression analytique des principaux moules utiles

(v) et enfin, bien sˆur, un bestiaire de quelque trentemoules fondamen- taux, qui surgissent et resurgissent un peu partout, soit directement, soit comme ingr´edients ou pi`eces d´etach´ees `a partir desquelles sont construits lesmoules secondaires, eux-mˆemes en quantit´e ind´efinie.

Aussi ´elabor´e que puisse paraˆıtre cet appareil, il reste malgr´e tout d´eci- d´ement ´el´ementaire dans ses ressorts. Aussi serait-il trompeur, `a mon avis, de parler d’uneth´eorie des moules. On serrerait sans doute la v´erit´e de plus pr`es en parlant `a leur propos d’unsyst`eme de notations doubl´e d’unmode d’emploi sophistiqu´e, qui permet souvent de poursuivre les calculs mˆeme l`a o`u la complexit´e des expressions `a manier semble redhibitoire. On pourrait aussi parler d’un´etat d’esprit moulien: c’est la mentali´e de celui qui ne se contente pas de th´eor`emes g´en´eraux d’existence, d’unicit´e, etc, nous lais- sant sur notre faim, mais qui d´elib´er´ement recherche l’explicite, car il sait par exp´erience que c’est presque toujours possible, toujours payant, et sou- vent indispensable d`es qu’on vise des r´esultats tant soit peu pr´ecis. Et l’on pourrait ajouter que les moules s’incrivent dans une d´emarchetypiquement analytique: ils permettent en effet de cerner les difficult´es, puis de les s´erier, puis de les vaincre , en les examinant tour `a tour pour les composantes de longueur 1, 2, 3, etc, jusqu’`a ce que les m´ecanismes en jeu se d´evoilent et livrent la solution g´en´erale.

C’est pr´ecis´ement cette d´emarche qui a permis, en th´eorie KAM, de dissiper la chim`ere despetits diviseurs surmultiples, qui n’ont aucune esp`ece d’existence, mais qui hantaient la th´eorie depuis son origine.

La mˆeme d´emarche s’applique, avec le mˆeme succ`es, `a l’analyse desob- jets analytiques locaux (champs de vecteurs, diff´eomorphismes, ´equations ou syst`emes diff´erentiels ou fonctionnels . . . ) et en particulier `a l’´etude de leurs invariants holomorphes. Ces derniers sont souvent r´eput´es «non calculables», alors qu’ils le sont ´eminemment – grˆace aux moules.

Les moules interviennent aussi en th´eorie de lar´esurgence, o`u d’ailleurs ils prennent leur origine, car c’est l`a un contexte typiquement non commu- tatif, qui `a chaque pas requiert des indexations sur le monoide engendr´e par C.

Il y a aussi tout le champ des fonctions sp´eciales et sa «compl´etion naturelle», qui est justement le champ des moules sp´eciaux. Expliquons- nous. L’Analyse du 19^eme si`ecle avait pour id´eal la r´esolution explicite des

´

equations (diff´erentielles, etc) au moyen d’un certain nombre de fonctions sp´eciales, r´epertori´ees, d´ecrites et tabul´ees une fois pour toutes. Mais cela s’est vite r´ev´el´e impraticable, car aucune collection de fonctions sp´eciales n’y suffisait. Aussi l’optique a-t-elle chang´e et, pour lacommon wisdomdu 20^eme si`ecle, le ‘but’ ´etait au contraire de trouver desalgorithmes de r´esolution.

C’´etait un progr`es, mais un recul aussi : on perdait en transparence ce qu’on gagnait en g´en´eralit´e. Heureusement, les deux choses sont conciliables : si le champ des fonctions sp´eciales est trop restreint pour«tout exprimer», le champ des moules sp´eciaux, lui, y suffit – tout en incorporant l’aspect algorithmique, vu le mode de d´efinition, par r´ecurrence sur la longueur, de la plupart des moules sp´eciaux.

Qui ditfonctions sp´ecialesdit aussiconstantes trancendantes sp´eciales: les deux choses vont de pair. L`a aussi, les moules sont l’outil idoine : ils sont le langage pr´eadapt´e dans lequel se construit et s’´etudie le corps d´enombrable Na des naturels, qui contient (presque) toutes les constantes transcendantes naturelles – `a commencer par les multizetas, pour qui les principales conjectures viennent justement d’ˆetre r´esolues, par une d´emarche qui, du d´ebut `a la fin, utilise les notations et les op´erations mouliennes.

INTRODUCTION Les raisons du texte

Toute nouvelle notion, en math´ematiques comme ailleurs, est souvent source de difficult´es. C’est notamment le cas desmouleset comoulesintro- duits par Jean Ecalle au cours de ses nombreux travaux, aussi bien dans le domaine des formes normales de champs de vecteurs que dans celui de l’´etude des singularit´es, ou plus recemment, des propri´et´es alg´ebriques des polyzˆetas. Par ailleurs, il n’est pas toujours facile de situer ces nouvelles notions et ses ´eventuelles connexions vis `a vis des domaˆınes math´ematiques existant.

Il n’existe pas de texte introductif sur le calcul moulien, facile d’acc`es, et r´epondant `a ces interrogations. Or, ce travail devient n´ecessaire du fait de l’utilisation de ce formalisme dans des domaines tr`es diff´erents de son champ d’application initial, comme par exemple les r´ecentes contributions de Jean Ecalle en th´eorie des nombres sur la combinatoire des polyzˆetas ([15],[16]).

L’objet de ce texte est de combler ce vide. Nous allons d´efinir les moules, et les comoules, et expliciter certaines m´ethodes associ´ees, comme la m´ethode d’arborification. Mais surtout, nous allons pr´eciser le cadre th´eorique de ces objets, `a savoir celle de la combinatoire des alg`ebres de Lie libre et des big`ebres gradu´ees. On verra notamment que certains des mots nouveaux sont en fait connus depuis longtemps sous une autre terminologie, comme par exemple, l’´equivalence entre un moule alternal et un ´el´ement primitif d’une alg`ebre de Hopf.

La plupart du temps, le calcul moulien, quand il n’est pas vu comme une«th´eorie»des moules, est per¸cu comme compliqu´e et difficile `a manier.

Cette remarque permet aux sp´ecialistes des divers champs d’applications du calcul moulien de le laisser de cˆot´e. Une autre cons´equence est que les apports de ce calcul, par exemple dans l’´etude des champs de vecteurs et des diff´eomorphismes, sont souvent mal cern´es voir ignor´es.

Le but de ce texte est de montrer la simplicit´e d’usage du calcul moulien, et son apport aussi bien th´eorique que pratique, dans le probl`eme clas- sique des formes normales de champs de vecteurs, via la d´emonstration de plusieurs th´eor`emes connus, notamment celui de Bryuno sur la lin´earisation analytique des champs de vecteurs non-r´esonnants en pr´esence de petits diviseurs.

Bien entendu, les moules permettent aussi de d´emontrer des r´esultats nouveaux, souvent difficiles d’atteinte pour les m´ethodes classiques. Par ex-

emple, la d´emonstration de l’analyticit´e de la correction dans [17] pour un champ de vecteur quelconque, qui correspond dans le cas hamiltonien `a la conjecture de Gallavotti. Mais il est plus facile de s’appercevoir de la puissance de ce langage en comparant le degr´e de compr´ehesion obtenu en suivant le chemin classique de d´emonstration d’un th´eor`eme bien ´etabli, et l’approche moulienne. Outre un apport conceptuel ´evident, il am´eliore la compr´ehension de r´esultats existants, au point parfois, de remettre en cause des ph´enom`enes pourtant bien ´etablis. C’est le cas de l’´etude de la convergence de la correction, introduite par J. Ecalle et B. Vallet [17], qui met en ´evidence un ph´enom`enepurement alg´ebrique de suppression despe- tits diviseurs surmultiples. Or, ces derniers apparaˆıssent dans les manipula- tions classiques [20], et la convergence de la s´erie se d´emontre alors au prix d’estimations tr`es fines, connues sous le nom de compensation d’Eliasson.

La puissance des moules s’illustre aussi par son vaste champ d’applica- tions, notamment :

i) R´esurgence (´equation du pont),

ii) ´Equations diff´erentielles (th´eorie des invariants holomorphes, th´eorie des formes normales),

iii) ´Equations aux diff´erences, iv) ´Equations fonctionelles, v) Analyse de Lie,

vi) Th´eorie des nombres (multizetas symboliques).

J’en oublie surement et je renvoie aux travaux d’Ecalle, notamment son article de revue [16] pour plus de d´etails.

Plan du m´emoire Ce m´emoire est constitu´e de 5 parties.

La partie 1 consiste en quelques rappels de la th´eorie des alg`ebres de lie, des alg`ebres enveloppantes d’alg`ebres de lie, et les notions importantes de cog`ebres et big`ebres, qui seront au coeur de ce travail.

La partie 2 est enti`erement consacr´ee au calcul moulien, i.e. `a la combina- toire de deux big`ebres, not´eesAetE, qui interviennent dans tous les travaux d’Ecalle. On en donne deux sources naturelles, `a savoir les d´erivations sur une alg`ebre, et les op´erateurs diff´erentiels. On y d´efinit aussi les principales

sym´etries des moules, et leurs traductions dans la terminologie des alg`ebres de lie libres.

La partie 3 introduit l’op´eration de composition des moules, qui est l’analogue non commutatif de la substitution des s´eries formelles. On d´ecrit en d´etail la structure d’alg`ebre `a composition ainsi obtenue, ainsi que di- verses structures associ´ees, comme les groupes alerna(e)ls et symetra(e)ls.

La partie 4, qui peut ˆetre omise dans une premi`ere lecture, traˆıte de ques- tions th´eoriques sur les moules. On donne une interpr´etation des sym´etries secondaires alternil/symetril. On d´emontre que certaines sym´etries de moules peuvent s’´etablir sans calculs, si ces moules v´erifient une ´equation diff´eren- tielle donn´ee.

La partie 5 enfin, discute la construction des formes normales d’objets analytiques locaux (champs de vecteurs et diff´eomorphismes).

Remerciements

Je remercie Jean ´Ecalle pour ses commentaires, et les fichiers qu’il m’a envoy´e dans lesquels j’ai largement puis´e des exemples de Moules. Je re- mercie ´egalement Leila Schneps, pour sa relecture critique du manuscrit et son aide dans la refonte de certains passages. Guillaume Morin m’a beau- coup facilit´e la tache en reprenant la r´edaction du dernier chapitre et en r´edigeant mes expos´es oraux et mes notes sur la m´ethode d’arborification pour son m´emoire de DEA. Je remercie Marco Abate pour son invitation exposer une partie de ce m´emoire en Avril 2006 `a l’Universit´e de Pise. Je n’oublie pas Jasmin Raissy et sa constante bonne humeur pour notre tra- vail sur la normalisation des diff´eomorphismes locaux. Enfin, j’exprime ma gratitude `a tout ceux qui m’ont encourag´e dans cette r´edaction, notamment Jean-Nicolas D´enari´e, Herbert Gangl, Pierre Lochak, Michel Petitot, George Racinet, Pierre Cartier et Michel Waldschmidt.

Premi`ere partie I. Pr´eliminaires

Cette partie consiste en quelques rappels succincts sur les alg`ebres de Lie libres, les notions de big`ebres et de cog`ebres.

1. Alg`ebre associative et alg`ebre de Lie libre

On renvoie au livre de Serre ([27], LA, Chap.4) et Bourbaki ([1], chap.2) pour les d´emonstrations des r´esultats rappel´es dans le§1.

On rappelle qu’un magma libre est un ensembleM muni d’une applica- tion

M ×M →M, not´ee (x, y)→xy.

D´efinition I.1. — Soit X un ensemble fini. On d´efinit par r´ecurrence une famille d’ensemblesXn,n1, tels que

i)X1=X, ii) pourn2,

Xn=

p+q=n p,q¹

Xp× Xq, (1.1)

o`u

d´enote la r´eunion disjointe.

Remarque I.2. — Un ´el´ement deX2est un couple (x, y) avecx, y∈X; un

´

el´ement deX3sera de la forme (x,(y, z)) ou bien ((x, y), z), etc. De mani`ere g´en´erale, l’ensembleXn est l’ensemble des mots parenth´es´es de longueurn.

On noteMX = ∞ n=1

Xn, et on d´efinit la multiplication

M_X×M_X → M_X,

x_p×x_q → (x_p, x_q)∈ Xp+q ⊂M_X, (1.2) o`u xp ∈ Xp, xq ∈ Xq et la fl`eche → d´enote l’inclusion canonique d´efinie par ii).MX est un magma libre surX. Un ´el´ement wdeMX peut ˆetre vu comme un mot non commutatif et non associatif deX. Sa longueurl(w) est l’uniquentel quew∈ Xn.

SoitKun corps, et soitA_Xlak-alg`ebre du magma libreM_X; les ´el´ements α∈A_X sont les sommes finies

α=

m∈MX

cm·m, cm∈K. (1.3)

La multiplication dans AX ´etend la multiplication dans MX; on continue donc `a la noter (·,·). L’alg`ebre AX est appel´eel’alg`ebre libreAX surX.

SoitIl’id´eal deA_Xengendr´e par les ´el´ements de la forme (a, a), a∈A_X, et par ceux de la forme J(a, b, c) = ((a, b), c) + ((b, c), a) + ((c, a), b) avec a, b, c∈A_X. L’alg`ebre quotient A<sub>X</sub>/I est appel´ealg`ebre de Lie libre surX et se noteLX.

SoitULXl’alg`ebre enveloppante universelledeLX. Cette alg`ebre est iso- morphe `a l’alg`ebreAssX de«polynˆomes associatifs mais non commutatifs surX».

Nous utilisons la notation suivante pour ces polynˆomes. L’ensemble X

´

etant suppos´e fini, posonsX={X₁, . . . , X_N}. Pour toutr1, on note Ω^∗ l’ensemble des suitesω= (ω₁, . . . , ω_r) avecω_i∈ {1, . . . , N}pour 1ir.

Pour chaque r, on note Ω^∗,r le sous-ensemble de Ω^∗ constitu´e des suites de longueur r. A toute suite ω = (ω₁, . . . , ω_r)∈ Ω^∗, on associe un mot de Ass_X, `a savoirX_ω:=X_ω1. . . X_ωr.

Un ´el´ementm∈AssX s’´ecrit alors

m=

ω∈Ω^∗

M^ωX_ω, (1.4)

avec les M^ω∈Kpresque tous ´egaux `a 0.

Les alg`ebres LX et Ass<sub>X</sub> sont munies de graduations naturelles par la longueur ; on appelleL<sup>n</sup><sub>X</sub> resp.Ass<sup>n</sup><sub>X</sub> l’ensemble des combinaisons lin´eaires de crochets (resp. de mots) homog`enes de longueurn.

On a donc

Ass_X= ∞ r=0

Assⁿ_X, L_X= ∞ r=0

LⁿX. (1.5)

On prend les compl´et´es par rapport `a ces graduations, que l’on note Ass_X =

∞ r=0

Assⁿ_X, L_X= ∞ r=0

LⁿX; (1.6)

Un ´el´ementmd’un tel compl´et´e peut ˆetre repr´esent´e par une serie formelle m=

∞ r=1

Yr= ∞ r=0

ω∈Ωr

M^ωXω

, (1.7)

avecYr∈Ass^r_X; nous noterons cette somme de mani`ere condens´ee

m=

•

M^•X_•. (1.8)

Un ´el´ement de Ass_X est enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de ses coefficientsM^•.

L’inclusion deLXdans son alg`ebre enveloppante universelleULXdonne une inclusionLX →AssX puisqueULX AssX; ce morphisme est donn´e explicitement par

LX → Ass_X Xi → Xi

[Xi, Xj] → XiXj−XjXi.

(1.9)

Le produit directLX×LXest aussi une alg`ebre de Lie, munie du produit de Lie donn´e par

(x, x),(y, y)

= [x, y],[x, y]

. (1.10)

On a l’homomorphisme diagonal d’alg`ebres de Lie LX → LX× LX

x → (x, x). (1.11)

Comme on a un isomorphisme

U(LX× LX)→^∼ ULX⊗ULX (1.12) donn´e par

(x, y)→x⊗1 + 1⊗y, (1.13)

l’homomorphisme diagonal induit un homomorphisme appel´e coproduit :

∆ :ULX → ULX⊗ULX

x → x⊗1 + 1⊗x. (1.14)

CommeULXAss_X, nous avons donc un coproduit

∆ :Ass_X→Ass_X⊗Ass_X. (1.15) Le r´esultat important suivant, dˆu `a K. Friedrichs, caract´erise de mani`ere naturelle la sous-alg`ebre de LieLX `a l’int´erieur de Ass_X :

Th´eor`eme I.3. — SoitX un ensemble fini ; alors l’alg`ebre de Lie libre LX sur X coincide avec l’ensemble des ´el´ements primitifs deAss_X, c’est-

` a-dire

LX={m∈Ass_X, ∆m=m⊗1 + 1⊗m}. (1.16) SoitMl’id´eal de l’alg`ebreAss<sub>X</sub> engendr´e par l’ensembleX, c’est-`a-dire l’id´eal de tous les polynomes sans terme constant ; il est engendr´e par les monˆomes autres que 1 (non commutatifs).

On d´efinit une application

ψ:M → LX (1.17) en posant

ψ(X_ω1· · ·X_ωr) =1

r[[· · ·[[X_ω1, X_ω2], X_ω3]· · ·, X_ωr−1], X_ωr] (1.18) pour les monˆomes et en l’´etendant par lin´earit´e `a toutM.

CommeLX ⊂AssX, et d’ailleurs mˆemeLX ⊂ M, on peut restreindre ψ `a ce sous-ensemble, et on obtient le r´esultat suivant, appel´eth´eor`eme de projection:

Th´eor`eme I.4. — L’applicationψest une retraction deMsurLX, i.e.

on a ψ_|LX =id_LX.

Par exemple, on sait que l’´el´ement X₁X₂−X₂X₁ ∈ M appartient en fait `a LX, puisqu’il s’agit de [X₁, X₂] ; on a bien

ψ(X₁X₂−X₂X₁) = 1

2[X₁, X₂]−1

2[X₂, X₁] = [X₁, X₂]. (1.19) SoitM ∈ AssX l’id´eal engendr´e par l’ensemble finiX; c’est donc l’id´eal des s´eries formelles sans terme constant. On d´efinit les applications

exp :M → 1 +M, log : 1 +M → M, (1.20)

par les formules usuelles exp(x) =xⁿ

n!, log(1 +x) = ∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n!. (1.21)

On a

exp log = log exp = 1. (1.22)

On d´efinit leproduit tensoriel compl´et´e AssX⊗AssX =

p,q

Ass^p_X⊗Ass^q_X, (1.23)

et on note que le coproduit ∆ s’´etend aux compl´et´es, ainsi que le th´eor`eme I.3, c’est-`a-dire queLX s’identifie `a l’int´erieur deAss_X avec l’ensemble des m ∈ Ass_X tels que ∆(m) = m⊗1 + 1⊗m dans Ass_X⊗Ass_X. On a le r´esultat important suivant :

Th´eor`eme I.5. — L’applicationexpd´efinit une bijection de l’ensemble des ´el´ements primitifs α ∈ M, c’est-` a-dire tels que ∆α=α⊗1 + 1⊗α, vers l’ensemble desβ ∈1 +Mtels que∆β=β⊗β.

2. Cog`ebres et big`ebres 2.1. Cog`ebres et coproduit

SoitKun corps.

D´efinition I.6. — On appelle cog`ebre sur K un triplet(E,∆, ε)ou E est unK-espace vectoriel,∆est une applicationK-lin´eaire∆ :E→E⊗kE, dit coproduit de E, etε:E→Kest une applicationK-lin´eaire, tels que

c(id_E⊗∆)◦∆ = (∆⊗id_E)◦∆ (2.1) (idE⊗ε)◦∆ = (ε⊗idE)◦∆ = idE. (2.2) On donne un exemple dans la prochaine section.

2.2. Big`ebres et graduations

Une big`ebre est un quintuplet (E, µ, η,∆, ε) tel que

(1) (E, µ, η) est une alg`ebre, i.e.Eest unK-espace vectoriel, etµ:E⊗_KE→ E etη :K→E sont des applicationsK-lin´eaires telles que

µ◦(µ⊗1) =µ◦(1⊗µ) :E⊗_KE⊗_KE→E, (2.3) µ◦(1⊗η) =µ◦(η⊗1) = 1 :E→E, (2.4) en identifiantK⊗_KE=E⊗_KK=E.

(2) (E,∆, ε) est une cog`ebre (voir§2.1)

(3) ∆ etεsont des homomorphismes d’alg`ebres.

Une big`ebre estgradu´eesi l’alg`ebre sous-jacente est munie d’une gradu- ation.

D´efinition I.7. — Dans toute la suite, un ´el´ement x d’une big`ebre E munie d’un coproduit ∆ sera dit primitif si

∆x=x⊗1 + 1⊗x, (2.5)

et«group-like»si

∆x=x⊗x. (2.6)

2.3. Exemples

2.3.1. Alg`ebre de d´erivations

On renvoie au livre de Jacobson ([21], chap.1, §2, p.7-8) pour plus de d´etails.

Soit A une K-alg`ebre non n´ecessairement associative quelconque. Une d´erivationD(ouop´erateur diff´erentiel d’ordre 1) surAest une application lin´eaire deA dansAsatisfaisant

D(xy) = (Dx)y+x(Dy). (2.7)

On note Der(A) l’ensemble des d´erivations surA.

SoientD1,D2∈Der(A) ; on a

(D1+D2)(xy) = D1(xy) +D2(xy),

= (D1x)y+x(D1y) + (D2x)y+x(D2y),

= (D1+D2)xy+x(D1+D2)y.

(2.8)

Par cons´equentD₁+D₂∈Der(A). De mˆeme, on aα=D₁∈Der(A) si α∈K. On voit donc que Der(A) est unK-espace vectoriel.

On peut composer les d´erivations ; la composition deD2etD1est donn´ee par

D₂D₁(xy) = D₂((D₁x)y+x(D₁y)),

= (D₂D₁x)y+D₁xD₂y+D₂xD₁y+xD₂D₁y. (2.9) On peut mˆeme donner la formule g´en´erale pour l’action d’un op´erateur diff´erentiel B = D1◦ · · · ◦Dr d’ordrer sur xy ; elle n’est pas bien belle, mais elle peut ˆetre utile.

D´efinition I.8. — Pour chaque entierr1, nous introduisons l’ensem- blePr de paires

(i1, . . . , in),(j1, . . . , jm)

(2.10) de suites d’entiers, sous-ensembles de la suite(1, . . . , r), telles que

n+m=r

1i1< i2<· · ·< in r 1j1< j2<· · ·< jmr {i1, . . . , in} ∩ {j1, . . . , jm}=∅

{i1, . . . , in} ∪ {j1, . . . , jm}={1, . . . , r}.

(2.11)

Les paires ∅,(1, . . . , r)

et (1, . . . , r),∅

sont incluses dans Pr. Nous

´

ecrirons souventi pour(i₁, . . . , i_n)etj pour(j₁, . . . , j_m)), donc (i, j)∈P_r. L’action d’un op´erateur diff´erentielB est donn´ee explicitement par

B(xy) =

(i,j)∈Pr

(B_ix)(B_jy) (2.12)

o`u

B_i=D_i1D_i2· · ·D_in et B_j=D_j1D_j2· · ·D_jm. (2.13) La composition der d´erivations forme un op´erateur diff´erentiel d’ordre r, qui n’est pas une d´erivation sir >1 ; l’ensemble des d´erivations ne forme donc pas une alg`ebre pour cette multiplication.

Par contre, en posant [D₁, D₂] =D₁D₂−D₂D₁, on obtient [D1, D2]xy=

[D1, D2]x y+x

[D1, D2]y

. (2.14)

Par cons´equent, [D₁, D₂]∈Der(A) et [, ] fait de Der(A) une alg`ebre de Lie appel´eealg`ebre de Lie des d´erivationsoualg`ebre de d´erivationsdeA.

SoitF(A) =D1, . . . , Di, une famille finie de d´erivations de Der(A). On noteKF(A)l’anneau des s´eries formelles sur l’alphabetF(A). Pr´ecisons que nous consid´erons l’identit´e idA comme l’unique op´erateur diff´erentiel d’ordre 0, et nous l’identifions avec l’´el´ement 1∈K. De cette mani`ere, tous les ´el´ements deKF(A)sont des op´erateurs surA.

On peut munir l’alg`ebreKF(A)d’une structure de cog`ebre.

Counit´e. On noteεl’homomorphisme

ε:KDer(A) →K (2.15)

d´efini en associant `a chaque s´erie formelle deKF(A)son terme constant.

Coproduit. A toute d´erivationD ∈ Der(A) on associe un op´erateur de A⊗AdansA⊗A, not´e ¯D, par

D(φ¯ ⊗ψ) =Dφ⊗ψ+φ⊗Dψ. (2.16) SiD1etD2sont deux d´erivations, on construit une application naturelle deA⊗AdansA⊗Anot´eeD1⊗D2, d´efinie par

(D₁⊗D₂)(φ⊗ψ) =D₁φ⊗D₂ψ. (2.17) Finalement, on d´efinit une application lin´eaire ∆ de Der(A) dans Der(A)⊗

Der(A) par

Der(A) →^∆ Der(A)⊗Der(A),

D → D⊗1 + 1⊗D. (2.18)

On note que

D¯ = ∆(D). (2.19)

De plus, en notant µ l’op´erateur lin´eaire de A⊗A dans A d´efini par φ⊗ψ→φ·ψ, on a l’´egalit´e

D◦µ=µ◦∆(D), (2.20)

traduisant la commutativit´e du diagramme A⊗A ^∆(D)−→ A⊗A,

↓^µ ↓^µ

A −→^D A.

(2.21)

On peut d´efinir directement ∆ en posant

∆(B) =

i+j=r

B_i⊗B_j. (2.22)

Notons que ∆(1) = 1⊗1, et de plus, on a la formule utile

∆(B1B2) = ∆(B1)∆(B2). (2.23) Pour le voir, on commence `a l’ordre 2 :

∆(D₁D₂) = (D₁D₂)⊗1 +D₁⊗D₂+D₂⊗D₁+ 1⊗(D₁D₂)

= (D₁⊗1 + 1⊗D₁)(D₂⊗1 + 1⊗D₂)

= ∆(D₁)∆(D₂).

(2.24) et on continue par r´ecurrence.

Lemme I.9. — Le triplet D= (KDer(A),∆, ε)est une cog`ebre.

2.3.2. Alg`ebre d’op´erateurs diff´erentiels

Un deuxi`eme type de coproduit intervient naturellement dans l’´etude des op´erateurs diff´erentiels d’ordre r1, que nous notonsB (ouBr) pour les distinguer des d´erivations, habituellement not´eesD.

Nous avons vu que l’ensemble des op´erateurs diff´erentiels d’ordrer sur Apour toutr1 forme uneA-alg`ebre, not´ee Op(A), sous la multiplication correspondant simplement `a la composition des op´erateurs. C’est la sous alg`ebre associative des endomorphismes deAengendr´es par les d´erivations.

A partir deB_r, on d´efinit une application deA⊗AdansA⊗A par B_r(φ⊗ψ) =

i+j=r

B_iφ⊗B_jψ, (2.25)

o`u le sens de cette somme est comme dans (2.12). On obtient un copro- duit ∆_∗ d´efini sur KOp(A)par

Op(A) −→∆_∗ Op(A)⊗Op(A),

B_r −→

i+j=r

B_i⊗B_j. (2.26)

On a bien sˆur, pour tout B ∈ Op(A), en conservant les notations pr´ec´edentes

B◦µ=µ◦∆_∗(B). (2.27)

Notons que l’equation (2.23) reste valable pour ∆_∗.

Lemme I.10 L’espace vectoriel KOp(A), muni du coproduit ∆_∗ et de l’application lin´eaireεdu lemme I.9, forme une cog`ebre.

Deuxi`eme partie II. Calcul Moulien

On d´efinit les moules et les principales op´erations alg´ebriques sur ces objets via les s´eries formelles non-commutatives associ´ees. On donne la tra- duction des diverses propri´et´es alg´ebriques des s´eries (primitive/group-like) sur les moules associ´es, pour les big`ebresAet E, consuisant aux sym´etries alterna(e)l/symetra(e)l respectivement.

1. Moules

SoitAun ensemble. On note A^∗ l’ensemble des mots construits sur A.

Les moules sont d´efinis par :

D´efinition II.11. — Soit A un ensemble et K un anneau. Un moule sur A `a valeur dansKest une application, not´eeM^•, de A^∗ dansK.

La notationM^• pour d´esigner une application deA^∗ dansKn’est pas usuelle, mais elle coincide avec la notation utilis´ee par Jean Ecalle.

Par convention, un moule M^• ´etant donn´e, on note M^a la quantit´e M^•(a) pour touta∈A^∗.

Les moules sont ´evidemment en correspondance bi-univoque avec les s´eries formelles non commutatives de KA. En effet, a tout moule M^• surA, on associe la s´erie S(M) =

a∈A^∗

M^aaet vice versa.

Notation. — On noteM_K(A) l’ensemble des moules surA valeur dans K.

La structure d’alg`ebre deKAse transporte sur M_K(A).

2. Les big`ebresA etE

SoitKun corps. SoitX un alphabet et Y = (y_i)_i∈N un alphabet cod´e par un semi-groupe additif.

On noteKX (resp. KY), la K-alg`ebre des s´eries formelles non commutatives form´ee surX^∗ (resp.Y^∗).

D´efinition II.12. — On note A = (KX, ε,∆) la cog`ebre d´efinie par :

i) le coproduit∆ est d´efini sur les lettresxdeX par

∆(x) =x⊗1 + 1⊗x, ∀x∈X. (2.1) Le coproduit d’un motx=x1. . . xr se calcule via la propri´et´e

∆(x¹x²) = ∆(x¹)∆(x²), ∀x¹, x²∈X^∗. (2.2) On ´etend∆ `aKXpar lin´earit´e, en particulier

∆(∅) = ∆(1) = 1⊗1.

ii) On d´efinit la counit´eε par :

KX → K,

x∈X^∗

M^xx → M^∅. (2.3)

Le coproduit ∆ deAest le coproduit naturel. La propri´et´e (2.2) traduit le fait que ∆ est un morphisme d’alg`ebre.

D´efinition II.13. — Rappelons que Y est un alphabet cod´e par un semi-groupe. NotonsE= (KY,∆_∗, ε)la cog`ebre d´efinie par :

i) Le coproduit∆_∗ est d´efini sur les lettres deY par

∆_∗(yr) =

i+j=r

yi⊗yj. (2.4)

On ´etend∆_∗ `aY^∗ par la propri´et´e :

∆_∗(y¹y²) = ∆_∗(y¹)∆_∗(y²), ∀y¹, y²∈Y^∗. (2.5) On ´etend∆_∗ `aKYpar lin´earit´e.

ii) la counit´e surEest d´efinie comme dans la d´efinition II.12, ii).

On voit que les cog`ebres A et E sont en fait des big`ebres : en effet, KX(resp.KY) est une alg`ebre, ∆ et ∆<sub>∗</sub>sont des homomorphismes d’alg`ebres, et la condition surεest ´evidente.

Encore une fois, A et E sont des big`ebres gradu´ees, car les alg`ebres KX et KY sont munies de la graduation naturelle donn´ee par la longueur des mots dans l’alphabetX (resp.Y).

3. Combinatoire sur AetE, battage et battage contractant 3.1. Combinatoire sur A

On prend comme ci-dessus un corps K de caract´eristique z´ero et un alphabetX. On consid`ere laK-alg`ebreKX. Pla¸cons-nous dans la big`ebre gradu´ee A obtenu en munissant KX du coproduit ∆ de la d´efinition II.12.

Nous ´ecrivons x = (x1, . . . , xr) pour un ´el´ement de X^∗. L’entier r s’appelle la longueur de la suite; sir= 1 alors x∈X, et l’unique ´el´ement deX^∗ de longueur 0 est∅.

NotonsC(X) l’ensemble des couples de suites deX^∗; on note un couple de suitesx¹;x²=(x¹₁, . . . , x¹_n); (x²₁, . . . , x²_m).

D´efinition II.14. — `A chaque x ∈ X^∗, soit Cx le sous-ensemble de C(X) de couples de suites «engendr´e par ∆(x)», i.e. apparaissant dans l’expression de∆(x).

•Pourr= 0, on a

∆(∅) = ∆(1) = 1⊗1 =∅ ⊗ ∅ donc

C_∅=

∅;∅ .

•Pourr= 1, on a

∆(x) =x⊗1 + 1⊗x donc

Cx=

x;∅,∅;x .

•Pourr= 2, on ax= (x₁, x₂) et

∆(x1x2) = ∆(x1)∆(x2)

= (x1⊗1 + 1⊗x1)(x2⊗1 + 1⊗x2)

= x1x2⊗1 +x2⊗x1+x1⊗x2+ 1⊗x1x2

= x⊗ ∅+x2⊗x1+x1⊗x2+∅ ⊗x.

donc

C_x=(x1,x2)={x;∅,x₁;x₂,x₂;x₁,∅;x},

•Pour toutr0, on a|Cx|= 2^rsixcontientrcomposantes distinctes.

De mani`ere g´en´erale, on voit que l’ensemble des couples apparaissant dans l’expression de ∆(x), c’est-`a-dire les couples de Cx, est donn´e par

C_x=

x_i;x_j

|(i, j)∈P_r

, (3.6)

o`u x= (x1, . . . , xr) est une suite de X<sup>∗</sup> de longueurr, la d´efinition de l’ensemble Pr des paires de suites d’entiers associ´e `a un entier r 1 est donn´ee dans la d´efinition I.8 du§I.2.3, et pour

i= (i₁, . . . , i_n), j= (j₁, . . . , j_m) on a

x_i= (xi1, . . . , xin), x_j= (xj1, . . . , xjm).

Nous arrivons maintenant `a la d´efinition et aux r´esultats principaux de cette section.

D´efinition II.15. — Soitx¹;x²un couple de suites. On appelle battage dex¹;x²et on notesh(x¹, x²)l’ensemble des suites obtenues en m´elangeant les ´el´ements des deux suites x¹ et x² en pr´eservant l’ordre interne de cha- cune d’elles.

Exemple. — Soitx¹= (a, b) etx²=c, alors

sh(x¹, x²) ={(a, b, c),(a, c, b),(c, a, b)}. (3.7)

Proposition II.16. — Soitx¹;x²un couple de suites. L’ensemble des mots stelles que x¹;x²soit dansCs est donn´e par l’ensemble de battage sh(x¹, x²).

D´emonstration. — Pour d´emontrer cette proposition, nous introduisons une action deXsurC(X) qui nous aidera `a classer les couples apparaissant dansC_x.

Soitx∈X, etx¹, x² ∈X^∗. La multiplication dans KX ⊗_KkX des deux ´el´ements ∆(X) etx¹⊗x² donne

∆(x)·(x¹⊗x²) =xx¹⊗x²+x¹⊗xx². (3.8) Cette formule peut se traduire en une action, ou plutˆot une somme de deux actions de X sur C(X). En effet, d´efinissons deux actions de X sur C(X) comme suit :

a⁺: X×C(X) → C(X), (x,x¹;x²) → x¹; (x, x²), a⁻: X×C(X) → C(X),

(x,x¹;x²) → (x, x¹);x², o`u (x, xⁱ) d´enote la concat´enation des suitesxet xⁱ dansX^∗.

Pour toutx∈Ω, les op´erateursa⁻_x eta⁺_x v´erifient a⁺_x1a⁻_x2 =a⁻_x2a⁺_x1. Les actions dea⁺_x et de a⁻_x sontnon commutatives:

On aa⁺_x1a⁺_x2=a⁺_x2a⁺_x1 (resp.a⁻_x1a⁻_x2 =a⁻_x2a⁻_x1) si et seulement six1=x2. L’´egalit´e (3.8) se traduit par la relation r´ecursive suivante sur les ensem- blesC_x:

C_x= (x₁, . . . , x_r) =a⁺_x1

C_(x2,...,xr) +a⁻_x1

C_(x2,...,xr)

, (3.9) o`u l’on ´etend lesa⁺ et a⁻ aux ensembles de paires en prenant la somme.

Autrement dit, on a l’´enonc´e suivant qui d´ecoule en fait imm´ediatement de cette remarque :

Lemme II.17. — Soit x = (x₁, . . . , x_r). Alors les ´el´ements de C_x sont donn´es par

a^σ_x¹₁a^σ_x²₂. . . a^σ_xr^r∅;∅, (3.10) o`uσi=±1,i= 1, . . . , r.

Nous terminons maintenant la d´emonstration de la proposition II.16.

Une direction est facile : six∈sh(x¹, x²), alors (3.6) montre quex¹;x² ∈ Cx.

Supposons donc quexest une suite telle quex¹;x²est dansCx. Alors la longueurrdexest ´egale `a la somme des longueurs dex¹et dex²(disons netmrespectivement avecn+m=r). Ecrivonsx= (x1, . . . , xr). On a vu au lemme II.17 que les 2^r ´el´ements deCxsont donn´es par

a^σ_x¹₁· · ·a^σ_x^r_r∅;∅ o`uσi =±1.

Six¹;x² ∈C_x, i.e. sixest unr-uple tel que

a^σ_x¹₁· · ·a^σ_x^r_r∅;∅=x¹;x², (3.11) alors il y andesσ_iqui sont ´egaux `a−1, disonsσ<sub>i1</sub> =· · ·=σ<sub>in</sub>=−1, et les m autres sont ´egaux `a +1, disonsσj1 =· · ·=σjm = +1, o`u {i1, . . . , in} ∪ {j1, . . . , jm}={1, . . . , r}et 1i1<· · ·inr, 1j1<· · ·< jmr.

Alors (3.11) implique que (si1, . . . , sin) = (ω₁¹, . . . , ω_n¹) et (sj1, . . . , sjm) = (x²₁, . . . , x²_m), ce qui ´equivaut `a dire que x∈sh(x¹, x²).

3.2. Combinatoire surE

Pla¸cons-nous maintenant dans la big`ebre E, c’est-`a-dire dans l’alg`ebre KY munie du coproduit ∆<sub>∗</sub> de la d´efinition II.13. Rappelons que Y est un alphabet cod´e par un semi-groupe, et queY<sup>∗</sup> d´enote l’ensemble des suites (ys1, . . . , ysr) der´el´ements deY ; la suite de longueurr= 0 est∅. On consid`ere la concat´enationyy de deux suites dansY^∗ ; il est entendu que y∅=∅y=y; la longueur de la suite concat´en´ee de deux suites de longueurs netm respectivement estn+m.

D´efinition II.18. — Comme au§3.1, nous associons `a chaquey∈Y^∗ un ensemble de couples de suitesC_y^∗ “engendr´e par ∆_∗(y)”, i.e. contenant tous les couples apparaissant dans la somme∆_∗(y).

•Pourr= 0, d’apr`es la d´efinition II.13, on a

∆_∗(∅) = 1⊗1 =, donc

C_∅^∗={∅;∅}. (3.12)

•Pourr= 1 ety_s∈Y, on a

∆_∗(ys) =

k+l=s

yk⊗yl. (3.13)

On a donc

C_y^∗_s=

y_k, y_l |k+l=s,0k, ls

. (3.14)

•Pourr= 2, siyietyj sont deux lettres deY et on posey=yiyj, on a

∆_∗(y) = ∆_∗(yi)∆_∗(yj)

=

k+l=i

y_k⊗y_l

k+l=j

y_k⊗y_l

=

k+l=i

k+l=j

ykyk⊗ylyl.

(3.15)

On obtient donc C_y^∗=

ykyk;ylyl)

|k+k=i, l+l=j, 0k, k i, 0l, lj

. (3.16) On arrive `a la d´efinition et aux r´esultats principaux de cette section.

D´efinition II.19. — Soity¹;y²un couple de suites. On appelle battage contractant dey¹;y², et on notecsh(y¹, y²), l’ensemble des suites obtenues par battage de y¹;y²suivi de la contraction ´eventuelle

(y_s¹

i, y_s²

j)→^∗ y_s¹

i+s²_j, (3.17)

d’une ou plusieurs paires (y_s¹

i, y_s²

j) d’´el´ements cons´ecutifs provenant de y¹ ety².

Proposition II.20. — Soity¹;y²un ´el´ement deY^∗×Y^∗. L’ensemble des suites y telles que y¹;y² soit dans C_y^∗ est donn´e par le battage con- tractant de(y¹, y²).

D´emonstration. — Soienta⁺eta⁻ les op´erateurs introduits au§3.1. No- tons les faits suivants.

•Poury_s∈Y, les ´el´ements deC_y^∗_s s’obtiennent en appliquant au couple

∅;∅, seul ´el´ement de C_∅^∗, tous les op´erateurs a⁻_ys

1a⁺_ys

2 avec s1+s2=s, 0s1, s2s}. (3.18)