Devoir surveillé n°8

C D

Devoir surveillé n°08 –1

S – vendredi 14 Avril 2017

Nom : Prénom :

Compétences Acquis En cours

d’acquisition

Non acquis Calculer un produit scalaire à l’aide des différentes définitions

Utiliser la formule des sinus Utiliser le théorème d’AL-KASHI Calculer l’aire d’un triangle

Déterminer l’équation cartésienne d’une droite Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle

Déterminer l’intersection d’une droite et d’un cercle ou de 2 droites Déterminer la mesure d’un angle.

Dériver une fonction quotient

Etudier les variations d’une fonction quotient Calculer les premiers termes d’une suite Compléter un algorithme de seuil Maitrise des calculs

Justifier - argumenter Prise d’initiative

Exercice n°1 : [5.5 points]

1. Déterminer la distance entre le navire de Bernard et l’île C.

2. En déduire la distance entre les deux îles.

3. On considère que la course est terminée lorsqu’un bateau atteint la bouée située au milieu (I) des deux îles.

a) Déterminer la distance restante à parcourir pour Bernard (B).

b) On admet que 𝐴𝐼 = 824.75. Sachant que le bateau d’Albert avance à une vitesse de 80km/h et que celui de Bernard avance à 50km/h.

Qui gagnera la course ? (justifier)

Exercice n°2 : [5 points]

Soit ABC un triangle tel que : 𝐵𝐶 = 6 ; 𝐴𝐶 = 5 𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 3

H est le pied de la hauteur issue de A et K le pied de la hauteur issue de C.

1.

a) Calculer 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .

b) Exprimer 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de BH.

c) En déduire BH 2.

a) Démontrer que 𝐵𝐾 × 𝐵𝐴 = 𝐵𝐻 × 𝐵𝐶 b) En déduire BK.

3. Déterminer une mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴̂.

4. Calculer l’aire du triangle ABC.

Les bateaux d’Albert (A) et de Bernard (B) approchant de deux îles nommées C et D relèvent les mesures données sur le schéma ci- contre.

On admet que le navire de Bernard (B) est situé à 654.72 m de l’ile D.

Exercice n°3 : [9.5 points]

Soit un repère orthonormé. On considère la droite (𝑑₁) d’équation 5𝑥 − 12𝑦 + 54 = 0 et 𝐴(11; −5)

Compléter la figure ci-dessous au fur et à mesure.

1.

a) Donner un vecteur directeur 𝑢⃗⃗⃗⃗ de (𝑑_{1 1}) et un vecteur normal 𝑛⃗⃗⃗⃗ à (𝑑_{1 1}).

b) Ecrire une équation cartésienne de la droite (𝑑₂) perpendiculaire à (𝑑₁) passant par A.

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection H des droites (𝑑₁)𝑒𝑡 (𝑑₂).

2.

a) Montrer que le cercle 𝒞 de centre A et tangent à (𝑑₁) est de rayon 𝑅 = 13 b) Déterminer une équation de 𝒞.

c) Le cercle 𝒞 passe-t-il par l’origine du repère.

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection B et C de 𝒞 avec l’axe des abscisses.

B est le point d’intersection d’abscisse la plus petite.

4.

a) Calculer 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de deux façons différentes.

b) En déduire la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐻̂. (arrondir à 10⁻¹)

Exercice 4: [5 points]

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ\ {1} par :𝑓(𝑥) =^{𝑥²+𝑥+2}

𝑥−1

1.

a) Démontrer que : ∀𝑥 ∈ ℝ^∗∶ 𝑓^′(𝑥) =^{𝑥²−2𝑥−3}

(𝑥−1)²

b) Etudier les variations de 𝑓 sur ] − ∞; 1[ et ]1; +∞[.

2. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

a) ∀𝑥 ∈]1; +∞[ ∶ 𝑓(𝑥) > 3

b) Il existe un réel 𝑥 tel que :𝑓(𝑥) = 2.

c) 𝐶_𝑓 admet deux tangentes horizontales.

d) L’équation de la tangente à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 2 est : 𝑦 = 8𝑥 − 19

Exercice 5: [5 points]

Dans le modèle d’étude du développement d’une population de bactéries, on estime que chaque heure, le nombre de bactéries augmente de 75% puis diminue de 50 unités.

On suppose que le nombre de bactéries présentes à l’instant 𝑡 = 0 est égal à 100.

Les biologistes estiment l’aliment impropre à la consommation lorsque le nombre de bactérie dépasse 50 000.

On note 𝑢_𝑛 le nombre de bactéries n heures après l’instant 𝑡 = 0.

1. Déterminer les 4 premiers termes de la suite (𝑢_𝑛).

2. Pour tout entier naturel, exprimer 𝑢_𝑛+1 en fonction de 𝑢_𝑛.

3. On souhaite calculer les premiers termes à l’aide de la feuille de tableur ci-contre.

Quelle formule doit-on entrer en cellule B3 puis étirer vers le bas?

4. Conjecturer sur le sens de variations de la suite (𝑢_𝑛) à l’aide de votre calculatrice.

On admet ce résultat pour la suite de l’exercice.

5. Compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche l’heure à partir de laquelle l’aliment est impropre à la consommation.

6. Déterminer l’heure à partir de laquelle l’aliment est impropre à la consommation.

Variables : U, N Début :

U prend la valeur ……….

N prend la valeur 0

Tant que ……….

U prend la valeur ………..

N prend la valeur ……….…..

Fin tant que Afficher ……….

Fin