DEVOIRS DE MATHEMATIQUES 2 de B
Année scolaire 2013-2014
DNS no6 DNS no7 DNS no8
2 Les devoirs surveillés
DS no1 DS no2
DS Commun Décembre DS no4
DS no5
DS Commun Avril DS no7
3 Les interrogations écrites
IE no1
Lycée Gustave Eiffel 2deB 2013/2014
DEVOIR NON SURVEILLE N
o1
Exercice 1
On considère l’algorithme ci-contre :
1) Appliquer l’algorithme lorsque le nombre choisi au départ est égal à -3, 0 puis 1
3.
2) On notexle nombre choisi au départ etf(x) le résul- tat donné en sortie.
On appellef la fonction ainsi définie.
Déterminer l’expression def(x).
3) Réduire l’expression def(x).
4) Quel est l’ensemble de définition def ? 5) Recopier et compléter le tableau suivant :
(on détaillera au moins un calcul sur la copie)
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
f(x)
Algorithme:
Entrées: Un nombre compris entre -5 et 1 Traitement
Ajouter 2 au nombre de départ Elever le résultat au carré Soustraire 1
Fin
Sorties: Afficher le résultat
5) En utilisant le tableau, déterminer les solutions éventuelles de l’équationf(x) = 0.
6) Construire dans un repère, d’unité graphique 1cm, la représentation graphique de la fonctionf. Exercice 2
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonctionf définie sur [−4;3] parf(x) = 0,5(x+1)2−2
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2
−1
−2
−3
−4
1) a. Lire sur la courbe les images de 0, de−1 parf.
b. Retrouver les résultats par le calcul.
2) Lire graphiquement les antécédents de 0, de
−3, de−2 et de 4 parf.
3) Calculer la valeur exacte def(√ 2)
4) a. Graphiquement, estimer si les points sui- vants appartiennent à la représentation graphique de la fonctionf :
A(−3;0) ; B(2;2.25) ; C1 2;7
8
. b. Retrouver les résultats précédents par le
calcul.
Exercice 3
Recopier et compléter les propositions suivantes et représenter les intervalles sur la droite des nombres réels.
1) ...x... équivaut àx∈]4;6]
2) x≤ −2 équivaut àx∈...
3) x >3 équivaut àx∈..
4) ... équivaut àx∈]− ∞;0[
5) −3≤x≤0 ou 2< xéquivaut àx∈....
0 1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6 0
1 2 3 4 5
−1
−2
b b
(C)
1) Donner l’ensemble de définition def.
2) Déterminer l’image de 1, de -4 et de 4 parf ainsi quef(3),f(0) etf(−5).
3) Déterminer les antécédents éventuels de 2 et de -2 parf. 4) Résoudre graphiquement :
a) f(x) =−1 b) f(x)>2 c) f(x)<0.
5) Soitgla fonction définition surRparg(x) =x2+ 4x+ 5.
Après avoir indiqué le calcul de la première valeur remplir le tableau suivant :
x -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
g(x)
6) Sur le graphique de l’énoncé, construire la courbe représentative degpuis résoudre : a) f(x)6g(x) b) f(x)> g(x).
Exercice 2
On dispose de l’algorithme ci-dessous : Algorithme 1 :calcul d’image
1 Variables:xety;
2 Entrées:x
3 Traitement
4 y←2x
5 y←y−7
6 y←y2
7 y←y+ 1
8 Fin
9 Sorties: Afficher « L’image dexest : »y
1) a. Un utilisateur exécute cet algorithme et rentre la valeur 5 pourx. Donner la va- leur dey après l’exécution de la ligne 4, de la ligne 5, de ligne 6, de la ligne 7.
(On pourra présenter les résultats dans un tableau en y indiquant les différentes
affectations et les valeurs de la variabley) b. Même question avec la valeur−3 pourx.
2) On veut analyser l’algorithme.
a. Donner la valeur de y en fonction de x après l’exécution de la ligne 4, de la ligne 5, de ligne 6, de la ligne 7.
b. En déduire alors quey est une fonction dexet préciser l’expression def.
3) Soitgla fonction définie surRpar g(x) =x2
2 + 5
Ecrire en langage naturel un algorithme per- mettant de calculer pas à pas l’image d’un nombre saisi par l’utilisateur par la fonction g.
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DEVOIR NON SURVEILLE N
o3
Exercice 1
Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = (3x+ 1)2−49 . 1) Développer et réduiref(x).
2) Factoriserf(x).
3) En choisissant la forme la plus adaptée def(x) : a. Déterminer les images de 13et√
2 parf.
b. Déterminer l’ordonnée du point de la courbe représentative de f qui a pour abscisse 0.
c. Déterminer le (les) antécédents éventuel(s) de 0 parf. d. Résoudre l’équationf(x) =−48.
Exercice 2
Dans un repère orthonormé (O; I,J), on considère les points A(1;−1), B(3;1) et C(−1;3). La figure sera com- plétée au fur et à mesure des questions. On prendra pour unité graphique OI = OJ = 1 cm.
1) Placer les points A, B et C.
2) Déterminer la nature du triangle ABC.
3) Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].
4) Calculer les coordonnées du point D symétrique de C par rapport à M.
5) Déterminer la nature du quadrilatère ACBD.
Exercice 3
Voici un algorithme :
Algorithme:Quel est mon rôle ?
Variables:xA,yA,xB,yB,xC,yC,xI,yI,xD,yD Entrées: SaisirxA,yA,xB,yB,xC,yC.
Traitement xI← xA+x2 C yI←yA+y2 C xD←2xI−xB yD←2yI−yB Fin
Sorties: AfficherxD,yD.
1) Faire fonctionner cet algorithme dans chacun des cas suivants :
a. A(2 ; −1) ; B(−3 ; 1) ; C(5 ; 4) b. A(2 ; 2) ; B(−4 ; 6) ; C(−1 ; 3) 2) Tracer un repère orthonormé et placer les
points A, B, C et D dans chacun des cas pré- cédents.
3) Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
Exercice 1
Soit ABCD un rectangle de dimensions données, AB = 6 cm, BC = 8 cm. Sur le côté [AB], on choisit un point M quelconque. On place ensuite les points N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA] tels que AM = BN = CP = DQ.
Le but de l’exercice est de déterminer pour quelle distance AM l’aire de MNPQ est minimale ?
A
B C
D
1 Avec Ge Gebra
1.1 La figure
1) Coder et compléter la figure ci-dessus. On noteralla distance AM.
2) Dans la fenêtre graphique, placer A à l’origine du repère. L’unité étant le centimètre, placer ensuite les points B,C et D en utilisant leur coordonnées dans le repère , enfin construire le rectangle ABCD en utilisant l’outil afin d’obtenirpoly1dans la fenêtre d’algèbre.
3) En utilisant l’outil Aplacer un point M sur le segment [AB].
4) Définirl= AM en utilisant la fenêtre de saisie et la commande suivante :l=Distance[A,M]
5) Déterminer en fonction delles coordonnées des points N, P et Q et les placer en utilisant la fenêtre de saisie. Construire alors le quadrilatère MNPQ en utilisant l’outil polygone .
On retrouverapoly2dans la fenêtre d’algèbre.
6) Enfin afficher l’aire du quadrilatère en utilisant l’outil cm2 .
1.2 La courbe
1) Dans le menuAffichage, sélectionnerGraphique 2, un deuxième repère apparaît.
2) On réglera les unités du nouveau repère dans le menu Options – Avancé... puis Préférences Graphique 2: Xmin=−1, Xmax= 7, Ymin=−1, Ymax= 50
3) Dans la fenêtre de saisie, rentrer le point I d’abscisselet d’ordonnéepoly2.
4) Sélectionner le point I, puis par un clic droit sélectionnertrace activée.
5) Bouger le point M et émettre une conjecture sur l’aire minimale de MNPQ et la position du point M sur [AB].
6) Joindre à la copie une impression d’écran sur laquelle on pourra observer la figure, la trace du point I et la conjecture.
2 Preuve avec XCAS
On admettre dans la suite de l’exercice que la fonctionf donnant l’aire du quadrilatère MNPQ en fonction de la longueur AM =xest définie sur [0 ; 6] parf(x) = 2x2−14x+ 48.
On donne ci-dessous une impression d’écran obtenue avec le logiciel de calcul formelXCAS.
Tournez s.v.pN
1) Que peut-on dire d’après les lignes 2 et 3 de la fenêtre XCAS ? 2) Calculerf 7
2
et retrouver le résultat annoncé par le logiciel.
3) Démontrer quef(x)−f 7
2
=(2x−7)2 2 4) Justifier que l’on a bienf(x)>f 7
2
pourx∈[0 ; 6].
Qu’a-t-on ainsi démontré ? Exercice 2
Dans la pièce ci-dessous, un lampadaire est placé en L et un fauteuil en F. Le lampadaire donne un éclairage satisfaisant pour la lecture dans un rayon de 3,50 mètres. L’éclairage est-il satisfaisant si on lit un livre dans un fauteuil placé en F ?
On déplace le lampadaire. Écrire un algorithme permettant de savoir si, pour une position donnée de ce lampadaire, l’éclairage est satisfaisante pour lire un livre dans ce fauteuil.
1m 7m
2m 1m
10m 6m
F L
Exercice 1
Voici un magnifique hexagone régulier de centre O.
En utilisant uniquement les points de la figure, ex- primez les vecteurs suivants à l’aide d’un seul vec- teur :
1) # » OB +# »
FE 2) # »
AB +# » BC 3) # »
AB−# » BC 4) # »
EO +# » BA +# »
FA 5) # »
DB−# » EF
O A
B C
D
E F
Exercice 2
Dans cet exercice on se placera dans le plan rapporté à un repère (O,I,J).
1) Appliquer cet algorithme à chacun des points suivants : A(1;2), B(−2;2) et C(2;−3).
2) Placer les points A, B, C ainsi que les points A0, B0, C0dans le repère.
3) Tracer les vecteurs# » AA0, # »
BB0 et# » CC0. Que remarque t-on ?
4) Par quelle transformation du plan obtient-on le triangle A’B’C’ à partir du triangle ABC ?
Algorithme:Qui suis-je ? Variables:xM,yM,xM0 etyM0
Entrées:xM etyM. Traitement
xM0←xM+ 2 yM0←yM+ 3 Fin
Sorties: Afficher (xM0;yM0)
Exercice 3
Dans un repère orthonormal (O,I,J) , on considère les points P(−2;1), Q(2;2), et R(1;−2).
1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2) Démontrer que le triangle PQR est isocèle.
3) Calculer les coordonnées de # » QP, # »
QR puis de# » QP +# »
QR.
4) Calculer les coordonnées du point M tel que # »
QM =# »
QP +# » QR.
5) Que peut-on dire de PQRM ? Justifier.
6) Calculer les coordonnées de son centre I.
Exercice 4
1) Compléter les propriétés du cours :
a. ABCD est un parallélogramme si et seulement si . . . .
b. Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points d’un repère (O,I,J) du plan.
Alors # »
AB a pour coordonnées : . . . .
2) Ecrire alors en language formalisé un algorithme qui, lorsque l’on entre les coordonnées de 4 points A, B, C et D du plan, indique si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou non.
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DEVOIR NON SURVEILLE N
o6
Exercice 1
Une société de téléphonie fictive propose les tarifs des forfaits non bloqués pour téléphones portables suivant :
• Tarif A : sans abonnement et 0,15 AC par mi- nute.
• Tarif B : abonnement de 12AC et 0,05AC par mi- nute.
On note A(x) et B(x) les prix payés pourx minutes avec les tarifs A et B précédents.
1) Exprimer A(x) et B(x) en fonction dex.
2) Compléter l’algorithme ci-contre donnant le meilleur tarif et le prix à payer en fonction du nombre de minutes consommées.
3) Tracer dans un repère orthogonal les courbes représentatives des fonctionsx7→A(x) etx7→
B(x) sur l’intervalle [0;200].
4) Déterminer par le calcul le nombre de minutes pour lequel les tarifs A et B sont égaux.
Algorithme:Le meilleur tarif Variables: . . .
Entrées: . . . Traitement
. . .←. . . . . . .←. . . .
si. . . . alors Afficher : « Le tarif le plus
intéressant est le tarif . . . »
« Pour un coût de » . . . .AC fin
si. . . . alors Afficher : « Le tarif le plus
intéressant est le tarif . . . »
« Pour un coût de » . . . .AC.
fin
si. . . . alors
Afficher : « Les tarifs . . . et . . . . . . sont . . . »
« Pour un coût de » . . .AC fin
Fin 6) En utilisant le graphique répondre aux questions suivantes :
a. Pour quelles consommations le tarif A est-il le plus intéressant ?
b. Quel tarif doit-on choisir avec un budget de 20AC pour obtenir le meilleur temps de communi- cation ?
Combien de temps pourra-t-on téléphoner ?
7) Un autre tarif propose 15AC pour 100 minutes et 20AC pour 150 minutes. On sait de plus que le tarif C(x) est une fonction affine dexdéterminer :
a. l’expression de C.
b. le prix de l’abonnement et celui de la minute de communication.
Exercice 2
Les parents de Johanna souhaitent mettre de l’argent de côté pour leur fille née le 6 octobre 2009. Le jour de sa naissance ses parents mettent 250AC sur un compte en banque rémunéré 2,75 % par an.
Chaque année, à l’anniversaire de Johanna, ils versent à nouveau 250AC.
Le but de cet exercice est de déterminer la somme dont disposera Johanna le jour de ses 18 ans.
1) Combien y a-t-il sur le compte le 6 octobre 2010 ?
2) Expliquer le processus de calcul de la somme lorsque l’on passe d’une année à la suivante.
3) Ecrire un algorithme qui affiche la somme dont dispose Johanna le jour de ses 18 ans.
Le programmer sur la calculatrice et donner la réponse au problème posé.
Exercice 1
Résoudre à l’aide d’un tableau de signes l’inéquation ci-dessous :
−5x−1 4x−8 60 Exercice 2
Soit un rectangle ABCD tel que AB = 8 et AD = 10.
M est un point variable sur le segment [AB].
On considère les points H, I, J et K tels que AMIJ est un carré et CKIH est un rectangle.
On notexla longueur AM.
1) Dans quel intervalle varie le nombre réelx? 2) Montrer que la somme S(x) des aires des qua-
drilatères AMIJ et CKIH a pour expression : S(x) =x2+ (8−x)(10−x)
3) Développer et réduire S(x).
4) Le problème est de déterminer les positions éventuelles de M pour lesquelles la somme des aires des quadrilatères AMIJ et CKIH est su- périeure ou égale à la moitié de l’aire du rec- tangle ABCD.
a. Traduire le problème par une inéquation.
b. Montrer que cette inéquation s’écrit aussi :x2−9x+ 20>0.
c. Développer et réduire le produit : (x−4)(x−5).
d. Déduire des questions b. et c. les solu- tions du problème posé.
A B
C D
J I
K
H
M 8 10
x
Exercice 3
Roger zappe au hasard deux fois de suite sur deux chaînes différentes. Son téléviseur peut recevoir cinq chaînes différentes et trois de ces chaînes diffusent une émission de sport ce soir-là.
1) À l’aide d’un tableau, déterminer le nombre de possibilités pour les deux chaînes regardées.
2) Déterminer la probabilité pour qu’il zappe sur : a. aucune émission de sport ;
b. au moins une émission de sport ; c. exactement une émission de sport ; d. deux émissions de sport.
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DEVOIR NON SURVEILLE N
o8
Exercice 1
La porte d’entrée d’un immeuble est munis d’un clavier de trois touches marquées par les lettres A,B et C.
Le code qui déclenche l’ouverture de la porte est formé d’une série de deux lettres distinctes ou non.
1) Recopier et compléter l’arbre suivant qui dé- nombre l’ensemble des codes possibles :
b
A
A B C
B
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
2) Déterminer le nombre de codes différents pos- sibles.
3) Déterminer la probabilité de chacun des évè- nements suivants.
A: « Le code se termine par A. »
B: « Le code est formé de deux lettres iden- tiques. »
C: « Le code commence par A. »
4) Reprendre l’ensemble des questions précé- dentes en considérant cette fois-ci que le code est formé de trois lettres différentes.
Exercice 2
Placer sur la figure les points M, N, L tels que : 1) # »
AM =# »
AC +1 2
# » AB 2) # »
BN =−1 4
BC +# » 1 3
# » CA 3) # »
CL =1 2
# » BA−5
8 CB# »
b
B
b
C
b
A
Exercice 3
Soient A(−7;−5), B(−4;1), C(10;4) et D(6;−4) des points dans un repère (O,I,J).
1) Construire et compléter au fur et à mesure la figure sur l’annexe page 2.
2) a. Calculer les coordonnées des vecteurs# » AB et# »
CD.
b. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
3) Soient I le milieu de [CD] et M le point tel que # » DM = 2
5
# » DB, a. Calculer les coordonnées de I.
b. Calculer les coordonnées de M.
c. Que peut-on dire points A,M et I ? Le démontrer.
Soitf la fonction définie surRpar : f(x) = (x−2)2−(x−2)(3x−1)
On donne ci-contre les résultats des instructions ob- tenues avec un logiciel de calcul formel.
1) Retrouver la forme développée def(x).
2) Factoriserf(x) et retrouver la forme factorisée obtenue avec le logiciel.
3) A l’aide de votre calculatrice graphique repré- senter sur votre copie l’allure de la courbe de f dans la fenêtre Xmin =−3,Xmax = 3,Ymin =
−5 et Ymax= 5.
1 f(x):=(x-2)^2-(x-2)*(3x-1) // Interprète f
// Succèscompilationf
(x)−>(x−2)ˆ2−(x−2)∗(3∗x−1) 2 developper(f(x))
−2∗x2+3∗x+2 3 factoriser(f(x))
(x−2)(−2∗x−1)
4) En utilisant la touche « trace » de la calculatrice répondre aux questions suivantes :
a. Déterminer l’abscisse des points d’intersection de la courbe def et de l’axe des abscisses.
b. Déterminer les antécédent(s) éventuel(s) de 2 parf.
5) Retrouver les résultats de la question précédente par le calcul en utilisant l’une ou l’autre des expres- sions def(x).
Exercice 2
Dans le repère orthonormé (O; I,J) ci-contre, placer les points A(−4;3), B(4;1), et C(3;−3).
On admet que AC =√
85 et BC =√ 17.
1) Calculer la longueurs AB.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
3) Déterminer les coordonnées du point K milieu du segment [AC].
4) On appelleC le cercle circonscrit à ABC.
a. TracerC.
b. Déterminer le centre du cercleC. (Justifier)
c. Calculer le rayon de ce cercle.
5) a. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un paral- lèlogramme.
b. Que peut-on dire de plus de ABCD ? (Justifier)
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Exercice 3
On considère l’algorithme suivant : Algorithme:Qui suis-je ?
Variables:a,b Entrées:a Traitement
b←a×a a←a+ 1 a←a×a a←a−b Fin
Sorties: Afficher a
1) Si on saisita= 3 quel est le nombre obtenu à la sortie ?
2) a. Si on saisit a=x , avec x un nombre réel quelconque, on note f(x) le nombre ob- tenu à la sortie de cet algorithme.
Déterminer l’expression def(x).
b. Réduire l’expression def(x)
c. Déterminer le nombre à saisir pour le re- trouver à la sortie.
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DEVOIR SURVEILLE N
o2
Exercice 1 4 points
On considère l’algorithme ci-contre :
1) Appliquer cet algorithme aveca= 13 etb= 16.
2) Que fait cet algorithme ?
3) Quelle modification faudrait-il apporter à l’al- gorithme pour qu’il calcule la moyenne de deux notes l’une coefficient 2, l’autre coeffi- cient 1 ?
4) Quelle modification faudrait-il apporter à l’al- gorithme pour qu’il calcule la moyenne de deux notes, avec des coefficients saisis par l’utilisateur ?
Algorithme:
Variables:a,b,c,m
Entrées:aetbdeux nombres compris entre 0 et 20 Traitement
creçoita+b mreçoit c2 Fin
Sorties: Afficher m
Exercice 2 6 points
Le tableau suivant résume les résultats obtenus par les 34 élèves d’une classe lors d’un devoir de mathé- matiques.
Notes 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18
Effectifs 1 1 3 2 3 2 5 4 6 2 1 1 2 1
Chaque question est pourvue de trois réponses dont une et une seule est correcte. Il est demandé de cocher les cases correspondant aux réponses correctes. Les valeurs sont, au besoin, arrondies au centième le plus proche.
1) La représentation graphique la mieux adaptée dans le cas de cette série est :
l un histogramme ;
l un diagramme circulaire ;
l un diagramme en bâtons.
2) L’étendue de la série est :
l 16 ;
l 18 ;
l 34.
3) Le pourcentage d’élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8 est :
l 29,41% ;
l 35,29% ;
l 42,86%.
4) 14,71% des élèves ont obtenu une note stricte- ment supérieure à :
l 12 ;
l 13 ;
l 14.
5) La médiane de la série de notes est :
l 9 ;
l 9,5 ;
l 10.
6) Les premier et troisième quartiles de la série de notes sont :
l Q1= 5 et Q3= 12 ;
l Q1= 8,5 et Q3= 25,5 ;
l Q1= 7 et Q3= 11.
7) La moyenne de la série de notes est :
l 9,44 ;
l 9,50 ;
l 9,64.
8) Si tous les élèves avaient obtenu 1 point de plus alors :
l la moyenne et l’étendue seraient augmen- tées d’un point ;
l la moyenne et la médiane seraient aug- mentées d’un point ;
l la médiane et l’étendue seraient augmen- tées d’un point.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Distance en km 1 %
0
Distance (en km) [0 ;1] Total
Effectif
Fréq. (en %) 12,5 Fréq. cum. (en %) 12,5
caractère étudié ? Quelle est sa nature ?
2) Compléter, à l’aide du graphique, la ligne des distances et celle des fréquences du tableau ci- contre.
3) On suppose maintenant que l’entreprise compte 320 employés. Compléter la ligne des effectifs.
4) Déterminer la distance moyenne de transport domicile-travail des employés de cette entre- prise.
5) Compléter la ligne des fréquences cumulées croissantes et construire ci-dessous le poly- gone des fréquences cumulées croissantes.
6) A l’aide du polygone déterminer graphique- ment une valeur approchée de la distance mé- diane domicile-travail des employés de cette entreprise.
Interpréter à l’aide d’une phrase le résultat ob- tenu dans le contexte de l’exercice.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 100
NOM : PRENOM : Classe : '
&
$
%
Lycée Gustave Eiffel
2 de
2013-2014
ÉPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUES Décembre 2013
Durée de l’épreuve : 2 heures.
Le sujet comporte quatre exercices. Il est à rendre avec la copie.
Les calculatrices graphiques sont autorisées mais ne peuvent se prêter ou s’échanger. Le barème est donné à titre indicatif. Il est susceptible
d’être modifié.
1/4
Hauteur (en m) 4,70 4,80 4,85 4,90 4,95 5,00 5,05 5,10 5,20
Nombre de sauts 1 1 1 3 12 4 1 1 1
1) Calculer le pourcentage de sauts d’une hauteur de 5 mètres.
2) Déterminer la hauteur moyenne d’un saut. Donner le détail du calcul.
3) a. Compléter le tableau ci-dessus avec les effectifs cumulés croissants.
b. Déterminer par le calcul la médiane de cette série statistique.
c. Déterminer par le calcul les quartiles de cette série.
d. Interpréter à l’aide d’une phrase le résultat du 1erquartile obtenu précédemment.
4) Compléter le tableau suivant :
Sauteur Etienne xmin xmax x¯ Etendue Q1 Médiane Q3 Ecart interquartile Partie B :
Pour le second sauteur, Louis, le relevé des hauteurs des sauts est donné par le tableau ci-dessous :
Hauteur (en m) 4,70 4,80 4,85 4,90 5,00 5,05 5,10 5,15 5,20
Nombre de sauts 1 3 5 4 5 3 2 1 1
Avec les fonctions statistiques de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous :
Sauteur Louis xmin xmax x¯ Etendue Q1 Médiane Q3 Ecart interquartile
Partie C :
Justifier la phrase suivante :
« Si on compare la moitié des sauts réalisés par Louis et Etienne, on pourra dire que Etienne est plus performant que Louis »
Exercice 2 4 points
Soit la fonctionf dont la courbeC dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
b b
Cf
Par lecture graphique répondre aux questions suivantes, aucune justification n’est demandée mais on lais- sera apparaître les traits de construction sur la figure ci-dessus.
2/4
1) Donner l’ensemble de définitionDf def. 2) Donner les images de -3 et de 0 parf. 3) Déterminer les antécédents de 3 parf. 4) Résoudre graphiquement :
a. f(x) = 1.
b. f(x) =−3.
c. f(x)6−1.
5) Soit la fonctiongdéfinie sur [−5;5] par :g(x) =−12x+ 2 a. Tracer la droite représentantgdans le repère ci-dessus.
b. Résoudre graphiquement, en justifiant, l’inéquationf(x)< g(x) .
Exercice 3 6 points
On considère un repère (O,I,J) orthonormé et les points A(−1;1) et B(5;3)
1) Placer dans le repère ci-contre les points A et B et compléter la figure au fur et à mesure.
2) Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [AB].
3) Soit (C) le cercle de diamètre [AB] et C le point de coordonnées (1;5).
Le point C appartient-il au cercle (C) ? Justifier votre réponse.
4) Démontrer que le triangle ACB est rectangle et isocèle en C.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
5) Voici un algorithme :
Algorithme:Quel est mon rôle ? Variables:x,y,x0,y0
Entrées: Saisirx,y.
Traitement x0 reçoit 4−x y0 reçoit 4−y Fin
Sorties: Afficherx0 ety0.
a. Tester l’algorithme ci-contre en prenant comme entrées les coordonnées du point A.
Que retrouve-t-on en sortie ?
b. Recommencer en prenant comme entrées les coordonnées du point E(3;1).
On note F le point dont les coordonnées sont données en sortie. Placer F.
c. Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
6) Dans cette question on admettra que si on prend comme entrées de l’algorithme les coordonnées du point C alors on obtient en sortie le point D de coordonnées (3;−1).
Démontrer que le point D est diamétralement opposé à C sur (C) . 7) Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifier.
3/4
Le cercle de centre A et de rayon [AM] coupe le seg- ment [AB] en N.
On construit le carré AMPN et le rectangle CQPR comme indiqué sur la figure ci-contre.
A N B
P R M
1) Dans cette question on pose AM=2cm.
Montrer que l’aire de la partie coloriée vaut 36cm2
Dans la suite, on notexla longueur AM (en cm) etf(x) l’aire en cm2de la partie coloriée sur la figure.
2) Justifier que l’ensemble de définition def est [0;6].
3) Montrer quef(x) = 2x2−16x+ 60.
4) Calculer la valeur exacte def 2
3
en détaillant les calculs.
5) a. A l’aide de la calculatrice compléter le tableau de valeurs suivant :
x(en cm) 0 1 2 3 4 5 6
f(x) (en cm2)
b. Représenter graphiquement la fonctionf dans le repère orthogonal (O,I,J) ci-dessous ou les unités sont : 1cm sur l’axe des abscisse pour 1 cm et 1 cm sur l’axe des ordonnées pour 10cm2.
10 20 30 40 50 60
1 2 3 4 5 6
0 6) a. Dresser le tableau de variations def.
b. Pour quelle position de M, l’aire de la partie coloriée semble-t-elle minimale ? Préciser cette valeur minimale.
7) On veut déterminer pour quelles valeurs dexl’aire de la partie coloriée est égale aux huit quinzième de l’aire du rectangle ABCD .
a. A l’aide du graphique précédent déterminer une valeur approchée des éventuelles solutions répondant au problème.
b. Démontrer que répondre au problème revient à résoudre l’équation 2x2−16x+ 28 = 0.
c. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-contre.
Proposer les solutions exactes au problème posé et vérifier la cohérence des valeurs pro- posées à la question7) a.
1 factoriser(2x^2-16*x+28) 2∗(x−4+√
2)∗(x−4−√ 2)
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Lycée Gustave Eiffel 2deB 2013/2014
DEVOIR SURVEILLE N
o4
Exercice 1
Construire, en faisant apparaitre les traits de construction, les points M,N,P,Q et R tels que :
# »
AM =# » u~+~v CN =# » ~v−u~ AP = # »
AB +# »
# » AC BQ =# »
AB−# » AC
R est l’image de C par la translation qui transforme B en A.
b
A
b
B
b
C
~ u
~ v
Exercice 2
Dans un repère orthonormal (O,I,J), on considère les points :
E(−3 ; 0) ; B(2 ; 0) ; T(0 ; 4) et U(5 ; 4).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs # » ET et # »
BU.
2) a. Calculer la longueur ET, puis la longueur EB.
b. Quelle est la nature du quadrilatère TUBE ? Justifier.
3) Soient (C) le cercle de centre E passant par B. Tracer (C).
On note A le second point d’intersection de ce cercle avec l’axe des abscisses.
a. Justifier pourquoi# » AE =# »
EB.
b. Démontrer que# » AE =# »
TU.
c. Quelle est l’image du triangle ATE par la translation qui transforme A en E ? Exercice 3
Déterminer graphiquement les expressions des fonctions affines dont les représentations gra- phiques sont données ci-contre.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
d1 d2
d3
d4
Tournez s.v.pN
• Tarif C : Abonnement de 90AC pour un nombre de dvds illimité.
1) On notexle nombre de dvds.
Donner l’expression de A(x), B(x) et C(x) du prix payé en fonction dexaux tarifs A, B et C.
2) Le plan est muni d’un repère orthogonal (O,I; J), une unité pour 5 dvds en abscisse, et une unité pour 10AC en ordonnée. Construire ci-dessous les représentations graphiques des fonctions A, B et C sur l’intervalle [0;50]
3) En utilisant le graphique répondre aux questions suivantes :
a. Si un client emprunte en moyenne 45 dvds par an, quel tarif doit-il choisir ? b. Pour un budget de 50AC, quel tarif est le plus aventageux ?
Combien de dvds pourra-t-on louer ?
c. Dans quels cas le tarif A est-il le plus intéressant ?
4) Un autre vidéo club propose 60AC pour 10 dvds et 140AC pour 50.
En supposant que le tarif D(x) est une fonction affine dexdéterminer : a. l’expression de D.
b. le prix de l’abonnement et celui d’un dvd.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
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DEVOIR SURVEILLE N
o5
Exercice 1 4 points
On lance un dè cubique truqué tel que la probabilitép4d’obtenir la face numéroté 4 est de 0,4 tandis que p1=p2=p3=p5etp6= 2p1.
1) Déterminer la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2) Calculer la probabilité de l’événement A « Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » 3) Définir par une phrase l’événement A et calculerp(A).
Exercice 2 10 points
Voici les résultats d’un sondage effectué en 2010 auprès de 2 000 personnes, à propos d’internet :
• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par internet,
• 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, 80% déclarent être intéressées par internet,
• 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par internet.
1) Compléter le tableau suivant. Aucune justification n’est demandée :
intéressées par internet non intéressées par internet total
moins de 30 ans 560
de 30 à 60 ans plus de 60 ans
total 2 000
2) On choisit au hasard une personne parmi les 2 000 interrogées. On suppose que toutes les per- sonnes ont la même probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A : «la personne interrogée a moins de 30 ans», B : «la personne interrogée est intéressée par
internet».
Les résultats seront donnés sous forme décimale.
a. Calculer les probabilités P(A) et P(B).
b. Définir par une phrase l’événement A puis calculer P(A).
c. Définir par une phrase l’événement A∩B puis calculer P(A∩B).
d. Définir par une phrase l’événement A∪B puis calculer P(A∪B).
3) On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par internet.
Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30 ans ?
Exercice 3 6 points
Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l’éclairage de 400 véhicules :
• 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.
• 140 des 400 véhicules présentent un défaut d’éclairage.
• 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d’éclairage.
1) Recopier puis compléter le diagramme ci- dessous avec des nombres pour représenter la situation.
F E
2) On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que :
a. le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage ?
b. le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage ?
c. le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
d. le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
& %
EPREUVE COMMUNE DE MATHEMATIQUES Avril 2014
Durée de l’épreuve : 2 heures.
Le sujet comporte cinq exercices. Il est à rendre avec la copie.
Les calculatrices graphiques sont autorisées.
Le barème est donné à titre indicatif. Il est susceptible d’être modifié.
1/4
Exercice 1 4 points Une entreprise produit en grande série des tiges en acier. Ces tiges peuvent présenter deux types de dé- fauts, un défaut de diamètre, ou un défaut de longueur.
On a observé que dans un échantillon de 1000 tiges, 80 présentaient un défaut de diamètre, 110 présen- taient un défaut de longueur, et 30 présentaient les deux défauts.
1) Compléter le tableau suivant :
Défaut de diamètre Non défaut de diamètre Total Défaut de longueur
Non défaut de longueur
Total 80 1000
2) On prélève une tige au hasard parmi les 1000 tiges de l’échantillon. On considère les événements :
• A : « La tige présente le défaut de diamètre » ;
• B : « La tige présente le défaut de longueur ».
a. Déterminer la probabilité de l’évènement A, puis la probabilité de l’évènement B.
b. Énoncer par une phrase en français l’évènement ¯A, puis donner sa probabilité.
c. Énoncer par une phrase en français l’évènement A∩B, puis donner sa probabilité.
d. Énoncer par une phrase en français l’évènement A∪B , puis donner sa probabilité.
e. Écrire à l’aide des évènements A et B l’évènement : « La tige n’a aucun défaut », puis calculer sa probabilité.
f. Écrire à l’aide des évènements A et B l’évènement : « La tige a pour seul défaut le défaut de diamètre », puis calculer sa probabilité.
3) On prélève au hasard une tige parmi les tiges présentant un défaut de diamètre.
Quelle est la probabilité que cette tige n’ait pas d’autre défaut.
Exercice 2 5 points
On se place dans un repère orthonormé (O,I,J).
On considère les points A, B et C de coordonnées A(3;3), B(2;1) et C(0;3).
1) Placer les trois points dans le repère.
On complétera la figure au fur et à mesure de l’énoncé pour contrôler ses calculs.
2) Calculer les coordonnées des vecteurs# » AC et # »
AB.
3) Soit D le point tel que # » AD = 2# »
AB +# » AC.
a. Placer le point D. (On laissera les traits de construction) b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point D.
4) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
5) On considère le point E(1;−1).
Placer le point E et démontrer que E est le symétrique du point A par rapport au point B.
6) Montrer que le quadrilatère ACDE est un parallélogramme.
7) On considère le point F(k;0). Déterminer le réelktel que les points B,C et F soient alignés.
2/4
Calculer le tarif proposé par le premier transporteur puis celui par le deuxième. Quel est le plus avantageux ?
2) Soitxle nombre de kilomètres parcourus.
On considèref(x) le prix à payer pour le transporteur A etg(x) le prix à payer pour le transporteur B.
a. Exprimerf(x) en fonction dex.
b. Exprimerg(x) en fonction dex.
c. Tracer les représentations graphiques des fonctionsf etgsur l’intervalle [0;1000] dans le repère orthogonal (O,I,J) donné ci-dessous.
d. Déterminer par le calcul pour quel nombre de kilomètres les deux transporteurs ont même tarif.
e. Déterminer graphiquement pour quel nombre de kilomètres le tarif du transporteur A est plus intéressant.
3) Un troisième transporteur (C) propose le tarif de 750AC pour 100 km et de 1750AC pour 500 km.
On considèreh(x) le prix à payer avec ce nouveau transporteur (C) en fonction de x le nombre de kilomètres effectués.
On sait que la fonctionhest une fonction affine.
a. Déterminer l’expression deh(x).
b. Choisira-t-il le transporteur C pour parcourir 700 km ?
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
3/4
Exercice 4 3 points Soit une urne comportant 5 jetons blancs numérotés de 1 à 5 et 2 jetons noirs numérotés de 6 à 7.
On tire au hasard un jeton de l’urne.
1) Quelle est la probabilité qu’on tire un jeton blanc ?
2) Hugo décide de simuler 100 fois l’expérience en programmant sa calculatrice pour qu’elle affiche la fréquence d’apparition d’un jeton blanc.
Il utilise pour cela l’instructionEntAléat(1,7)qui renvoie un entier aléatoire de l’intervalle [1;7].
a. Parmi les 3 algorithmes proposés ci dessous, lequel va-t-il choisir ? Justifier
Algorithme No1 Algorithme No2 Algorithme No3
Variables : Variables : Variables :
F est un réel F est un réel F est un réel
S,iet J sont des entiers naturels S,iet J sont des entiers naturels S,iet J sont des entiers naturels Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :
Pourivariant de 1 à 100 faire S reçoit 0 S reçoit 0
S reçoit 0 Pourivariant de 1 à 100 faire J reçoitEntAléat(1,7)
J reçoitEntAléat(1,7) J reçoitEntAléat(1,7) Pourivariant de 1 à 100 faire
Si J65 Si J65 Si J65
alors S reçoit S + 1 alors S reçoit S + 1 alors S reçoit S + 1
Fin du si Fin du si Fin du si
Fin pour Fin pour Fin pour
F reçoit S÷100 F reçoit S÷100 F reçoit S÷100
Afficher F Afficher F Afficher F
Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme
b. Dans l’algorithme choisi, quel est le rôle de S,i, J et F ? c. Hugo simule maintenant 500 tirages.
Ecrire uniquement les lignes de l algorithme qui ont été modifiées.
d. Vers quelle valeur théorique la fréquence affichée devrait-elle se rapprocher pour un très grand nombre de tirages ?
Exercice 5 4,5 points
Un magasin d’informatique propose des unités de stockage informatique de haut de gamme pouvant conte- nir entre 1 et 10 GigaOctets (Go). Pour chaque unité, on s’intéresse au prix moyen du GigaOctet. Par exemple, une unité de stockage de 2 Go est vendue en moyenne 48AC, ce qui fait un prix moyen du Go à 24AC. On notexla capacité de stockage (en Go). Le prix moyen (enAC) du Go est relié àxpar la formule :
f(x) =−x2+ 12x+ 4. 1) a. Etablir le tableau de variations def sur [1;10]. Justifier.
b. En déduire le prix maximum du Go et la capacité de l’unité de stockage pour laquelle il est atteint.
2) Avec la calculatrice, déterminer graphiquement la capacité de stockage telle que le prix moyen du Go soit supérieur à 31AC.
3) On se propose de retrouver le résultat de la question précédente par le calcul, c’est à dire, de résoudre l’inéquationf(x)>31.
a. Montrer que−x2+ 12x−27 = (3−x)(x−9).
b. Etablir le tableau de signes de (3−x)(x−9) sur l’intervalle [1;10].
c. Vérifier que résoudref(x)>31 revient à résoudre−x2+ 12x−27>0.
d. Conclure
4/4
©
Exercice 1 4 points
1) Déterminer graphiquement les équations des droites ci-dessous.
2) Sur le même graphique, tracer les droites sui- vantes :
• (d4) d’équationy=−2x+ 3.
• (d5) passant par A(−5;−2) et de coefficient directeur 3
2.
• (d6) d’équationx= 4.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
0
(d3) (d1)
(d2)
Exercice 2 6 points
Dans un repère orthonormal (O,~ı,~) on considère les points A(0;−1) ,B(5;1) et C(5;−2).
1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2) Déterminer par le calcul l’équation réduite de la droite (AB).
3) Déterminer par le calcul l’équation réduite de la droite (d) parallèle à (AB) passant par C.
4) Démontrer que le point D(0;−4) appartient à (d).
5) Démontrer qu ABCD est un parallèlogramme.
Exercice 3 4 points
Résoudre le système suivant :
(S)
( 3x + 4y = −7
−5x − 2y = 21
Exercice 4 6 points
Au premier tour de l’élection présidentielle française de mai 2007, parmi les suffrages exprimés, les pro- portions, en pourcentage, pour les candidats ayant obtenu plus de 2 % des suffrages, étaient les suivantes :
Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy
18,57 4,08 2,23 10,44 25,87 31,18
1) Expliquer pourquoi on ne peut appliquer les résultats des intervalles de fluctuation qu’aux candidats Royal et Sarkosy.
2) Pour chacun des candidats Royal et Sarkosy déterminer les intervalles de fluctuation pour un échan- tillon de taille 900.
Cinq mois plus tôt, le 13 décembre 2006, l’institut de sondage BVA faisait paraître un sondage effectué sur un échantillon de 900 personnes dont voici les résultats, en pourcentage, concernant les candidats précédemment cités :
Bayrou Besancenot De Villiers Le Pen Royal Sarkozy
7 4 2 10 34 32
3) Les résultats du sondage donnent-ils des fréquences appartenant aux intervalles de fluctuation pré- cédents ?
4) Qu’en conclure sur l’échantillon des personnes sondées en rapport avec ces deux candidats ?
Lycée Gustave Eiffel 2deE 2013/2014
Interrogation écrite N
o1
Exercice 1 Intervalles
Compléter le tableau suivant :
Inégalités vérifiées parx Représentation Notation
−26x63
[ 2 ; 6 [
2
x6−1
−3 2 5 8
−2< x60 ou 16x <4
Exercice 2 Vrai-Faux
Cet exercice est un vrai/faux : il s’agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse.
1) f est une fonction telle quef(2) = 3.
Questions Réponses
a.2 est l’image de 3 parf V
F
b.2 a pour image 3 parf V
F
c.2 est un antécédent de 3 parf V
F
d. 3 n’admet pas d’antécédent parf V
F
2) gest la fonction définie parg(x) =x2+ 2.
Questions Réponses
a.−√
2 est solution de l’équation
g(x) = 0. V
F
b.3 est un antécédent de 8 parg V
F
c.l’image de−1 pargest 3 V
F
d.g2 3
=109 V
F
Exercice 3 Lectures graphiques
1) Identifier l’intervalle I de définition de la fonc- tion.
2) Déterminer l’image de -3 par la fonction . 3) Déterminerf(4).
4) Déterminer les antécédents de 2 parf . 5) Résoudref(x) = 0.
6) Résoudref(x)<2.
Exercice 4 Algorithmique
On considère l’algorithme suivant : Algorithme:
Entrées: Un nombre a Traitement
Ajouter 1
Multiplier le résultat par 2 Soustraire 3
Fin
Sorties: Afficher le résultat
1) Appliquer cet algorithme lorsque a est égal à 3, -4, 0 et13.
2) On notef(a) le résultat affiché à la sortie de l’algorihme. On ob- tient ainsi une fonctionf.
Déterminerf(a).
3) Trouver le nombre a pour que l’algorithme affiche le nombre 0.
4) De même pour que l’algorithme affiche -5.
5) Ecrire un algorithme qui en partant du nombre affiché en sortie retrouve le nombre choisi initialement.
![B’ le point d’intersection de (AB) et ∆ .I un point du segment [BC] distict de O.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)