TS : feuille d’exercices n
o1 (récurrence)
I
On considère la suite (un) définie par :u0=4 et pour toutn≥1,un
+1=1
4un+6. Montrer que, pour tout n, on a : un= −
µ1 4
¶n−1
+8.
SoitPnla propriété : «un= − µ1
4
¶n−1
+8 » Effectuons unedémonstration par récurrence:
• Initialisation: Pourn=0,− µ1
4
¶n−1
+8= − µ1
4
¶−1
+8= −4+8=4= u0 doncP0est vraie.
• Hérédité: on supposePnvraie pour une valeur denquelconque doncun= − µ1
4
¶n−1
+8.
Au rangn+1 : par définition de la suite, on aun
+1=1
4un+6=1 4
·
− µ1
4
¶n−1
+8
¸
+6 (d’après l’hypothèse de récurrence)
= − µ1
4
¶n
+2+6= − µ1
4
¶n
+8, doncPn
+1estvraie.
Pnesthéréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N. II
On considère la suite (un) définie par :u0=0 etun
+1=p
2un+35 .
Montrons par récurrence surnque cette suite est croissante et majorée par 7.
SoitPnla propriété :unÉun
+1É7 pour toutn∈N. DémontronsPnpar récurrence :
• Initialisation:u1=p
éu0+35=p 35Ép
49=7 doncu0Éu1É7 ;P0est vraie.
• Hérédité: on supposePnvraie pour une valeur denquelconque doncunÉun
+1É7.
Procédons par inégalités successives : unÉun
+1É7⇒2unÉ2un
+1É14 en multipliant par 2, nombre positif
⇒2un+35É2un
+1+35É14+35=49 en ajoutant 35 à tous les membres
⇒p
2un+35Ép 2un
+1+35Ép
49=7 en appliquant la fonction racine carrée qui est croissante sur [0 ; +∞[, donc conserve l’ordre.
On en déduit :un
+1Éun
+2É7.
Pnesthéréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N. III
Soit (un) la suite définie par :u0=2 et pour toutn,un
+1=p un+5.
Montrer que, pourn∈N, 2ÉunÉ3.
SoitPnla propriété : « 2ÉunÉ3 ».
Effectuons unedémonstration par récurrence.
• Initialisation:
u0=2 donc 2Éu0É3.
• Hérédité:
On suppose la propriétéPnvraie pournquelconque, donc 2ÉunÉ3.
Alors : 2+5Éun+5É3+5 donc 7Éun+5É8 d’où, en appliquant la fonction racine carrée, croissante : p7Ép
un+5Ép
8 ; or 2<Ê7Ép
un+5Ép 8<p
9=3 doncPn
+1est vraie.
Pnesthéréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N. IV
Montrons que, pour tout entier natureln, l’entier 32n−2nest un multiple de 7.
SoitPnla propriété : « 32n−2n=7knaveckn∈Z».
Effectuons une démonstration. par récurrence :
• Initilisation:
Pourn=0, 32n−2n=30−20=1−1=0=7×0=7×k0aveck0=0. On a bien un multiple de 7 doncP0est vraie.
• Hérédté.
On suppose la propriétéPnvraie pournquelconque, donc 32n−2n=7knaveckn∈Z.
Au rangn+1 :
32n+1−2n+1=32n+2−2n+1=32n×32−2n×2=9×32n−2×2n. Or 32n−2n=7knd’après l’hypothèse de récurrence.
On en déduit :32n=2n+7kn9×32n−2×2n=9¡
2n+7kn¢
−3×2n=9×2n+9×7kn−2×2n=9×2n−2×2n+9
| {z }
facteur commun2n
+9×7kn= (9−2)×2n− +9×7kn=7×2n+7×9kn=7¡
2n+9kn¢
=7kn+1en posant kn+1=2n+9kn . On obtient bien un multiple de 7 doncPnest héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N. Vérification:
On en déduit :k0=0 ;k1=1 ;k2=11 ;k3=103. . . Or :
• u0=0=7×0=7×k0
• u1=7=7×1=7×k1
• u2=77=7×11=7×k2
• u3=729−8=721=7×103=7×k3 On a donc trouvé une relation de récurrence permettant de trouver les valeurs dekn.
V
On considère la suite (un) définie par :
u0=0 un
+1=5un−1 4un+1
. Montrer queun6=1
2pour toutn. un6=1
2⇔un−1
26=0 SoitPnla propriété : «un−1 26=0 » Effectuons une démonstration par récurrence :
• Initialisation:u0=0 doncu0−1 2= −1
26=0 doncP0est vraie.
• Hérédité: on supposePnvraie pournquelconque doncun−1 26=0.
Alors :un
+1−1
2 = 5un−1 4un+1−1
2 = 2 (5un−1)−(4un+1)
2 (4un+1) = 10un−2−4un−1
2 (4un+1) = 6un−3
2 (4un+1) = 6¡un−12¢
2 (4un+1) 6=0 puisque, d’après l’hypothèse de récurrence,un−1
26=0.
Pnesthéréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N.
