Statistiques à 2 variables Bienvenue !

(1)

Congrès SBPMef 2015

Bienvenue !

Statistiques à 2 variables

… et calculatrice graphique

(2)

Statistiques à 2 variables & calculatrice graphique

Réponses aux questions

16:30

Calcul et affichage de la droite de régression

15:35

Construction intuitive de la droite

15:45

Construction intuitive de la mesure de la qualité de l’ajustement

16:15

15:30

Introduction

(3)

C ^ALCUL ^ET

AFFICHAGE DE

LA DROITE

(4)

C ÂLCUL ÊT ÂFFICHAGE ^DE ^LA ^DROITE

•

Superposition des nuage de points, point moyen et droite de

régression;

•

Prédiction d’une

ordonnée

(5)

4€ 3€

10€

11€

7€ ^3€ 6€

11€

12 ans 12 ans 15 ans

14 ans

16 ans

13 ans 12 ans 11

E ^XERCICE ^PRATIQUE

Sur une année, on a noté, pour 10

adolescents, leur âge et leur montant

hebdomadaire moyen d’argent de poche, exprimé en

euros.

Comment afficher le nuage de point, l’élève moyen et la droite de régression qui prédit l’argent de poche que recevrait un adolescent ?

Combien recevrait théoriquement un ado de 13 ans, un jeune de 18 ans et un nouveau-né?

CÂLCUL ÊT ÂFFICHAGE ^DE ^LA ^DROITE

(6)

Allumer la calculatrice Appuyer sur

Menu Statistiques

(7)

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& Valider avec ou

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Démarrer le menu STAT

(8)

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(9)

Encoder les données

i

1 12 4 2 12 3 3 15 11 4 14 10 5 16 11 6 14 7 7 12 6 8 13 7 9 11 3 10 11 3

x

_i

y

_i

(10)

Paramètres d’affichage

Généraux Particuliers

(11)

Nuage de points

Le nuage est concentré.

Le nuage semble avoir une orientation globale.

Les adolescents les plus âgés reçoivent davantage d’argent que leurs cadets.

(12)

Point moyen

13 ans

« L’élève moyen a 13

(13)

6,5€ !

13 ans

Point moyen

(14)

!

Affichage simultané

6,5€

13 ans

(15)

Le point moyen se trouve au milieu du nuage de points.

L’ « élève moyen », qui a 13 ans et reçoit 6,5 € d’argent de poche, ne correspond à aucun élève en particulier.

Nuage et point moyen

(16)

Droite de régression

??

? ??

? ?

(17)

Le point moyen se trouve sur la droite de régression.

La droite traduit bien l’orientation du nuage.

La droite permet de prédire avec plus ou moins de précision l’argent de poche pour un âge donné.

Droite de régression

(18)

Prédictions

???

18 ans

???

13 ans

0 an

(19)

Un jeune de 18 ans recevrait 15,5 €.

Un nouveau-né devrait 17 € à ses parents !!!

Le résultat prédit n’est raisonnable qu’aux alentours du domaine de variation (ici entre 11 et 16 ans).

Prédictions

(20)

C ONSTRUCTION INTUITIVE DE LA

DROITE

(21)

C ONSTRUCTION INTUITIVE DE LA DROITE

•

Pente a =

x

_i

− x

( )

i=1

∑

n

( ^y

ⁱ

⁻ ^y )

( x

_i

− x )

²

∑

n

y = y + a x ( − x )

s

_xy

= 1

n ( x

_i

− x )

i=1

∑

n

⁽ ^y

ⁱ

⁻ ^y ⁾

•

Equation

•

Covariance

(22)

x _i − x ?

y _i − y ?

CONSTRUCTION DE LA DROITE

Dans le nuage, le point moyen est un point particulier.

Déviations

(23)

!

x

_i

− x

( )

i=1

∑

n

n = 0

-1 -1 2 1 3 1 -1 0 -2 -2

x_i − x

!

i

1 12

2 12 3 15 4 14 5 16 6 14 7 12 8 13 9 11 10 11

x

_i

Déviations

13 ans 16 ans

11 ans

0

(24)

x

_i

− x x

_i

Déviations

(25)

Déviation moyenne

(26)

!

y

_i

− y

( )

i=1

∑

n

= 0

-2,5 -3,5 4,5 3,5 4,5 0,5 0,5 0,5 -3,5 -3,5

y_i − y

!

i

1 4

2 3 3 11 4 10 5 11 6 7 7 6 8 7 9 3 10 3

y

_i

!

!!

Déviation moyenne

(27)

y

_i

− y y

_i

Déviation moyenne

(28)

La moyenne des déviations, ou déviation moyenne, est toujours nulle.

La déviation moyenne ne nous donne aucune

Déviation moyenne

(29)

Nuage des déviations

Le nuage des

déviations a la même orientation que le

nuage de points.

(30)

y = ax

x ; y

( )

Si on détermine la pente du nuage des déviations, on a

Equation de la droite

(31)

Les points du nuage des déviations se répartissent de part et d’autre de l’origine.

Les points du nuage des déviations sont dans les premier et

Déviations

(32)

année

.€

Les déviations sont positives ou négatives en même temps.

Ici, le produit des déviations est positif.

Co-variance

(33)

Covariance

Une covariance positive correspond à des variations des deux variables dans le même sens.

Inversement une covariance négative correspond à des

s

_xy

: = 1

n ( x

_i

− x )

i=1

∑

n

⁽ ^y

ⁱ

⁻ ^y ⁾

!

année

.€

(34)

x

_i

− x

( ) ( ^y

ⁱ

⁻ ^y )

Les déviations des abscisses et des ordonnées sont de

même signe.

Covariance

(35)

Pente

1 n ( y

_i

− y )

i=1

∑

n

1 n ( x

_i

− x )

=

∑

n

1

ⁿ

y

_i

− y

∑

1 n ( y

_i

− y )

²

i=1

∑

n

1 ∑

ⁿ

( − )

²

a = Δ y

Δ x = y

₂

− y

₁

x

₂

− x

₁

0/0

peut-être 1 / 0

toujours >0

y

_n

− y

₁

x

_n

− x

₁

contrexemple

avec des points dans les autres quadrants

(36)

1 n ( y

_i

− y )

i=1

∑

n

1 n ( x

_i

− x )

i=1

∑

n

1 ∑

ⁿ

( x − x ) ( ^y ⁻ ^y )

x

_i

− x

( )

Pente

1 n ( x

_i

− x )

i=1

∑

n

⁽ ^y

ⁱ

⁻ ^y ⁾

traduit l’orientation du nuage

( x

_i

− x )

²

i=1

∑

n

^> ⁰

(37)

Plus un élève est éloigné en âge de l’âge moyen, plus il influence la pente de la droite ; plus il est proche de l’âge

moyen, moins il l’influence.

a := 1

n

(

x_i − x

)

i=1

∑

n

⁽

^yⁱ ⁻ ^y

⁾

(x_i − x)²

i=1

∑

n ⁼

s_xy s_x²

Pente

a = 1 n

x

_i

− x

( )

s

_x²

( y

_i

− y )

i=1

∑

n

1

(38)

Equation de la droite

a=4,7/1,61

2

=1,81

(39)

s

_xy

s

_x²

s

_x

as

_x

a = s

_xy

s

_x²

Pente et covariance

as

_x²

= s

_xy

asx=1,81.1,61 =2,91

Un élève âgé de 14,5 ans reçoit théoriquement presque 3 euros en plus que l’élève moyen.

(40)

Q ^UALITÉ ^DE

L ’ ^AJUSTEMENT

(41)

Q ^UALITÉ ^DE ^L ’ ^AJUSTEMENT

•

Méthode des moindres carrés

•

Coefficient de corrélation

r =

x

_i

− x

( )

i=1

∑

n

⁽ ^y

ⁱ

⁻ ^y ⁾

( x

_i

− x )

²

( y

_i

− y )

²

∑

n

∑

n

Minimiser 1

n e

_i²

i=1

∑

n

(42)

y + a x (

_i

− x )

Quelle est l’erreur commise en utilisant la droite de régression dans une prédiction?

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

Erreur

= y ^erreur

_i

− ( y + a x (

_i

− x ) )

y

_i

e

_i

(43)

Résidus

Résidu = la différence entre l’ordonnée observée et l’ordonnée théorique

e_i = y_i −

(

y + a x

(

_i − x

) )

=

(

y_i − y

)

⁻ ^{a x}

(

ⁱ ⁻ ^x

)

y

_i

− y

( ) ⁻ ^1.81 ( ^x

ⁱ

⁻ ^x )

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

(44)

Les résidus sont tantôt positifs, tantôt négatifs.

La moyenne des résidus est toujours nulle.

Elle n’apporte donc aucune information pour mesurer l’ajustement aux données.

Moyenne des résidus

∑

n

∑

ⁿ

∑

ⁿ

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

(45)

Moyenne quadratique

1 e ²

∑

n ⁼ ^s ² ⁺ ^a²^s ² ⁻ ^2as

e

_i

= ( y

_i

− y ) ⁻ ^{a x} (

ⁱ

⁻ ^x )

e_i²

i=1

∑

n ⁼ ⁽^yⁱ ⁻ ^y⁾² i=1

∑

n ⁺ ^a² ⁽^xⁱ ⁻ ^x ⁾² i=1

∑

n ⁻ ^2a

⁽

^xⁱ ⁻ ^x

⁾

i=1

∑

n

⁽

^yⁱ ⁻ ^y

⁾

e

_i²

i=1

∑

n

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

e_i

! !

e_i²

1

n e_i²

i=1

∑

n

(46)

Moyenne quadratique

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

e

_i²

e

_i

(47)

La moyenne quadratique minimale est atteinte quand

Ce minimum, erreur quadratique moyenne, vaut

Méthode des moindres carrés

1 n e

_i²

i=1

∑

n

⁼ ^s

^y²

⁺ ^a

²

^s

^x²

⁻ ² ^as

^xy

= s

_x²

a

²

− 2 s

_xy

a + s

_y²

a = s

_xy

s

_x²

EQM = s

²

− s

_xy²

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

-b

2a = +2s

_xy

2s

_x²

= s

_xy

s

_x²

-D

4a = - (2s_xy)² - 4s_x²s_y² 4s_x²

= - s_xy² - s_x²s_y² s_x²

(48)

Coefficient de corrélation

EQM = s _y ² − s _xy ² s _x ² EQM

s _y ² = 1 − s _xy s _x s _y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 = 1 − r ²

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

s_x

r : = s

_xy

s

_x

s

_y

= as

_x

s

_y

(49)

s

_x

s

_y

s

_y

s

_x

as

_x

s

_xy

Coefficient de corrélation

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

Le coefficient de corrélation représente le rapport entre l’écart type

r = s

_xy

s

_x

s

_y

= as

_x

s

_y

=1,61 3,10=

=2,91

(50)

Coefficient de corrélation

Plus le nuage est concentré,

plus l’erreur quadratique est faible,

Q

^UALITÉ ^DE ^L

’

^AJUSTEMENT

=2,91/3,10

(51)

Merci !

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(52)

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fins pédagogiques et ce, pour autant que la source soit citée.

Merci,

l’équipe

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